湖南省长沙市长郡中学2025年高考数学演练试卷（一）（含解析）

这是一份湖南省长沙市长郡中学2025年高考数学演练试卷（一）（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知(2x−1)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6，则a0+a2+a4+a6=( )
A. 364B. 365C. 728D. 730
2.在数列{an}中，则“a6−a5=32”是“数列{an}为等差数列”的( )
A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分又不必要
3.已知集合A={1,2,3,4,5}，且A∩B=A，则集合B可以是( )
A. {2,3,4}B. {x|x2>1}
C. {x|3x>1}D. {x|lg2(x−1)0)的焦点为F，过C上一点P作C的准线y=−12的垂线，垂足为M，若∠MFP=π6，则|PF|=( )
A. 23B. 2 33C. 32D. 2
7.记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c=2 6,ccs(A−B)+2 3asinBcsC=−ccsC，则AB边上的中线CD长度的最小值为( )
A. 12B. 22C. 2D. 2 2
8.探究函数f(x)=xx，x∈(0,+∞)，下列说法正确的是( )
A. f(x)有且只有一个极大值点
B. f(x)在(0,1e)上单调递增
C. 存在实数a∈(0,+∞)，使得f(a)=1e
D. f(x)有最小值，最小值为1e1e
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知A，B为随机事件，P(A)=0.6，P(B)=0.3，则下列结论正确的有( )
A. 若A，B为互斥事件，则P(A∪B)=0.9
B. 若A，B为互斥事件，则P(A−∪B−)=0.1
C. 若A，B相互独立，则P(A∪B)=0.72
D. 若P(B|A)=0.3，则P(B|A−)=0.3
10.三角形的布洛卡点是法国数学家克洛尔于1816年首次发现，当△ABC内一点P满足条件：∠PAB=∠PBC=∠PCA=θ时，则称点P为△ABC的布洛卡点，角θ为布洛卡角.如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记△ABC的面积为S，点P是△ABC的布洛卡点，布洛卡角为θ，则( )
A. 当AB=AC时，PB2=PA⋅PC
B. 当AB=AC且PC= 2PB时，csθ=2 55
C. 当θ=30°时，a2+b2+c2=4 3S
D. 当A=2θ时，b2=ac
11.已知抛物线C的焦点为F，准线为l，点P在C上，PQ⊥l，垂足为Q，直线QF与C相交于M，N两点.若M为QF的三等分点，则( )
A. cs∠PQM=12B. sin∠QPM=2 77
C. |NF|=|QF|D. |PN|= 3|PQ|
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a，b满足a=(6,8)，a⋅b=8，|a−b|=10，则|b|= ______．
13.若关于x的不等式lnx−aeax≤0在(0,+∞)上恒成立，则正数a的最小值为______．
14.设A(x1,y1)，B(x2,y2)为平面上两点，定义d(A,B)=|x1−x2|+|y1−y2|，已知点P为抛物线C：x2=12y上一动点，点Q是直线l：y=2(x−4)上一动点，则d(P,Q)的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=xex+ax2．
(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为2e+4，求a的值；
(2)讨论f(x)的零点个数．
16.(本小题15分)
如图所示，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=2 3，AA1=5，D为AC中点，且∠ABD=30°，BE=35BB1,CF=15CC1．
(1)求证：BD⊥A1F；
(2)求平面AEF与平面A1EF夹角的余弦值．
17.(本小题15分)
向“新”而行，向“新”而进，新质生产力能够更好地推动高质量发展.如人工智能中的大语言模型DeepSeek(以下简称DeepSeek).为调查DeepSeek的应用是否会对相关从业人员的数量产生影响，某学校研究小组随机抽取了150名视频从业人员进行调查，结果如下表所示：
(1)根据所给数据完成上表，并判断是否有95%的把握认为的应用与相关从业人员的减少有关？
(2)某公司视频部现有员工100人，公司拟开展DeepSeek培训，分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为23,12,13，每轮相互独立，有二轮及以上获得“优秀”的员工才能应用DeepSeek．
(ⅰ)求员工经过培训能应用DeepSeek的概率．
(ⅱ)已知开展DeepSeek培训前，员工每人每年平均为公司创造利润6万元；开展DeepSeek培训后，能应用DeepSeek的员工每人每年平均为公司创造利润10万元；DeepSeek培训平均每人每年成本为1万元.根据公司发展需要，计划先将视频部的部分员工随机调至其他部门，然后剩余员工开展DeepSeek培训，现要求培训后视频部的年利润不低于员工调整前的年利润，则视频部最多可以调多少人到其他部门？
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d，P(χ2≥3.841)≈0.05)
18.(本小题17分)
已知双曲线C的对称中心在原点O，以坐标轴为对称轴，两条渐近线分别为l1：y=x和l2：y=−x，其右焦点为( 2,0)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)直线l：y=2x−4与双曲线C交于A1，B1两点(A1在B1的上方)，过点A1，B1分别作l2，l1的平行线相交于点P1，过P1作l的平行线与双曲线C交于A2，B2两点(A2在B2的上方)，再过点A2，B2分别作l2，l1的平行线相交于点P2，⋯，这样一直操作下去，可以得到一系列点P1,P2,⋯,Pn,n≥3,n∈N∗.证明：
①P1，P2，⋯，Pn共线；
②|OPi|2−|PiPi+1|2为定值，1≤i≤n−1，i∈N∗．
19.(本小题17分)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S6=60，a3+3a5=48.当n∈N∗时，2nb1+2n−1b2+⋯+2bn=3n−1．
(1)求数列{an}、{bn}的通项公式；
(2)(ⅰ)若cn=(2bn−1)(2an−2)an⋅an+1，求数列{cn}的前n项和Tn；
(ⅱ)根据(ⅰ)试求出Tn的最小值．
答案解析
1.【答案】B
【解析】解：由题意，(2x−1)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6，
令x=1，a0+a1+...+a6=1①，
令x=−1，a0−a1+...+a6=729②，
①+②，2(a0+a2+a4+a6)=730，
解得a0+a2+a4+a6=365．
故选：B．
利用赋值法计算．
本题考查二项式定理的应用，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：当数列{an}为等差数列时，公差不确定，不一定有a6−a5=32成立，充分性不成立；
“a6−a5=32”成立也不一定推出“数列{an}为等差数列”，必要性不成立．
故选：D．
根据等差数列的定义进行判断即可．
本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：因为集合A={1,2,3,4,5}，且A∩B=A，
所以A⊆B，显然A中集合不合题意；
B中集合为{x|x2>1}={x|x1}，不含元素1，也不合题意；
C中集合为{x|3x>1}={x|x>0}，满足题意；
D中集合为{x|lg2(x−1)0，g(x)在(1e,+∞)上单调递增；
当00，
所以函数f(x)在(1,+∞)上单调递增，则当x>1时，ax≥lnx⇔a≥lnxx恒成立，
令函数g(x)=lnxx,x>1，g′(x)=1−lnxx2，
当1e时，g′(x)1时构造函数f(x)=xex，利用函数单调性可得ax≥lnx，分离参数并构造函数，求出函数的最大值即可．
本题主要考查利用导数研究函数的最值，不等式恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题．
14.【答案】154
【解析】解：联立x2=12yy=2(x−4)，消去y并整理得x2−x+4=0，
此时Δ=(−1)2−160时，g(x)是R上的增函数，
∵g(−1a)=e−1a−10，
∴g(x)有唯一的零点x0∈(−1a,0)，则f(x)有两个零点．
当a=0时，g(x)=ex>0恒成立，g(x)没有零点，则f(x)有唯一的零点．
当a0，得x>ln(−a)，由g′(x)0，且−4mi>0，所以mi0，
所以T(n)在n∈N∗上单调递增，
所以Tn取到最小值T1=835．
(1)根据条件列出关于a1，d的方程组，再由等差数列的通项公式即可求出an；由条件可得Bn=b1+12b2+⋯+12n−1bn=12n(3n−1)，由Bn−Bn−1即可求出bn；
(2)(ⅰ)将cn=(2bn−1)(2an−2)an⋅an+1变形为3n2n+5−3n−12n+3，再用裂项相消法即可求出数列{cn}的前n项和Tn；
(ⅱ)令f(n)=3n2n+5，根据f(n)在(0,+∞)上单调性，即可知当n=1时，Tn取到最小值835．
本题考查数列的综合应用，属难题．DeepSeek的应用情况
相关从业人员
合计
减少
未减少
应用
54
72
没有应用
42
合计
90
150
DeepSeek的应
用情况
相关从业人员
合计
减少
未减少
应用
54
18
72
没有应用
36
42
78
合计
90
60
150