2025年广东省汕头市潮阳区棉城中学高考数学第二次测试试卷（含答案）

这是一份2025年广东省汕头市潮阳区棉城中学高考数学第二次测试试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设集合A={x|2x>4}，B={1,2,3,4}，则A∩B=( )
A. {2}B. {1,2}C. {2,3,4}D. {3,4}
2.记复数z的共轭复数为z−，若z=3+4i，则1z−=( )
A. 3−4i5B. 3+4i5C. 3−4i25D. 3+4i25
3.双曲线y2a2−x2=1(a>0)的一个焦点为(0,2)，则a=( )
A. 3B. 33C. 3D. 13
4.扇形的半径等于2，面积等于6，则它的圆心角等于( )
A. 1B. 32C. 3D. 6
5.已知随机变量ξ～N(3,4)，则“a=3”是“P(ξ0时，n的最大值为8
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知α是锐角，若tan2α=3sinαcsα+sinα，则tanα= ______．
13.已知圆C1：x2+y2+4x−4y−1=0与圆C2：x2+y2−2x+2y−7=0相交于两点A，B，则四边形AC1BC2的面积等于______．
14.一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.设第1，2，3次都摸到红球的概率为P1；在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率为P2.求P1+P2= ______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知函数f(x)=alnx−bx2+1，a，b∈R.若f(x)在x=1处与直线y=0相切．
(1)求a，b的值；
(2)求f(x)在[1e,e2](其中e=2.718…为自然对数的底数)上的最大值和最小值．
16.(本小题12分)
已知直线l：2x+2y+ 2=0与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，C为圆O上不同于A，B的一点.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．
(1)求角C；
(2)若a+b= 6，求△ABC的面积．
17.(本小题12分)
如图，在三棱锥P−ABC中，△PBC是边长等于2的正三角形，∠ACB=90°，M为AB的中点．
(1)求证：BC⊥PM；
(2)若AC=2 3,cs∠ACP=− 34，求点M到平面PBC的距离．
18.(本小题12分)
地区生产总值(地区GDP)是衡量一个地区经济发展的重要指标，在过去五年(2019年−2023年)中，某地区的地区生产总值实现了“翻一番”的飞跃，从1464亿元增长到了3008亿元，若该地区在这五年中的年份编号x(2019年对应的x值为1，2020年对应的x值为2，以此类推)与地区生产总值y(百亿元)的对应数据如下表：
(1)该地区2023年的人均生产总值为9.39万元，若2023年全国的人均生产总值X(万元)服从正态分布X∼N(8.57,0.822)，那么在全国其他城市或地区中随机挑选2个，记随机变量Y为“2023年人均生产总值高于该地区的城市或地区的数量”，求Y=1的概率；
(2)该地区的人口总数t(百万人)与年份编号x的回归方程可以近似为t=0.2x+2.2，根据上述的回归方程，估算该地区年份编号x与人均生产总值(人均GDP)u(万元)之间的线性回归方程u=bx+a．
参考公式与数据：人均生产总值=地区生产总值÷人口总数；
线性回归方程y=b​x+a​中，斜率和截距的最小二乘法估计公式分别是：b =i=1n(xi−x−)(yi−y−)i=1n(xi−x−)2,a =y−−b x−，
若X～N(μ,σ2)，则P(μ−σ≤x≤μ+σ)≈0.68，P(μ−2σ≤x≤μ+2σ)≈0.95．
19.(本小题12分)
在平面直角坐标系xOy中，设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为 32，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，过F2作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，且△AF1F2的周长是4+2 3．
(1)求椭圆C的方程；
(2)当AB=32DE时，求△ODE的面积．
参考答案
1.D
2.D
3.A
4.C
5.C
6.D
7.B
8.D
9.ACD
10.BD
11.ABD
12.13
13.9
14.1112
15.解：(1)∵函数f(x)=alnx−bx2+1，
∴f′(x)=ax−2bx，
∵函数f(x)在x=1处与直线y=0相切，
∴f′(1)=a−2b=0f(1)=−b+1=0，解得a=2b=1；
(2)由(1)可得f(x)=2lnx−x2+1，
∴f′(x)=2x−2x=2−2x2x=2(1−x)(1+x)x，
所以当1e≤x0，当1μ+σ)=1−P(μ−σ≤x≤μ+σ)2=0.16，
即每个地区大于该地区的人均生产总值的概率为0.16，
则Y∼B(2,0.16)，
所以P(Y=1)=C21×(0.16)×(1−0.16)=0.2688；
(2)因为t=0.2x+2.2，由题意可知，每年的人均生产总值分别依次为：
u1=14.640.2×1+2.2=6.1,u2=17.420.2×2+2.2=6.7,u3=20.720.2×3+2.2=7.4，u4=25.20.2×4+2.2=8.4,u5=30.080.2×5+2.2=9.4，
所以x−=15×(1+2+3+4+5)=3,u−=15×(6.1+6.7+7.4+8.4+9.4)=7.6，
则i=15(xi−x−)(ui−u−)=8.3，i=15(xi−x−)2=10，
由公式可知b =i=15(xi−x−)(ui−u−)i=15(xi−x−)2=8.310=0.83,a =u−−b x−=7.6−0.83×3=5.11，
即u=0.83x+5.11．
19.解：(1)因为e= 32，知ca= 32，
所以c= 32a．
因为△AF1F2的周长是4+2 3，所以2a+2c=4+2 3，
所以a=2，c= 3，故b2=a2−c2=1，
所以椭圆C的方程为：x24+y2=1；
(2)分析知直线的斜率存在，且不为0，设1的方程为：x=my+ 3，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
与椭匮方程联立x24+y2=1x=my+ 3，整理可得：(4+m2)y2+2 3my−1=0，
可得y1+y2=−2 3m4+m2，y1y2=−14+m2，
所以写出|AB|= 1+m2⋅ (y1+y2)2−4y1y2= 1+m2⋅ 12m2(4+m2)2−4⋅−14+m2=4(1+m2)4+m2，
由题意同理可得|DE|=4[1+(−1m)2]4+(−1m)2=4(1+m2)1+4m2，
因为|AB|=32|DE|，
所以4(1+m2)4+m2=32×4(1+m2)1+4m2，
解得m2=2，所以|DE|=43，
所以直线l2的方程为y=± 2(x− 3)，
所以O到直线l2的距离d= 6 (± 2)2+12= 2，
故S△ODE=12× 2×43=2 23． 年份编号x
1
2
3
4
5
地区生产总值y(百亿元)
14.64
17.42
20.72
25.20
30.08