2024-2025学年安徽省怀宁县高二下册3月月考数学阶段检测试卷（附解析）

这是一份2024-2025学年安徽省怀宁县高二下册3月月考数学阶段检测试卷（附解析），共19页。试卷主要包含了选择题，多选题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1. 1080不同的正因数个数为（ ）
A. 32B. 36C. 48D. 50
【正确答案】A
【分析】根据质因数分解，结合分步计数原理即可求解.
【详解】由题意可知，则
1080的正因数，
因为可取，可取，可取，
所以1080不同的正因数个数为.
故选：A.
2. 五个人站队排成一行，若甲不站排头，乙不站排尾，则不同排法的种数为（ ）
A. 36B. 72C. 78D. 120
【正确答案】C
【分析】首先对甲的站位进行分类，再按照分步原理进行计算.
【详解】由题意，分成2种情况，
一种情况是甲站排尾，则其余4人全排列，有种方法，
另一种情况是甲不占排尾，则甲有3种方法，乙有3种方法，其余3人全排列，有种方法，
综上可知，共有种方法.
故选：C
3. 数学中“凸数”是一个位数不低于3的奇位数，是最中间的数位上的数字比两边的数字都大的数，则没有重复数字且大于564的三位数中“凸数”的个数为（ ）
A. 147B. 112C. 65D. 50
【正确答案】C
【分析】根据给定条件，结合“凸数”的意义，利用分类加法计数原理求解即得.
【详解】最高位是5的“凸数”，中间数分别为7，8，9，分别有6，7，8个，共有21个；
最高位是6的“凸数”，中间数分别为7，8，9，分别有6，7，8个，共有21个；
最高位是7的“凸数”，中间数分别为8，9，分别有7，8个，共有15个；
最高位是8的“凸数”，中间数为9，有8个，
所以没有重复数字且大于564的三位数中“凸数”的个数为.
故选：C
4. 如图，用 6 种不同的颜色把图中 A，B，C，D 四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有（ ）
A. 400 种B. 460 种C. 480 种D. 496 种
【正确答案】C
【分析】完成此事可能使用4种颜色，也可能使用3种颜色，当使用3种颜色时，和涂一种颜色，利用分类加法、分步乘法计数原理即可求解.
【详解】完成此事可能使用4种颜色，也可能使用3种颜色，
当使用4种颜色时，有6种涂法，有5种涂法，有4种涂法，有3种涂法，
所以共有种方法；
当使用3种颜色时，和涂一种颜色，共有6种涂法，
有5种涂法，有4种涂法，
所以共有种方法；
所以不同的涂法共有种.
故选.
5. 图中的矩形的个数为（ ）
A. 12B. 30C. 60D. 120
【正确答案】C
【分析】根据题意先确定“横边”，再确定“竖边”，结合分步计数原理，即可求解.
【详解】由题意，矩形的两条邻边确定，矩形就确定，第一步先确定“横边”，
从5个点任选2个点可以组成一条“横边”，共有种情况；
第二步再确定“竖边”，共有种情况，
所以图中矩形共有.
故选：C.
6. 已知函数是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】当时，，可得在上单调递增，结合函数是定义域为的奇函数，，从而得到不等式，求出答案.
【详解】令，则，
由题意知当时，，故在上单调递增，
因为函数是定义域为的奇函数，
所以，
所以，
所以是定义域为的偶函数，
所以在上单调递减，
又因为，所以，
所以，
所以当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则.
则不等式的解集为.
故选：D.
7. 设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数m的最小值为（ ）
A. B. 1C. D.
【正确答案】C
【分析】根据对数的运算性质将不等式等价为恒成立，构造函数，，利用导数求解函数单调性进而得最值即可求解.
【详解】因为，不等式成立，即，
又，则恒成立，
令，可得，
当，，单调递增，
则不等式恒成立等价于恒成立，
即恒成立，即恒成立，
设，可得，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以当，函数取得最大值，最大值为，
所以，即，则实数m的最小值为．
故选：C．
8. 已知函数，若在有实数解，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】首先分析题意，由于，设出进一步分析，则，分析单调性解出实数的取值范围.
【详解】根据题意，，所以，令，
则函数在上存在零点等价于与的图象有交点.
，
令，则，故在上单调递增，
因为，，所以存在唯一的，使得，
即，即，，
所以当时单调递减，当
时，单调递增，所以，
又时，，故，所以，
故选：C.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.
9. （多选题）有4位同学报名参加三个不同的社团，则下列说法正确的是（ ）
A. 每位同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有种
B. 每位同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有种
C. 每位同学限报其中一个社团，每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有24种
D. 每位同学限报其中一个社团，每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有种
【正确答案】AC
【分析】根据题意，利用分步计数原理分析选项即可.
【详解】对于A选项， 第1个同学有3种报法，第2个同学有3种报法，后面的2个同学也有3种报法，根据分步计数原理共有种结果，A正确，B错误；对于C选项，每个社团限报一个人，则第1个社团有4种选择，第2个社团有3种选择，第3个社团有2种选择，根据分步计数原理共有种结果，C正确，D错误.
故选：AC.
10. 若对一切恒成立，则的值可能为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】AB
【分析】构造函数，借助导数可研究其单调性即可得，再构造函数，借助导数可研究其单调性即可得，即可得解.
【详解】由题意可得对一切恒成立，
令，则，
当时，，故在上单调递减，
此时在上无最小值，不符合题意，
当时，令，有，令，有，
故在上单调递减，在上单调递增，
故，
即，则，
令，则，
故当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
故，即，当，满足题意.
故选：AB.
11. 灵活生动的曲线和简洁干练的直线，在生活中处处体现了几何艺术美感，我们可以利用曲线和直线写出很多不等关系，如由在点处的切线写出不等式，进而用替换得到一系列不等式，叠加后有这些不等式同样体现数学之美．运用类似方法推导，下面的不等式正确的有（ ）
A. ，B.
C. D.
【正确答案】ABC
【分析】选项A，将中的替换为，用赋值法可得，选项B，然后根据同向不等式相加可判断B选项的正误；选项C，将中的替换为，可得，同样根据同向不等式相加与指对互化即可证明；选项D，将中的替换为，可得，然后再根据同向不等式相加可判断D的正误，另外，也可用特殊值法即由即可说明选项D的正误．
【详解】令，则，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故在处取得极小值，也是最小值，，
故，当且仅当时等号成立，
将中的替换为，可得，
当且仅当时等号成立，
令，可得，
所以，故正确；
所以，
其中，
所以，故B正确；
C选项：将中的替换为，显然，
则，
故，
当时，，故成立；
当时，显然成立，
故，故C正确；
选项：将中的替换为，其中，且，则，
则，故，
则，又，故D错误.
故选：ABC．
三､填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 已知函数，其中，若曲线和曲线的公切线有两条，则的取值范围为_______.
【正确答案】
【分析】设切点求出两个函数的切线方程，根据这个两个方程表示同一直线，可得方程组，化简方程组，可以得到变量关于其中一个切点横坐标的函数形式，求导，求出函数的单调性，结合该函数的正负性，画出图象图形，最后利用数形结合求出的取值范围.
【详解】设曲线的切点为：，，所以过该切点的切线斜率为，
因此过该切点的切线方程为：；
设曲线的切点为：，，所以过该切点的切线斜率为，
因此过该切点的切线方程为：，
则两曲线的公切线应该满足：，
构造函数,
当时，单调递减，当时，单调递增，
所以函数有最大值为：，
当时，，当，，函数的图象大致如下图所示：
要想有若曲线和曲线的公切线有两条，则的取值范围为.
故答案为.
13. 已知恒成立，则正数的取值范围为______．
【正确答案】
【分析】将原不等式同构为，即，令，分析单调性可得，令利用导数求出最值得解.
【详解】由，可得．
令，易知在上单调递增，
由，可得，
故，即
令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，
所以，即，
故正数的取值范围是.
故答案为.
14. 将3个1，3个2，3个3共9个数分别填入如图方格中，使得每行、每列的和都是3的倍数的不同填法种数为__________.
【正确答案】24
【分析】每行，每列的和为3的倍数有两种可能，即每行每列数字相同或1，2，3各一个，利用排列组合知识求出种类数即可.
【详解】每行，每列的和为3的倍数有两种可能：
①每行或每列的数字相同，有种方法，
②每行或每列的数字1，2，3各一个，有种方法.
所以每行，每列和都是3的倍数的不同填法种数为
故24.
四､解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
15. 从包含甲、乙2人的7人中选4人参加4×100米接力赛，求在下列条件下，各有多少种不同的排法？（结果用数字作答，否则无分）
（1）甲、乙2人都被选中且必须跑相邻两棒；
（2）甲、乙2人都被选中且不能相邻两棒；
（3）甲、乙2人都被选中且甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒．
【正确答案】（1）120 （2）120
（3）140
【分析】（1）元素相邻用捆绑法；
（2）元素不相邻用插空法；
（3）由间接法求解即可.
【小问1详解】
第一步：甲乙捆绑看做一个整体，从3个位置安排一个位置有，
第二步：从剩下5人中，需两人排在两个位置，有,
所有共有：；
【小问2详解】
第一步，先从剩下5人中选2人排序，有，
第二步，甲乙两人从3个空中选2个空排序，有，
所以共有：；
【小问3详解】
从5人中选2人加上甲乙4人的全排列有：，
其中甲跑第一棒的有：，乙跑第四棒的有：，
甲跑第一棒，乙跑第四棒有：，
所以共有：
16. 已知函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若对任意都有，求实数的取值范围．
【正确答案】（1）减区间为，增区间为
（2）
【分析】（1）先求出导函数，再根据导函数正负得出函数单调性；
（2）先求出导函数再构造函数，再分和分别求出函数单调性即可求参.
【小问1详解】
当时，，的定义域为．
因为，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以的减区间为，增区间为．
【小问2详解】
因，
设，，则，所以在上单调递增．
当时，，即，所以在上单调递增．
所以恒成立，故满足题意．
当时，，又，
因为在上单调递增，所以，
所以当时，，即．
所以在上单调递减，此时，故不合题意．
综上所述，实数的取值范围是．
17. 已知函数
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若恒成立，求a的取值范围．
【正确答案】（1）答案见解析.
（2）
【分析】（1）求导,然后令,讨论导数的符号即可;
（2）构造,计算的最大值,然后与0比较大小,得出的分界点,再对讨论即可.
【小问1详解】
令,则
则
当
当,即.
当,即.
所以在上单调递增,在上单调递减
【小问2详解】
设
设
所以.
若,
即在上单调递减,所以.
所以当,符合题意.
若
当,所以.
.
所以,使得,即,使得.
当,即当单调递增.
所以当,不合题意.
综上,的取值范围为.
关键点点睛:本题采取了换元,注意复合函数的单调性在定义域内是减函数,若,当,对应当.
18. 已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2），求的值；
（3）对于任意的，求证：．
【正确答案】（1）答案见解析；
（2）；
（3）证明见解析.
【分析】（1）对函数求导，讨论、研究导数的符号，即可确定单调性；
（2）根据题设得且，利用导数研究左侧的最值，即可得参数值；
（3）根据（2）的结论有，则，应用累加即可证结论.
【小问1详解】
由题设且，
当时，，即在上单调递增；
当时，令，则，
若，则，即在上单调递减，
若，则，即在上单调递增；
【小问2详解】
由且的定义域为，
由（1）知，在上单调递增，即上有，不符合；
所以，结合此时的性质，只需，
令，故，
当时，即上单调递增，
当时，即在上单调递减，
所以，即，
所以，只需，满足.
【小问3详解】
由（2）知，在上，则，
令，则，
所以，得证.
19. 已知函数，，．
（1）若的极值点为1，求实数的值；
（2）在（1）的前提下，若对，总存在，使得成立，求实数的取值范围；
（3）证明不等式（其中是自然对数的底数）．
【正确答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【分析】（1）先求出导函数再应用1是极值点代入求参即可；
（2）把存在及恒成立转化为最值问题，先求出，再分类讨论求出计算求参即可；
（3）应用，再结合（2）得出，应用不等式的性质计算即可证明.
【小问1详解】
因为的极值点为1，且，所以
所以，经检验符合题意，
因此可得.
【小问2详解】
对，总存在使得成立，
等价于存在使得成立，
由（1），若，，函数单调递增，若，，函数单调递减，所以，
所以存在，使得，
，，当时，
①当时，若，，函数单调递减，，不符合题意；
②当时，，使得，
时，，函数单调递增；时，，函数单调递减，
即，则，使得，符合题意；
③当时，若，，函数单调递增，，
则，使得，符合题意；
综上可知，所求实数的取值范围是
【小问3详解】
由（2）可得当时，，单调递减，所以，，
令，，有；
再由（2）可得，即，则，
即，也即，∴，,
．
则,
所以．