黑龙江省哈尔滨市师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题（Word版附解析）

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（本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟）
一、选择题：本题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分.在每个小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由诱导公式求解即可.
【详解】
故选：C.
2. 设集合 ， ，则集合 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解指数不等式化简集合 ，再根据交集的定义计算可得.
【详解】因为 ，又 ，即 ，解得 ，
所以 ，
所以 .
故选：C
3. 函数 为定义在 上的奇函数，当 时， ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
第 1页/共 18页【解析】
【分析】求出 的值，利用奇函数的性质可求得 的值.
【详解】因为函数 为定义在 上的奇函数，当 时， ，
则 ，故 .
故选：A.
4. 已知函数 的部分图象如图所示， （ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据最值可确定 ；由图象可确定 最小正周期，由此可得 ；代入 可求得 ，
由此可得 .
【详解】 ， ， ， ；
最小正周期 ， ，即 ，
， ， ，
又 ， ， .
第 2页/共 18页故选：B.
5. 下列说法正确的是（ ）
A. 命题“ ， ”的否定是“ ， ”
B. 是第二象限角的必要不充分条件是 且
C. 函数 的零点是
D. 的单调递增区间为 ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据含有一个量词的否定，判断 A；根据三角函数在各象限的正负，以及充分条件和必要条件的
定义，判断 B；根据零点的定义判断 C；结合对勾函数的性质，判断 D.
【详解】对于 A，根据含有一个量词的否定，命题“ ， ”的否定是“ ，
”，故 A 错误；
对于 B，当 且 时，能推出 是第二象限角，
反过来当 是第二象限角，也能推出 且 ，
所以 是第二象限角的充要条件是 且 ，故 B 错误；
对于 C，函数 的零点满足 ，即 ，所以零点是 1，不是 ，故 C 错误；
对于 D，函数 结合对勾函数的图象，可知 单调递增区间为 ， ，故 D
正确，
故选：D.
6. 化简 （ ）
A. 1 B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】利用三角恒等变换化简即得.
第 3页/共 18页【详解】
.
故选：C.
7. 随着冬天的到来，越来越多的旅客从全国各地来到“尔滨”赏冰乐雪，今年冰雪大世界以“冰雪同梦，亚洲
同心”为主题，一睹冰雕雪雕风采的同时还能体验各中冰上项目，如抽尜，大滑梯，摩天轮等.如图所示，某
地摩天轮最高点离地面高度 128m，最低点离地面高度 8m，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进
舱，开启后按逆时针匀速旋转，转一周的时间约为 24min，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动 tmin 后距
离地面高度为 hm，下列说法正确的是（ ）
A. 摩天轮的轮盘直径为 60m
B. h 关于 t 的函数解析式为
C. h 关于 t 的函数解析式为
D. 在游客乘坐一周的过程中，游客有 16min 时间距地面高度超过 38m
【答案】D
【解析】
【分析】根据摩天轮离地最高距离和最低距离的差值，求出直径判断 A；依题意，分别求出 得解
析式，判断 B，C；根据提议，令 ，求出 的取值范围，判断 D.
【详解】对于 A，因为摩天轮最高点离地面高度 128m，最低点离地面高度 8m，所以摩天轮的轮盘直径为
，故 A 错误；
第 4页/共 18页对于 B，设 ，则 ，
令 时，则 ， ，
又 ，解得 ，
所以 ， 故 B，C 错误 ；
对于 D， ，
当距地面高度超过 38m 时，即 ，即 ，
即 ，解得 ，
又因为 ，所以 ，所以游客有 16min 时间距地面高度超过 38m，故 D 正确，
故选：D.
8. 设函数 在 上恰有两个零点，且 的图象在 上恰有两个
最高点，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合三角函数的图象，可找到满足条件的 所在的区间，解不等式组，可求得结果.
【详解】 ，
在 上恰有两个零点，恰有两个最高点，
，
第 5页/共 18页即 ，
当 时，不符合题意，
当 时，不等式组为 ，不等式无解，
当 时, 不等式组为 ，不等式无解，
当 时， ，解得 ，
当 时， ，不等式无解，
当 时，不等式无解.
.
故选：A
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是根据 在 上恰有两个零点、两个最高点建立不等式组
.
二、多选题：本题共 3 个小题，每小题 6 分，共 18 分.在每个小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列各式比较大小，正确的是（ ）
第 6页/共 18页A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据幂函数及对数函数的单调性判断即可.
【详解】对于 A、B： ， ，
又 在 上单调递增，所以 ，即 ，故 A 错误，B 正确；
对于 C、D： ，又 在 上单调递增，
所以 ，即 ，故 C 错误，D 正确.
故选：BD
10. 下列有关最值的结论中，正确的是（ ）
A. 当 时，函数 的最小值为
B. 若 、 均为正数，且 ，则 的最小值为
C. 若 、 均为正数，且 ，则 的最小值为
D. 若 、 、 均为正数，且 ，则 最小值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用基本不等式求出各选项中代数的最值，注意等号成立的条件，即可得出合适的选项.
【详解】对于 A 选项，当 时，则 ，
则 ，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，
故当 时，函数 无最小值，A 错；
对于 B 选项，若 、 均为正数，且 ，
由基本不等式可得 ，可得 ，
第 7页/共 18页即 ，可得 ，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，即 的最小值为 ，B 对；
对于 C 选项， 若 、 均为正数，且 ，
则 ，可得 ，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，故 的最小值为 ，C 对；
对于 D 选项，因为 、 、 均为正数，且 ，
则
，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，
故 的最小值为 ，D 对.
故选：BCD.
11. 已知函数 的定义域为 ， ，且当 时， ，则（
）
A. 是奇函数 B. 是以 1 为周期的周期函数
C. 当 时， D. 对 恒成立
【答案】ACD
第 8页/共 18页【解析】
【分析】对于 A，令 ，得 ，令 ， 将 变换为 ，得到 判定；
对于 B，先证明 是增函数，可得 不是周期函数判断；对于 C，D 运用单调性可判断.
【详解】对于 A，令 ，则 ，得 ，
令 ，得 ，
由 整理可得 ①.
将 变换为 ，则 ②，
由① ②得， ，
所以 ，故 是奇函数，故 A 正确.
对于 B，设 ，则 ， ，
由 时， ，得 ，
又 ，
故 .又 是奇函数，根据奇函数性质，故 是 上的增函数，
所以 不是周期函数，故 B 错误.
对于 C，当 时， ，由 B 知 是增函数，所以 ，故 C 正确.
对于 D，因为 ，都有 ，即 ，
由 是增函数，故 对 恒成立，故 D 正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 函数 的定义域为__________.
【答案】
【解析】
第 9页/共 18页【分析】根据对数的真数大于零可得出 ，结合正弦函数的基本性质求解即可.
【详解】对于函数 ，有 ，可得 ，
解得 ，
因此，函数 的定义域为 .
故答案为： .
13. 《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧
田是由弧 AB 和弦 AB 所围成的图中阴影部分.若弧田所在扇形的圆心角为 ，扇形的弧长为 ，则此弧田
的面积为__________.
【答案】
【解析】
【分析】设扇形 半径为 ，利用弧长公式求出 的值，然后利用扇形的面积减去三角形 的面积可得
出弧田的面积.
【详解】设扇形的半径为 ，则扇形的弧长为 ，解得 ，扇形面积为 ，
取 的中点 ，连接 ，如下图所示：
因为 ，则 ，
又因为 ，则 ，
所以， ， ，则 ，
第 10页/共 18页所以， ，
因此，弧田的面积为 .
故答案为： .
14. 设函数 ，若关于 x 的函数 恰好有五个零点，
则实数 a 的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】画出 的图象，换元后数形结合分析可得方程两根的范围，再利用二次函数
根的分布列出不等式组即可得解.
【详解】作出函数 的图像如下：
令 ，关于 x 的函数 恰好有五个零点，
则 有两个不同的实根，设两根分别为 ， 有五个零点，即 与
共有五个交点.
则由图像可知，
，或者
第 11页/共 18页令 ，据二次函数根分布的关系，可得 或
解不等式组，得 .
故答案为：
四、解答题：本题共 5 个小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步㯃.
15. （1）已知角 终边所在直线经过点 ，求 的值；
（2）已知 ， ， ， ，求 的值.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】（1）根据三角函数的定义求出 ，再由诱导公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代
入计算可得；
（2）首先求出 ， ，再由两角和的余弦公式计算可得.
【详解】（1） 角 终边所在直线经过点 ， ，
.
第 12页/共 18页（2） ， ， ， ，
， ，
.
16. 已知定义在 上 函数 .
（1）判断函数 的单调性，并用定义证明；
（2）解不等式 .
【答案】（1）增函数，证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用函数单调性的定义，即可作出判断与证明；
（2）利用函数 为奇函数，把不等式转化为 ，再利用 的单调性，得出不等式
组，即可求解.
【小问 1 详解】
函数 在 上是增函数，证明如下：
设 ，则
，
， ，且 ，则 ，
则 ，即 ，所以函数 在 上是增函数.
【小问 2 详解】
， ，故 是奇函数，
， ，
是定义在 上的增函数，
第 13页/共 18页，解得 ，
所以不等式的解集为 .
17. 已知函数 是偶函数.
（1）求实数 的值；
（2）若 ，求 的集合；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用偶函数的定义可得出关于 的等式，解之即可；
（2）由对数函数的单调性结合不等式 可得出 ，设 ，可得出关于
的二次不等式，解出 的取值范围，结合指数函数的单调性可得出 的取值范围.
【小问 1 详解】
对任意的 ， ，
所以，函数 的定义域为 ，
因为函数 为偶函数，则 ，
即 ，
所以，
对任意的 恒成立，
所以， ，解得 .
【小问 2 详解】
因为 ，
第 14页/共 18页由 即 ，即 .
设 ，则 ，所以， ，即 ，
解得 ，即 ，解得 ，
因此，满足不等式 的 的取值集合为 .
18. 已知函数 .
（1）求函数 的最小正周期和单调递增区间；
（2）若 ，求函数 的值域；
（3）若方程 在 上有两个不相等的实数根 ， ，求 的值.
【答案】（1）最小正周期为 ，
（2）
（3）
【解析】
【分析】(1)根据二倍角公式和辅助角公式，把函数整理为正弦型函数，利用周期公式，求周期，利用正弦
函数的单调区间，求出函数的单调增区间；
(2)根据题中所给 ，求得 的取值范围，利用正弦函数的图像，求出函数值域；
(3)根据题中所给 范围，求得 的取值范围，转化为解方程 ，借助正弦函数的对称
性，求得 ， 的关系，代入求解.
【小问 1 详解】
第 15页/共 18页即 ，
最小正周期为 ， ，解得 ，
故单调递增区间为 .
小问 2 详解】
由 ， ， ，
所以 在区间 上的值域为 .
【小问 3 详解】
由 ， ，
的两个解为 ，
.则 ， ， ，
，
所以 .
19. 已知函数 ， .
（1）若 ，求函数 的单调增区间；
（2）若方程 有 3 个不同的实根 ， ， ，且 求实数 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若存在 ， ， ，使不等式 成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）单调增区间为 ，
（2）
第 16页/共 18页（3）
【解析】
【分析】（1）根据二次函数解析式判断单调性即可；
（2）根据 和 两种情况分别讨论函数零点的个数即可求参；
（3）先根据韦达定理得出 ， ，再根据 构造函数可解.
【小问 1 详解】
时， ，
则单调增区间为 ， .
【小问 2 详解】
设 ，
方程 有 3 个不同的实根 ， ， ，
即为函数 有 3 个不同的零点 ， ， ，
当 时， 在 上单调递增，只有 1 个零点 ，不符合题意；
当 时，因为函数 有 3 个不同的零点 ， ， ，
且 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 时， 有 1 个根，
时， 有 2 个根，
故 ，解得 ；
当 时，当 时，方程 判别式 ，
可知 无解，所以函数 不可能有 3 个不同的零点 ， ， ，
所以不符合题意.
第 17页/共 18页综上： 的取值范围是 .
小问 3 详解】
由（1）知 ， ， 是方程 的两个不等实根，
则 ， ，
是方程 的大根，即 ，
由 ，得 ，
记 ，则 ，
即等价于存在 ，使 ，即 ，
因为 ，
显然 在 上单调递增，
所以 ，所以 的取值范围是 .
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是构造函数 结合函数的单调性得出参数范围.
第 18页/共 18页