三角形中七种常考方法求角度问题（原卷版）-中考数学二轮专题练习

这是一份三角形中七种常考方法求角度问题（原卷版）-中考数学二轮专题练习，共22页。
【中考母题学方法】
【典例1】（2023·河南信阳·二模）【阅读理解】如图，小明把一副三角板直角顶点重叠在一起如图固定三角板，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为秒，当边与边重合时停止转动．

【解决问题】
(1)在旋转过程中，请填出、之间的数量关系______；
(2)当运动时间为秒时，图中有角平分线吗？找出并说明理由；
(3)当、中一个角的度数是另一个角的两倍时，则称射线是的“优线”，请直接写出所有满足条件的值．
【中考模拟即学即练】
【变式1-1】（23-24陕西西安）新定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图1，若射线在的内部，且，则是的内半角，根据以上信息，解决下面的问题：
(1)如图1，，若是的内半角，则______，______．
(2)如图2，已知，将绕点按顺时针方向旋转一个角度至．若是的内半角，求的值．
(3)把一块含有角的三角板按图3方式放置，使边与边重合，边与边重合，如图4，将三角板绕顶点以4度/秒的速度按顺时针方向旋转一周，旋转时间为秒，当射线构成内半角时，请求出的值．
【变式1-2】（23-24湖南长沙）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角与这个角互余，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内余角，如图1，若射线在的内部，且，则是的内余角．
根据以上信息，解决下面的问题：
(1)如图1，，若是的内余角，则______；
(2)如图2．已知将绕点顺时针方向旋转一个角度得到．同时将绕点顺时针方向旋转一个角度得到．若是的内余角，求的值；
(3)把一块含有角的三角板按图方式放置，使边与边重合，边与边重合，如图4将三角板绕顶点以度/秒的速度按顺时针方向旋转，旋转时间为秒，在旋转一周的时间内，当射线构成内余角时，请求出的值．
【变式1-3】（23-24河南焦作）一副三角板按如图1所示放置，边，在直线上，．
如图2，将三角板绕点O顺时针旋转到，转速为每秒钟转动，当旋转一周回到射线上时停止转动，设转动时间为秒．
(1)当与重合时，直接写出的值；
(2)①当正好平分时，在图1中画出此时的位置，并求出t的值；
②在旋转过程中，作的角平分线，当时．直接写出t的值．
题型二：分类讨论法求角度问题
【中考母题学方法】
【典例2】（22-23浙江）【问题提出】已知与有共同的始边，且满足，若，求的度数．
【问题解决】圆圆首先画出两个符合题意的图形，运用分类讨论的数学思想，解决问题．
在图①中，当射线在的内部时，由题意易得；
在图②中，当射线在的外部时，由题意易得．

【问题应用】请仿照这种方法，解决下面两个问题
(1)如图③，已知点A，B，C在数轴上对应的数分别为，2，1，请在数轴上标出线段的中点D并写出D所表示的数；若数轴上存在点E，它到点C的距离恰好是线段的长，求线段的长．
(2)如果两个角的差的绝对值等于，就称这两个角互为垂角，例如：，则和互为垂角（本题中所有角都是指大于且小于的角）．
①若，求的垂角；
②如果一个角的垂角等于这个角的补角的，求这个角的度数．
【中考模拟即学即练】
【变式2-1】（24-25·江苏无锡）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若，则是的内半角．
(1)如图①所示，已知，，是的内半角，则________．
(2)如图②，已知，将绕点O按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的内半角？
(3)已知，把一块含有角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点O以/秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线始终在的外部，射线能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由．
【变式2-2】（23-24·广东广州）（1）如图，线段，C为的中点，点P从点A出发，以的速度沿线段向右运动，到点B停止；点Q从点B出发，以的速度沿线段向左运动，到点A停止．若P，Q两点同时出发，当其中一点停止运动时，另一点也随之停止．设点P的运动时间为x（）s．
（ⅰ）________cm．
（ⅱ）是否存在某一时刻，使得C，P，Q这三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由．
（2）一副三角板按左图中的方式拼接在一起，其中边、与直线上，，．
（ⅰ）________度．
（ⅱ）如图，三角板固定不动，将三角板绕点O按顺时针方向旋转角（即），在转动过程中两个三角板一直处于直线的上方．
①当平分，，其中的两边组成的角时，________．
②在旋转过程中，是否存在某一时刻满足？若存在，求此时的角；若不存在，请说明理由．
【变式2-3】（24-25陕西西安）探究与实践
将一副三角板按如图方式拼接在一起，已知，，按如图1所示摆放，将、边重合在直线上，、边在直线的两侧：
【问题发现】
（1）保持三角板不动，将三角板绕点O旋转至如图2所示的位置，则
①__________；
②__________．
【问题探究】
（2）若三角板按每分钟的速度绕点O逆时针方向旋转，三角板按每分钟的速度也绕点O逆时针方向旋转，旋转到射线上时都停止运动，设旋转t分钟，计算（用含t的代数式表示）．
【问题解决】
（3）保持三角板不动，将三角板绕点O逆时针方向旋转，若射线平分，射线平分，求的大小．
题型三：A字模型
【中考母题学方法】
【典例3】（2024·贵州·模拟预测）教材回顾
我们知道，直角三角形的两个锐角互余，你能对直角三角形的这一性质进行证明吗？
性质证明
（1）为了证明该性质，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．
已知：在直角三角形中，
求证：
性质运用
（2）如图2，在中，，点，分别在，上，且，，，求证：．
拓展提升
（3）如图3，在中，，，，分别为，的中点．，分别在，上，且，，与相交于，与相交于求证：点是的中点
【中考模拟即学即练】
【变式3-1】如图，中，，直线交于点D，交于点E，则（ ）．
A．B．C．D．
【变式3-2】如图所示，的两边上各有一点，连接，求证．
【变式3-3】如图1，直线与的边，分别相交于点，（都不与点重合）.

(1)若，①求的度数；②如图2，直线与边，相交得到和，直接写出的度数.(2)如图3，，分别平分和，写出和的数量关系，并说明理由；
(3)如图4，在四边形中，点，分别是线段、线段上的点，，分别平分和，直接写出与，的关系.
题型四：8字模型
【中考母题学方法】
【典例4】（2024·宁夏·中考真题）综合与实践
如图1，在中，是的平分线，的延长线交外角的平分线于点．
【发现结论】
结论1：___________；
结论2：当图1中时，如图2所示，延长交于点，过点作的垂线交于点，交的延长线于点．则与的数量关系是___________．
【应用结论】
（1）求证：；
（2）在图2中连接，，延长交于点，补全图形，求证：．
【中考模拟即学即练】
【变式4-1】（2024·山东潍坊·模拟预测）潍坊红木嵌银漆器是山东潍坊特有的传统手工艺品，最早可追溯到战国时代在一些铜器上镶嵌金银丝花纹；如图为某嵌银厂制作的传统工艺红木嵌银靠背马扎，其侧面图如图所示，，与地面平行，，则（ ）
A．B．C．D．
【变式4-2】（2024·山西·三模）如图1是一个可调节的电脑桌，它的工作原理是利用液体在封闭的管路中传递力和能量．图2是将其正面抽象成的图形，其中桌面与底座平行，等长的支架交于它们的中点E．液压杆．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【变式4-3】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图1，在平行四边形中，，的延长线交于点F．
(1)求的长；
(2)如图2，的角平分线交于点P，点Q在上；
①当为等腰三角形时，求的长；
②如图3，当点Q在线段上，连接，将沿翻折得到，点M恰好落在边上，试求线段的长．
题型五：飞镖（燕尾）模型
【中考母题学方法】
【典例5】（2024·河南·模拟预测）如图，点A，B，C，D，E在同一平面内，若，则（ ）
A．B．C．D．
【中考模拟即学即练】
【变式5-1】如图，，，，的度数是
A．B．C．D．
【变式5-2】请阅读下列材料，并完成相应的任务：有趣的“飞镖图”．
如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹四边形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢?下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就是一个角“凹”逃去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和．
（即如图1，∠ADB=∠A+∠B+∠C）理由如下：
方法一：如图2，连结AB，则在△ABC中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，
即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°，
又：在△ABD中，∠1+∠2+∠ADB=180°，
∴∠ADB=∠3+∠4+∠C，即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C．
方法二：如图3，连结CD并延长至F，
∵∠1和∠3分别是△ACD和△BCD的一个外角，．．．．．．．．．．
大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论．
任务：(1)填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是_________；
(2)探索及应用：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分．
【变式5-3】（2024·江苏·统考期中）【概念学习】在平面中，我们把大于且小于的角称为优角，如果两个角相加等于，那么称这两个角互为组角，简称互组．
（1）若、互为组角，且，则________；
【理解运 用】习惯上，我们把有一个内角大于的四边形俗称为镖形．
（2）如图①，在镖形中，优角与钝角互为组角，试探索内角、、与钝角之间的数量关系，并说明理由；
【拓展延伸】（3）如图②，________；（用含的代数式表示）
（4）如图③，已知四边形中，延长、交于点，延长、交于，、的平分线交于点，；①写出图中一对互组的角________（两个平角除外）；
②直接运用（2）中的结论，试说明：；
（5）如图④，、分别为，的2019等分线（）．它们的交点从上到下依次为，，，…，．已知，，则_______．（用含、的代数式表示）
题型六：三角形折叠模型
【中考母题学方法】
【典例6-1】（2024·四川·中考真题）如图，中，，，，折叠，使点A与点B重合，折痕与交于点D，与交于点E，则的长为 ．
【典例6-2】（2024·江苏常州·中考真题）如图，在中，，，，D是边的中点，E是边上一点，连接．将沿翻折，点C落在上的点F处，则 ．
【典例6-3】（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，E是中点，F是上一点，沿着折叠，若，则 ．
【中考模拟即学即练】
【变式6-1】（2024·湖南·二模）如图，在四边形内部，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【变式6-2】（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，在中，将沿折叠后，点D恰好落在的延长线上的点E处，若，，则的周长为（ ）
A．12B．18C．15D．21
【变式6-3】（2024·广东·模拟预测）如图所示，在中，将点A与点B分别沿和折叠，使点A，B都与点C重合，若，则的度数为（）
A． B． C． D．
【变式6-4】（2024·贵州贵阳·二模）综合与实践
问题情境：在综合与实践课上，老师要求同学们以“折纸中的数学”为主题开展活动．
独立思考：
（1）如图①，将三角形纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置，则与之间的数量关系为 ，请说明理由；
深入探究：
（2）如图②，若点落在四边形的边下方时，试猜想此时与，之间的数量关系，并说明理由；
结论运用：
（3）如图③，在四边形中，，，分别是，边上的一点，沿将四边形折叠，点的对应点恰好落在边上，且，．
①的度数为 ；
②若，，求点到的距离．
题型七：双角平分线模型
【中考母题学方法】
【典例7-1】（2024·四川达州·中考真题）如图，在中，，分别是内角、外角的三等分线，且，，在中，，分别是内角，外角的三等分线．且，，…，以此规律作下去．若．则 度．
【典例7-2】（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知，点为内部一点，点为射线、点为射线上的两个动点，当的周长最小时，则 ．
【典例7-3】（2024·辽宁锦州·二模）【模型建构】
如图1，点O在直线上，射线，位于直线两侧，若，则称，是关于直线的对称角
当射线，位于同侧且时，可以通过作对顶角构造出对称角，可以反向延长射线，得到（如图2），或者反向延长射线，则（如图3）．
【模型应用】
（1）小明受到模型启发，运用两种方法构造出对称角解决了下面问题：
如图4，点C，D在上，点E，F在直线外，连接，，，，若，，求的度数．
方法一：延长至H，使，连接，
方法二：延长至H，使，连接，
请你依照小明的解题思路，任选一种方法，写出证明过程；
（2）小明又尝试将（1）中问题进行变式提出了新问题，请你应用“对称角”模型构造全等三角形或者按照自己的解题思路解答．
如图5，在中，，点D是的中点，点E，F分别在，上，，，猜想，，之间的数量关系，并说明理由．
【学以致用】
（3）如图6，在四边形中，，，，相较于点E，且，若，，求的长．
【中考模拟即学即练】
【变式7-1】（2024·甘肃武威·一模）如图，是的外角，平分，平分，且相交于点D．若，则等于（ ）
A．B．C．D．
【变式7-2】（2023·山东淄博·一模）如图，点是的内心，连接，若，则（ ）
A．B．C．D．
【变式7-3】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，两平面镜α、β的夹角为θ，入射光线平行于β入射到α上，经两次反射后的出射光线CB平行于α，则角θ等于（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
方程法的解题步骤
第一步：找出题中的已知角，常涉及的概念有垂直、余角、补角、对顶角、角平分线等
第二步：根据题干中出现的角度和差、倍分关系或者角度比例关系，考虑设一个角为未知数
第三步：用所设角度表示出其他角度
第四步：通过列方程求解
常考分类讨论的情形
1.若题中出现角度大小,但不明确角度边的位置,需对角的位置进行分情况讨论,再根据角度大小分别求解:
2.若题中出现射线旋转,并让探究三条射线中某一条射线是另两条射线夹角的平分线,需分别讨论哪条射线是角平分线的情况;
3.若题中出现射线三等分角,但并未说明射线靠近角度的哪一边,需对射线的位置进行分情况讨论.
模型结论：．

模型结论： 2∠P=∠B+∠D

模型结论：∠BDC＝∠A+∠B+∠C． ∠O=（∠A+∠C）。 ∠O=（∠D-∠B）。

模型结论：2∠C=∠1+∠2； 2∠C=∠2-∠1。
1.双内角平分线

模型结论： 2∠P=∠A+∠D。
2.双外角平分线
模型结论：．
3.内角平分线+外角平分线

模型结论：． 的度数是．