二次函数与几何综合题（4大必考题型）原卷版-中考数学二轮专题练习

这是一份二次函数与几何综合题（4大必考题型）原卷版-中考数学二轮专题练习，共68页。
【中考母题学方法】
1．（2024·山东淄博·中考真题）如图，抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），其中，是方程的两个根，抛物线与轴相交于点．
(1)求该抛物线对应的函数表达式；
(2)已知直线与，轴分别相交于点，．
①设直线与相交于点，问在第三象限内的抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；
②过抛物线上一点作直线的平行线．与抛物线相交于另一点．设直线，相交于点．连接，．求线段的最小值．
2．（2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，抛物线的图象经过，，三点，且一次函数的图象经过点．

(1)求抛物线和一次函数的解析式．
(2)点，为平面内两点，若以、、、为顶点的四边形是正方形，且点在点的左侧．这样的，两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标：如果不存在，请说明理由．
(3)将抛物线的图象向右平移个单位长度得到抛物线，此抛物线的图象与轴交于，两点（点在点左侧）．点是抛物线上的一个动点且在直线下方．已知点的横坐标为．过点作于点．求为何值时，有最大值，最大值是多少？
3．（2023·辽宁·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，点P为第一象限内抛物线上的动点过点P作轴于点E，交于点F．

(1)求抛物线的解析式；
(2)当的周长是线段长度的2倍时，求点P的坐标；
(3)当点P运动到抛物线顶点时，点Q是y轴上的动点，连接，过点B作直线，连接并延长交直线于点M．当时，请直接写出点Q的坐标．
4．（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）探究函数的图象和性质，探究过程如下：

(1)自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下
其中，________．根据上表数据，在图1所示的平面直角坐标系中，通过描点画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．观察图象，写出该函数的一条性质；
(2)点是函数图象上的一动点，点，点，当时，请直接写出所有满足条件的点的坐标；
(3)在图2中，当在一切实数范围内时，抛物线交轴于，两点（点在点的左边），点是点关于抛物线顶点的对称点，不平行轴的直线分别交线段，（不含端点）于，两点．当直线与抛物线只有一个公共点时，与的和是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．
5．（2023·辽宁丹东·中考真题）抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的表达式；
(2)如图，点D是抛物线上的一个动点，设点D的横坐标是，过点D作直线轴，垂足为点E，交直线于点F．当D，E，F三点中一个点平分另外两点组成的线段时，求线段的长；
(3)若点P是抛物线上的一个动点（点P不与顶点重合），点M是抛物线对称轴上的一个点，点N在坐标平面内，当四边形是矩形邻边之比为时，请直接写出点P的横坐标．
6．（2024·辽宁·中考真题）已知是自变量的函数，当时，称函数为函数的“升幂函数”．在平面直角坐标系中，对于函数图象上任意一点，称点为点“关于的升幂点”，点在函数的“升幂函数”的图象上．例如：函数，当时，则函数是函数的“升幂函数”．在平面直角坐标系中，函数的图象上任意一点，点为点“关于的升幂点”，点在函数的“升幂函数”的图象上．
(1)求函数的“升幂函数”的函数表达式；
(2)如图1，点在函数的图象上，点“关于的升幂点”在点上方，当时，求点的坐标；
(3)点在函数的图象上，点“关于的升幂点”为点，设点的横坐标为．
①若点与点重合，求的值；
②若点在点的上方，过点作轴的平行线，与函数的“升幂函数”的图象相交于点，以，为邻边构造矩形，设矩形的周长为，求关于的函数表达式；
③在②的条件下，当直线与函数的图象的交点有3个时，从左到右依次记为，，，当直线与函数的图象的交点有2个时，从左到右依次记为，，若，请直接写出的值．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·广东·模拟预测）综合探究
如图，在平面直角坐标系中．直线y=kxk≠0与抛物线交于两点，点的横坐标为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是直线下方抛物线上一动点，过点作轴的平行线，与直线交于点C．连接，设点的横坐标为．
①若点在轴上方，当为何值时，；
②若点在轴下方，求周长的最大值．
2．（2024·广东深圳·模拟预测）【背景】如图，二次函数的图象经过点和，与y轴相交于点已知位于点B右侧图象上有一动点P，并且射线分别交y轴于点D、点
（1）求二次函数表达式；
【特例】
（2）当点P的横坐标为4时，线段有什么数量关系？请说明理由；
【思考】
（3）当点P为点B右侧图象上任意一点，（2）中的结论是否仍成立？请说明理由．
3．（2025·广东·模拟预测）如图在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，求的最大值及此时P的坐标；
(3)在（2）的条件下，过点P作，垂足为M．求的最大值．
4．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴的正半轴交于点C，且．
(1)如图1，求k的值；
(2)如图2，点P在第一象限对称轴右侧的抛物线上，轴交射线于点E，设点P的横坐标为t，线段的长为d，求d关于t的函数解析式(不要求写自变量t的取值范围)；
(3)如图3，在（2）的条件下，作轴交x轴于点Z，点F在线段上，且，，交直线于点Q，当时，R是线段上的一点，过点R作平行于x轴，与线段交于点G，连接、，恰好使，延长交抛物线于点H，连接，求线段的长．
5．（2024·山西·模拟预测）综合与探究
在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．连接．
(1)求点A和点C的坐标和直线的解析式；
(2)如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接，交于点E，求的最大值；
(3)如图2，连接，过点O作直线，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点，试探究：在第一象限是否存在这样的点P，Q，使．若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
6．（2024·湖北武汉·模拟预测）抛物线交轴于点，，与轴交于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图（1），连接，是抛物线第四象限内一点，直线交于，交轴于点，若，求点坐标；
(3)如图（2），经过第四象限的直线交抛物线于点，，交轴于点，作平行四边形，连接，若轴，当点到距离的最大时，求的值．
7．（2024·山西·一模）抛物线过点，点，与y轴交于C点．
(1)求抛物线的表达式及点C的坐标；
(2)如图1，设M是抛物线上的一点，若，求M点的坐标；
(3)如图2，点P在直线下方的抛物线上，过点P作轴于点D，交直线于点E，过P点作，交与F点，的周长是否有最大值，若有最大值，求出此时P点的坐标．若不存在，说明理由．
8．（2024·广东·模拟预测）如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，，点是线段上一动点，作交线段于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，延长线段交抛物线于点，点是边中点，当四边形为平行四边形时，求出点坐标；
(3)如图2，为射线上一点，且，将射线绕点逆时针旋转，交直线于点，连接，为的中点，连接，，问：是否存在最小值，若存在，请求出这个最小值，若不存在，请说明理由．
9．（2024·河北张家口·模拟预测） 如图，二次函数的图象交轴于、两点，并经过点，已知点坐标是，点坐标是．求二次函数的解析式；求函数图象的顶点坐标及点的坐标；二次函数的对称轴上是否存在一点，使得的周长最小？若点存在，求出点的坐标；若点不存在，请说明理由．
10．（2023·湖北黄石·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点．

(1)求此抛物线的解析式；
(2)已知抛物线上有一点，其中，若，求的值；
(3)若点D，E分别是线段，上的动点，且，求的最小值．
11．（2024·四川南充·模拟预测）如图，已知抛物线与轴交于、B两点，与轴交于点C，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点P为第一象限内抛物线上一点，连接，当时，求点的坐标．
(3)如图2，过点作交抛物线于点，已知点是线段BC上方抛物线上一点，过点作轴，交于N，在线段、上分别有两个动点E、F，，G是的中点，当取得最大值时，在线段上是否存在一点H，使得的值最小？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由．
题型二：与面积有关问题
【中考母题学方法】
1．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，A、B为一次函数的图像与二次函数的图像的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数的图像上的动点，且位于直线的下方，连接、．
(1)求b、c的值；
(2)求的面积的最大值．
2．（2024·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点．

(1)求抛物线的表达式；
(2)当点在直线下方的抛物线上时，过点作轴的平行线交于点，设点的横坐标为t，的长为，请写出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
(3)连接，交于点，求的最大值．
3．（2024·山东济南·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为；抛物线，顶点为．
(1)求抛物线的表达式及顶点的坐标；
(2)如图1，连接，点是拋物线对称轴右侧图象上一点，点是拋物线上一点，若四边形是面积为12的平行四边形，求的值；
(3)如图2，连接，点是抛物线对称轴左侧图像上的动点（不与点重合），过点作交轴于点，连接，求面积的最小值．
4．（2024·海南·中考真题）如图1，抛物线经过点A−4,0、，交y轴于点，点P是抛物线上一动点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)当点P的坐标为时，求四边形的面积；
(3)当时，求点P的坐标；
(4)过点A、O、C的圆交抛物线于点E、F，如图2．连接，判断的形状，并说明理由．
5．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点．点坐标为，与轴交于点，点为抛物线顶点，点为AB中点．

(1)求二次函数的表达式；
(2)在直线上方的抛物线上存在点，使得，求点的坐标；
(3)已知，为抛物线上不与，重合的相异两点．
①若点与点重合，，且，求证：，，三点共线；
②若直线AD，交于点，则无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，，，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．
6．（2024·山东济宁·中考真题）已知二次函数的图像经过，两点，其中a，b，c为常数，且．
(1)求a，c的值；
(2)若该二次函数的最小值是，且它的图像与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
①求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标；
②如图，在y轴左侧该二次函数的图像上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线交于点E，连接，，．是否存在点P，使？若存在，求此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
7．（2023·山东青岛·中考真题）许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①）、可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨，的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，，关于y轴对称．分米，点A到x轴的距离是分米，A，B两点之间的距离是4分米．

(1)求抛物线的表达式；
(2)分别延长，交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离；
(3)以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为，将抛物线向右平移个单位，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．若，求m的值．
8．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图1，点是轴上方抛物线上一点，射线轴于点，若，且，请直接写出点的坐标．
(3)如图2，点是第一象限内一点，连接交轴于点，的延长线交抛物线于点，点在线段上，且，连接，若，求面积．
9．（2023·湖南张家界·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点A−2,0和点两点，与y轴交于点C0,6．点D为线段上的一动点．

(1)求二次函数的表达式；
(2)如图1，求周长的最小值；
(3)如图2，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．
【中考模拟即学即练】
1．（2025·上海黄浦·一模）已知抛物线经过点、、．
(1)求该抛物线的表达式及其对称轴l；
(2)如果点A与点D关于对称轴l对称，联结、，求的面积．
2．（2025·上海松江·一模）已知一条抛物线的顶点为，且经过点．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若点在该抛物线上，求的面积．
3．（2024·青海西宁·一模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线方程为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点为抛物线上一点，若，求点的坐标；
(3)直线上方的抛物线上有一点，当的面积最大时，点的坐标是什么？的最大面积是多少？
4．（2024·云南昆明·一模）如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，且满足．
(1)求抛物线的解析式；
(2)M是线段上的一点（不与点B，C重合），过点M作轴交抛物线于点N，交x轴于点D，连接，若点M的横坐标为m，是否存在点M，使的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
5．（2024·江苏盐城·三模）如图，抛物线与轴交于点A，与x轴交于点B、C，已知．
(1)求抛物线的表达式，并求出点C的坐标．
(2)点M是抛物线(第一象限内)上的一个动点，连接，当面积最大时，求M点的坐标．
(3)若点M坐标固定为，Q是抛物线上除M点之外的一个动点，当与的面积相等求出点Q的坐标．
6．（2024·四川眉山·二模）如图，二次函数的图象经过，对称轴是直线，线段平行于轴，交抛物线于点．在轴上取一点，直线交抛物线于点，连结、、、．
(1)求该二次函数的解析式及点的坐标；
(2)坐标平面内一点，使，求点的坐标；
(3)设点是的中点，点是线段上的动点，问为何值时，将沿边翻折，使与重叠部分的面积恰好是面积的，并说明理由．
7．（2024·甘肃·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点C，P是直线下方抛物线上一动点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图2，连接，，并把沿翻折，得到四边形，当四边形为菱形时，求出点P的坐标；
(3)当点P运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时点P的坐标及此时线段的长．
8．（2025·安徽·模拟预测）如图，抛物线与直线交于两点，点在轴上，过点作轴于点，且．

(1)求抛物线的解析式．
(2)将沿方向平移到．
①如图2，若经过点与轴交于点，求的值．
②如图3，直线与抛物线段交于点，与直线交于点，当顶点在线段上移动时，求与公共部分面积的最大值．
题型三：与角度有关问题
【中考母题学方法】
1．（2023·四川自贡·中考真题）如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点．

(1)求抛物线解析式及，两点坐标；
(2)以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点坐标；
(3)该抛物线对称轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2023·湖南岳阳·中考真题）已知抛物线与轴交于两点，交轴于点．

(1)请求出抛物线的表达式．
(2)如图1，在轴上有一点，点在抛物线上，点为坐标平面内一点，是否存在点使得四边形为正方形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线，抛物线的顶点为，与轴正半轴交于点，抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2023·湖南郴州·中考真题）已知抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点是抛物线的对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求的值；
(3)如图2，取线段的中点，在抛物线上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
4．（2023·江苏无锡·中考真题）已知二次函数的图像与轴交于点，且经过点和点．
(1)请直接写出，的值；
(2)直线交轴于点，点是二次函数图像上位于直线AB下方的动点，过点作直线AB的垂线，垂足为．
①求的最大值；
②若中有一个内角是的两倍，求点的横坐标．
5．（2023·辽宁营口·中考真题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，过点作直线轴，过点作，交直线于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点为第三象限内抛物线上的点，连接CE和交于点，当时．求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，连接，在直线上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
6．（2024·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点作轴交抛物线于点，作于点，求的最大值及此时点的坐标；
(3)将抛物线沿射线方向平移个单位，在取得最大值的条件下，点为点平移后的对应点，连接交轴于点，点为平移后的抛物线上一点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
7．（2024·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，与轴交于两点（在的左侧），连接．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点．点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接．当线段长度取得最大值时，求的最小值；
(3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点，且与直线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标．
8．（2024·四川广安·中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为．

(1)求此抛物线的函数解析式．
(2)点是直线上方抛物线上一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线，垂足为点，请探究是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时点的坐标；若没有最大值，请说明理由．
(3)点为该抛物线上的点，当时，请直接写出所有满足条件的点的坐标．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·陕西·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线L过三点， ．
(1)求抛物线L的函数表达式；
(2)在x轴下半部分的抛物线L上有一点M，连接，当为锐角时，设点M的横坐标为m，求m的取值范围．
2．（2025·陕西西安·一模）在直角坐标平面xOy中，直线 沿y轴向下平移；5个单位后，正好经过抛物线 的顶点C，抛物线与y轴交于点 B．
(1)求点C的坐标；
(2)点M在抛物线对称轴上，且位于C点下方，当时， 求点 M的坐标．
3．（2024·上海嘉定·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，且与轴交于点．
(1)求抛物线的表达式及点A的坐标；
(2)点P是y轴右侧抛物线上的一点，过点作，交线段的延长线于点，如果．求：点P坐标
(3)若点是线段（不包含端点）上的一点，且点关于的对称点恰好在上述抛物线上，求的长．
4．（2024·河南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A，B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C0,−3，对称轴是直线，直线经过点B，C．
(1)求抛物线和A，B两点坐标；
(2)点M为y轴上一点，是否存在点M，使得△与△相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)点P为抛物线上一点（点P与点B不重合），且使得 中有一个角是 ，请直接写出点P的坐标．
5．（2024·四川泸州·模拟预测）如图，抛物线经过两点，与y轴交于点C，P为第四象限抛物线上的动点，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接，过点P作x轴的垂线交直线于点D．若以C，P，D为顶点的三角形与相似，请求出所有满足条件的点P的坐标；
(3)是否存在点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
6．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，其对称轴为，点的坐标为2,0，点在抛物线上．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图1，点在轴上，且点在的下方，若，求点的坐标；
(3)如图2，为线段上的动点，射线与线段交于点，与抛物线交于点，求当取最大值时，点围成的三角形的面积．
7．（2025·上海青浦·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过直线上的点，已知．
(1)求该拋物线的表达式；
(2)将抛物线先向右平移1个单位，再向上平移个单位后，所得新拋物线与轴相交于点，如果．
①求的值；
②设新拋物线的顶点为点，新拋物线上的点是点的对应点．联结，在新拋物线的对称轴上存在点，使得，求点的坐标．
8．（2025·上海虹口·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴交于点，联结，，抛物线的顶点为点．
(1)求的值和点的坐标；
(2)点是抛物线上一点（不与点重合），点关于轴的对称点恰好在直线上．
①求点的坐标；
②点是抛物线上一点且在对称轴左侧，连接，如果，求点的坐标．
9．（2025·上海普陀·一模）在平面直角坐标系中（如图）．已知抛物线的顶点A的坐标为，与y轴交于点B．将抛物线沿射线方向平移，平移后抛物线的顶点记作M，其横坐标为m．平移后的抛物线与原抛物线交于点N，且设点N位于原抛物线对称轴的右侧，其横坐标为n．
(1)求原抛物线的表达式；
(2)求m关于n的函数解析式；
(3)在抛物线平移过程中，如果是锐角，求平移距离的取值范围．
10．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B4,0，与y轴交于点C0,−3．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是直线下方抛物线上且位于抛物线的对称轴右侧的一动点，过点P作x轴的平行线交抛物线的对称轴于点D，过点P作于点E，求的最大值及此时点P的坐标；
(3)在（2）中取得最大值的条件下，将该地物线沿射线方向平移个单位长度，点F为点P平移后的对应点，连接，点M为平移后的抛物线上一点，若，写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的坐标的其中一种情况的过程．
11．（2024·重庆九龙坡·模拟预测）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点C，如图所示．点D为抛物线的顶点，点是抛物线上的一点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线上方抛物线上一动点，过点P分别作交x轴于点M，轴交直线于点N．求的最大值及此时点P的坐标；
(3)将抛物线沿方向平移个单位长度得到新抛物线，点是新抛物线的顶点，点F是点E平移后的对应点，点G是新抛物线上一动点，连接．当时，请直接写出所有符合条件的点G的坐标．
12．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点且交x轴于点，点B，交y轴于点C，顶点为D，连接，．
(1)求抛物线的表达式．
(2)点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作交x轴于点M，轴交于点H，求的最大值，以及此时点P的坐标．
(3)连接，把原抛物线沿射线方向平移个单位长度后交x轴于，两点（在右侧），在新抛物线上是否存在一点G，使得，若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由．
13．（2025·上海奉贤·一模）在直角坐标平面中，直线向下平移5个单位后，正好经过抛物线的顶点C，抛物线与y轴交于点B．
(1)求点C的坐标；
(2)点M在抛物线对称轴上，且位于C点下方，当时，求点M的坐标；
(3)将原抛物线顶点C平移到直线上，记作点，新抛物线与y轴的交点记作点，当时，求的长．
14．（2025·湖南娄底·模拟预测）已知抛物线与x轴左、右交点分别为A、B，与y轴负半轴交于点C，坐标原点为O，若，，点P是抛物线上的动点（点P在y轴右侧）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)D是线段的中点，①当时，请求出点P的坐标；②当时，请求出点P的坐标．
题型四：与特殊图形存在性有关问题
【中考母题学方法】
1．（2023·四川雅安·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线过点，对称轴是直线．

(1)求此抛物线的函数表达式及顶点M的坐标；
(2)若点B在抛物线上，过点B作x轴的平行线交抛物线于点C、当是等边三角形时，求出此三角形的边长；
(3)已知点E在抛物线的对称轴上，点D的坐标为，是否存在点F，使以点A，D，E，F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2023·山东淄博·中考真题）如图，一条抛物线经过的三个顶点，其中为坐标原点，点，点在第一象限内，对称轴是直线，且的面积为18

(1)求该抛物线对应的函数表达式；
(2)求点的坐标；
(3)设为线段的中点，为直线上的一个动点，连接，，将沿翻折，点的对应点为．问是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2023·湖北随州·中考真题）如图1，平面直角坐标系中，抛物线过点，和，连接，点为抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，交轴于点．

(1)直接写出抛物线和直线的解析式；
(2)如图2，连接，当为等腰三角形时，求的值；
(3)当点在运动过程中，在轴上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形相似（其中点与点相对应），若存在，直接写出点和点的坐标；若不存在，请说明理由．
4．（2023·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于B4,0，C−2,0两点．与y轴交于点．

(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求与的最大值及此时点P的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得是以为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
5．（2023·湖南·中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中，．

(1)求这个二次函数的表达式；
(2)在二次函数图象上是否存在点，使得？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由；
(3)点是对称轴上一点，且点的纵坐标为，当是锐角三角形时，求的取值范围．
6．（2023·湖南娄底·中考真题）如图，抛物线过点、点，交y轴于点C．

(1)求b，c的值．
(2)点是抛物线上的动点
①当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值；
②过点P作轴，交于点E，再过点P作轴，交抛物线于点F，连接，问：是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
7．（2023·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点分别为和（点在点的左侧），与轴交于点，点是直线上方抛物线上一动点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，过点作轴平行线交于点，过点作轴平行线交轴于点，求的最大值及点的坐标；
(3)如图2，设点为抛物线对称轴上一动点，当点，点运动时，在坐标轴上确定点，使四边形为矩形，求出所有符合条件的点的坐标．
8．（2023·西藏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图甲，在y轴上找一点D，使为等腰三角形，请直接写出点D的坐标；
(3)如图乙，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在P、Q两点使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出P、Q两点的坐标，若不存在，请说明理由．
9．（2024·四川遂宁·中考真题）二次函数的图象与轴分别交于点，与轴交于点C0,−3，为抛物线上的两点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)当两点关于抛物线对称轴对称，是以点为直角顶点的直角三角形时，求点的坐标；
(3)设的横坐标为，的横坐标为，试探究：的面积是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．
10．（2024·黑龙江绥化·中考真题）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线相交于，两点，其中点，．
(1)求该抛物线的函数解析式．
(2)过点作轴交抛物线于点，连接，在抛物线上是否存在点使．若存在，请求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由．（提示：依题意补全图形，并解答）
(3)将该抛物线向左平移个单位长度得到，平移后的抛物线与原抛物线相交于点，点为原抛物线对称轴上的一点，是平面直角坐标系内的一点，当以点、、、为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点F的坐标．
11．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过原点和点．经过点的直线与该二次函数图象交于点，与轴交于点．
(1)求二次函数的解析式及点的坐标；
(2)点是二次函数图象上的一个动点，当点在直线上方时，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为．
①为何值时线段的长度最大，并求出最大值；
②是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
12．（2024·江苏无锡·中考真题）已知二次函数的图象经过点和点．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)若点，都在该二次函数的图象上，试比较和的大小，并说明理由；
(3)点在直线上，点在该二次函数图象上．问：在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
13．（2023·湖南·中考真题）我们约定：若关于x的二次函数与同时满足，则称函数与函数互为“美美与共”函数．根据该约定，解答下列问题：
(1)若关于x的二次函数与互为“美美与共”函数，求k，m，n的值；
(2)对于任意非零实数r，s，点与点始终在关于x的函数的图像上运动，函数与互为“美美与共”函数．
①求函数的图像的对称轴；
②函数的图像是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；
(3)在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数与它的“美美与共”函数的图像顶点分别为点A，点B，函数的图像与x轴交于不同两点C，D，函数的图像与x轴交于不同两点E，F．当时，以A，B，C，D为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不请说明理由．
14．（2023·江苏·中考真题）如图，二次函数的图像与x轴相交于点，其顶点是C．

(1)_______；
(2)D是第三象限抛物线上的一点，连接OD，；将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点D，过点作x轴的垂线l．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k的取值范围；
(3)将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，且其顶点P落在原抛物线上，连接PC、QC、PQ．已知是直角三角形，求点P的坐标．
15．（2024·山东泰安·中考真题）如图，抛物线的图象经过点，与轴交于点A，点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线，求抛物线的表达式，并判断点是否在抛物线上；
(3)在轴上方的抛物线上，是否存在点，使是等腰直角三角形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·广东惠州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，过点的直线与轴交于点，与抛物线的另一个交点为，已知，，点为抛物线上一动点（不与、重合）．
(1)求抛物线和直线的解析式；
(2)当点在直线上方的抛物线上时，连接、，当的面积最大时，求点的坐标；
(3)设为直线上的点，探究是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2024·湖南·模拟预测）如图，二次函数图象顶点坐标为，一次函数图象与二次函数图象相交于y轴上一点，同时相交于x正半轴上点C．
(1)试求二次函数与一次函数的表达式．
(2)连接，试求四边形的面积．
(3)假设点P 是二次函数对称轴上一动点，点Q 是平面直角坐标系中任意一点，是否存在这样的点P 及点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2024·云南怒江·一模）已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．
(1)求A、B、C三点的坐标；
(2)点D是直线上方抛物线上的点，连接、，求的最大值；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
4．（2024·海南海口·一模）已知在平面直角坐标系中，抛物线经过点、、三点，点D和点C关于抛物线对称轴对称，抛物线顶点为点G．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)连接、，求的面积；
(3)在对称轴右侧的抛物线上有一点M，平面内是否存在一点N，使得C、G、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由；
(4)连接、，将抛物线向下平移后，点D落在平面内一点E处，过B、E两点的直线与线段交于点，当与相似时，直接写出平移后抛物线的解析式．
5．（2024·湖北·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，点C在线段上，点C不与点B重合，以点C为顶点的抛物线经过点B，与x轴的另一个交点为．
(1)直接写出点A，B的坐标；
(2)当时，求抛物线M的解析式；
(3)当时，求a的取值范围；
(4)平移抛物线M至Q，点B，C的对应点分别是，，当在y轴上，轴，且以B，C，，为顶点的四边形是矩形时，求抛物线Q的解析式．
6．（2023·四川达州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与轴交于点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点为直线下方抛物线上的任意一点，连接，，求面积的最大值；
(3)将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线，平移后的抛物线与原抛物线相交于点，
①求点的坐标；
②已知点为原抛物线对称轴上的一点，是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
7．（2023·湖南娄底·模拟预测）如图，已知抛物线：与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点．
(1)直接写出点，，的坐标；
(2)将抛物线经过向右与向下平移，使得到的抛物线与轴交于，两点（在的右侧），顶点的对应点为点，若，求点的坐标及抛物线的解析式；
(3)在（2）的条件下，若点在轴上，则在抛物线或上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有符合条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由．
8．（2023·广西桂林·模拟预测）已知直线分别与、轴交于、两点，抛物线经过点、，其对称轴为直线．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上找一点P，使最小，求出此时点P的坐标；
(3)点是抛物线上的一点，过点作对称轴的垂线，垂足为，点是直线上异于点的一点．若以点、、顶点的三角形与全等，求符合条件的点、的坐标）．
9．（2023·山东德州·一模）已知二次函数与轴只有一个交点，且系数、满足条件．
(1)求解析式；
(2)将向右平移一个单位，再向下平移一个单位得到函数，该函数交轴于点，交轴于、（点在点的右侧），点是该抛物线上一动点，从点沿抛物线向点运动（点与不重合），过点作轴，交于点，当是直角三角形时，求点的坐标；
(3)在问题（）的结论下，若点在轴上，点在抛物线上，问是否存在以、、、为顶点的平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
10．（2024·陕西渭南·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），其顶点为P，对称轴与x轴交于点H．
(1)求点A、P的坐标；
(2)连接，点D是该二次函数图象第四象限上的动点，过D作轴于点E，点F是x轴上一点，是否存在以点D、E、F为顶点的三角形与全等？若存在，求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．
11．（2024·四川雅安·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图①，若点P是线段上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段的长度最大时，求点Q的坐标；
(3)如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且．在y轴上是否存在点E，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
12．（2024·内蒙古包头·模拟预测）抛物线交轴于、两点，交轴于点，点为线段下方抛物线上一动点，连接，．

(1)求抛物线解析式；
(2)在点移动过程中，的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积及点的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)设点为上不与端点重合的一动点，过点作线段的垂线，交抛物线于点，若与相似，请直接写出点的坐标．