福建省厦门市集美区2024-2025学年八年级上学期期末统考数学试卷（原卷版+解析版）

这是一份福建省厦门市集美区2024-2025学年八年级上学期期末统考数学试卷（原卷版+解析版），共28页。
1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与本人准考证号、姓名是否一致．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．
一、选择题（本大题有8小题，每小题4分，共32分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）
1. 分式有意义的条件是( )
A. B. C. D.
2. 下列式子是和的公因式的是（ ）
A. B. C. D.
3. 四边形的外角和是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，在中，是边上一点，连接．下列角中，大小等于的是（ ）
A. B. C. D.
5. 把一个正方形纸片按图所示的步骤进行操作，较大的剩余部分展开后的图形是（ ）
A. B.
C. D.
6. 如图，，点在边上，与交于点，，．下列角中，与互补是（ ）
A. B. C. D.
7. ，是正整数，若，则，的数量关系是（ ）
A. B.
C. D.
8. 对于实数，，整式，，规定整式运算：，．当时，若对于始终成立，则，满足的条件是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题有6小题，共28分）
9. 计算：
（1）_____
（2）_____
（3）_____
（4）_____
10. 在中，，若，则___________度．
11. 在中，，，长度可以是_____．（写出一个满足条件的答案即可）
12. 把两个同样大小的含角的直角三角尺（记作，）按图的方式进行摆放，其中是与的交点，则可以得到结论：的长度等于点到的距离．请用一个你学过的数学定理解释这个结论：____________．
13. 如图，平分，点在上，点在上，，，．若点在上，且，则的长度为_____．
14. 我国古代数学家赵爽在《周髀算经》中介绍了已知长方形的长与宽之差为，面积为，求宽的方法：①设长方形的宽为，则长为，可得；②用四个宽为，长为的长方形拼成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形；③用两种方式表示大正方形的面积，开平方求出宽．根据以上方法，表示的几何意义是_____，的值用含，的式子表示为_____．
三、解答题（本大题有9小题，共90分）
15. （1）计算：
（2）分解因式：
（3）解分式方程：
16. 如图，在中，，点，在边上，．求证：．
17. 先化简，再求值：，其中．
18. 为筹备2025年春节花展，厦门市园博苑计划培育两种新引进的花卉．如图所示，目前有一块由两个边长分别为米，米的正方形组成的不规则闲置地块可用于花卉培育．工作人员取小正方形边的中点，沿将该地块分割成两个小地块，分别用于培育两种花卉．
（1）请用含有的代数式表示两个地块面积；
（2）若，判断工作人员的做法能否使两种花卉的培育面积相等，并说明理由．
19. 观察下列各个等式的规律：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
．．．．．．
用上述等式反映规律解决下列问题：
（1）请写出第5个等式；
（2）猜想第个等式（用含的代数式表示），并证明．
20. 如图，在Rt中，，延长至点，使得，E是边上一点，交于点．
（1）在上求作点，使得点到的距离等于；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若，交于点，求证：是中点．
21. 在平面直角坐标系中，已知，，过点分别作轴，轴的垂线，记作，．先将关于直线对称，得到，再将关于直线对称，得到．定义：设是边上一点，经过两次变换后的对应点为，若存在实数，满足，，则称和是关于点的“双对称三角形”．
（1）当，时，若三个顶点的坐标分别是，，，
①直接写出，，的坐标；
②判断和是否为关于点的“双对称三角形”，并说明理由；
（2）若是第一象限内的等腰直角三角形，其中，，，，其中，．当，时，探究是否存在和是关于点 的“双对称三角形”，同时又是关于点的“双对称三角形”的情形？若存在，请求出的数量关系；若不存在，请说明理由．
22. 某校开展“探索生活中的数学奥秘”的社会综合实践活动，某小组选择“汽车中的数学”作为探究方向．他们去汽车维修部考察，发现师傅会将汽车的前后轮进行对调，师傅告诉他们，大多数小汽车是前轮驱动和转向的，所以前轮的磨损程度略高于后轮．如果前轮报废，换上新轮胎，而后轮继续使用原来的轮胎，那么汽车行驶的安全性和乘坐的舒适性都将大打折扣；如果同时更换前后轮的轮胎，用车成本又会提高．为了解决这个问题，师傅建议行驶一定里程后，前后轮对调，可以使一组轮胎综合使用里程更长．于是他们提出“行驶多少里程后，前后轮胎对调，可以使得一组轮胎同时报废？”的研究课题．
（1）若A型号轮胎安装在后轮位置可行驶的里程是安装在前轮位置的，设该型号的轮胎安装在前轮行驶万千米后报废，
①用含有的式子分别表示该型号轮胎安装在前轮和后轮上每万千米的损耗量；
②若一个全新的该型号轮胎安装在前轮行驶3万千米后，与后轮对调，又行驶了4万千米后报废，求的值；
（2）若型号轮胎安装在前轮行驶万千米后报废，安装在后轮行驶万千米后报废，其中，小组成员猜想在行驶万千米后将前后轮对调，可以使得一组轮胎同时报废，你认为他的说法正确吗？若正确，请证明他的猜想；若不正确，请说明理由，并求出一组该型号新轮胎应行驶多少里程后，前后轮对调可使得前后轮同时报废．（参考公式：
23. 如图，是中线，过点作，且，连接．对角线，相交于点，过点作的垂线交的平分线于点．
（1）求证：；
（2）若，连接，
①探究BG，BD，AD的数量关系；
②延长与延长线交于点，点在平分线上，点在上，若，探究的最小值．
2024-2025学年第一学期八年级期末综合练习数学
本试卷共5页．满分150分．
注意事项：
1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与本人准考证号、姓名是否一致．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．
一、选择题（本大题有8小题，每小题4分，共32分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）
1. 分式有意义的条件是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分式有意义的条件是分母不等于零．
【详解】解：∵分式有意义，
∴x-2≠0．
解得：x≠2．
故选D．
【点睛】本题主要考查的是分式有意义的条件，明确分式有意义时，分式的分母不等于零是解题的关键．
2. 下列式子是和的公因式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了公因式的定义，根据公因式的定义求解即可．
【详解】解：和的公因式的是，
故选：C．
3. 四边形的外角和是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了多边形的内角与外角，多边形的外角和等于，多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则边形取个外角，无论边数是几，其外角和永远为．根据任意多边形的外角和等于解答即可．
【详解】解：任意多边形的外角和等于，
四边形的外角和为．
故选：D．
4. 如图，在中，是边上一点，连接．下列角中，大小等于是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了三角形的外角性质，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，即可求解．
【详解】解：是的一个外角，
，
故选：A．
5. 把一个正方形纸片按图所示的步骤进行操作，较大的剩余部分展开后的图形是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了正方形的折叠问题，理解图示，培养学生的空间思维能力，掌握图示特点是关键．
根据图示特点分析即可．
【详解】解：把一个正方形纸片按图所示的步骤进行操作，较大的剩余部分展开后的图形是，
故选：B ．
6. 如图，，点在边上，与交于点，，．下列角中，与互补的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的性质，补角的定义，根据得到，即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵与互补，
∴与互补．
故选：C
7. ，是正整数，若，则，的数量关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，解题的关键是掌握同底数幂的乘法法则，将整理得，即可求解．
【详解】解：
，
，
故选：B．
8. 对于实数，，整式，，规定整式的运算：，．当时，若对于始终成立，则，满足的条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了整式的运算，解题的关键是掌握新定义的运算法则．由，，推出，结合，即可求解．
【详解】解：，，
当时，则，
当时，则，
，
，
始终成立，
，
，
，
故选：D．
二、填空题（本大题有6小题，共28分）
9. 计算：
（1）_____
（2）_____
（3）_____
（4）_____
【答案】 ①. ②. ③. ④.
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘除、平方差公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据同底数幂的乘法法则进行计算；
（2）非零数的零次幂都等于一；
（3）根据同底数幂的除法法则进行计算；
（4）根据平方差公式进行计算．
【详解】解：（1）
故答案为：；
（2）
故答案为：；
（3）
故答案为：；
（4）
故答案为：．
10. 中，，若，则___________度．
【答案】60
【解析】
【分析】根据直角三角形两锐角互余列式计算即可求解．
【详解】解：在中，，若，
．
故答案为：60．
【点睛】本题主要考查了直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握相关知识是解题关键．
11. 在中，，，长度可以是_____．（写出一个满足条件的答案即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出的范围，即可求解．
【详解】解：在中，，，
，即，
长度可以是（答案不唯一），
故答案为：（答案不唯一）．
12. 把两个同样大小含角的直角三角尺（记作，）按图的方式进行摆放，其中是与的交点，则可以得到结论：的长度等于点到的距离．请用一个你学过的数学定理解释这个结论：____________．
【答案】角平分线上的点到角两边的距离相等
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质定理．根据含30度角的直角三角形，三角形内角和定理得到是角平分线，据此即可求解．
【详解】解：把两个同样大小的含角的直角三角尺（记作，）按图的方式进行摆放，
∴，
∴，
∴，
∴平分，
如图所示，过点作于点，
∴，
∴，
∴的长度等于点到的距离，用学过的数学定理解释这个结论：角平分线上的点到角两边的距离相等，
故答案为：角平分线上的点到角两边的距离相等 ．
13. 如图，平分，点在上，点在上，，，．若点在上，且，则的长度为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握角平分线的性质．过点作于点，作于点，则，根据角平分线的定义可得，证明，，得到，，即可求解．
【详解】解：如图，过点作于点，作于点，
则，
平分，
，
又，
，
，
，，
，
，
，
即，
故答案为：．
14. 我国古代数学家赵爽在《周髀算经》中介绍了已知长方形的长与宽之差为，面积为，求宽的方法：①设长方形的宽为，则长为，可得；②用四个宽为，长为的长方形拼成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形；③用两种方式表示大正方形的面积，开平方求出宽．根据以上方法，表示的几何意义是_____，的值用含，的式子表示为_____．
【答案】 ①. 大正方形的面积 ②.
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式的几何意义，解题的关键是掌握完全平方公式．根据题意用两种方式表示大正方形的面积，即可求解．
【详解】解：根据题意，大正方形的边长为，小正方形的边长为，
大正方形的面积为：或，
，
，
表示的几何意义是大正方形的面积，
，
，
，
故答案为：大正方形的面积，．
三、解答题（本大题有9小题，共90分）
15. （1）计算：
（2）分解因式：
（3）解分式方程：
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】本题考查了整式乘法，因式分解，解分式方程，解题的关键是掌握相关的运算法则．
（1）根据多项式乘多项式的法则计算即可；
（2）根据提公因式法和平方差公式因式分解即可；
（3）根据去分母，去括号，合并同类项，化系数为1，即可求解．
【详解】解：（1）
；
（2）
；
解：（3）
将检验，是原方程解．
16. 如图，在中，，点，在边上，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．由，可得，证明，根据全等三角形的性质即可得证．
【详解】证明：，
，
，
在和中，
，
，
．
17. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查分式的化简求值，先计算式子中的括号内的运算，再计算括号外的除法，化简后将a的值代入即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
18. 为筹备2025年春节花展，厦门市园博苑计划培育两种新引进的花卉．如图所示，目前有一块由两个边长分别为米，米的正方形组成的不规则闲置地块可用于花卉培育．工作人员取小正方形边的中点，沿将该地块分割成两个小地块，分别用于培育两种花卉．
（1）请用含有的代数式表示两个地块面积；
（2）若，判断工作人员的做法能否使两种花卉的培育面积相等，并说明理由．
【答案】（1），
（2）工作人员的做法能使两种花卉的培育面积相等，理由见详解
【解析】
【分析】本题主要考查字母表示数或数量关系，理解图示中线段的数量关系正确列出代数式是关键．
（1）根据题意，空白部分根据三角形面积公式计算，另一边不规则图形的面积有两个正方形的面积减去空白部分的面积即可；
（2）将分别代入进行计算即可．
【小问1详解】
解：点是的中点，
∴，
∴空白部分的面积，
∴阴影部分的面积；
【小问2详解】
解：工作人员的做法能使两种花卉的培育面积相等，理由如下，
当时，
，
，
∴，
∴工作人员做法能使两种花卉的培育面积相等．
19. 观察下列各个等式的规律：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
．．．．．．
用上述等式反映的规律解决下列问题：
（1）请写出第5个等式；
（2）猜想第个等式（用含的代数式表示），并证明．
【答案】（1）
（2），证明见解析
【解析】
【分析】本题考查规律型：数字的变化类，解答本题的关键是明确题目中式子的变化规律，求出相应的式子．
（1）根据规律可以直接得到答案；
（2）根据题目中的式子的变化规律可以猜想出第n等式并加以证明．
【小问1详解】
解：根据规律可得：第5个等式为．
【小问2详解】
解：第n个等式为，证明如下：
∵，
∴．
20. 如图，在Rt中，，延长至点，使得，E是边上一点，交于点．
（1）在上求作点，使得点到的距离等于；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若，交于点，求证：是中点．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查尺规作图——作角平分线，等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质．
（1）作出的角平分线，交于点G，则根据角平分线的性质得到点G到的距离等于；
（2）连接，证明，得到，证明，从而得到，因此，根据等腰三角形的“三线合一”即可得证．
【小问1详解】
解：如图，点G为所求．
【小问2详解】
解：连接，
由作图可得平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴是中点．
21. 在平面直角坐标系中，已知，，过点分别作轴，轴的垂线，记作，．先将关于直线对称，得到，再将关于直线对称，得到．定义：设是边上一点，经过两次变换后的对应点为，若存在实数，满足，，则称和是关于点的“双对称三角形”．
（1）当，时，若三个顶点的坐标分别是，，，
①直接写出，，的坐标；
②判断和是否为关于点的“双对称三角形”，并说明理由；
（2）若是第一象限内的等腰直角三角形，其中，，，，其中，．当，时，探究是否存在和是关于点 的“双对称三角形”，同时又是关于点的“双对称三角形”的情形？若存在，请求出的数量关系；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）①；②和是为关于点的“双对称三角形”，理由见解析
（2）不存在和是关于点 的“双对称三角形”，同时又是关于点的“双对称三角形”，理由见解析
【解析】
【分析】（1）①根据题意得到当，时，直线与轴重合，直线 与轴重合，由此即可求解；②根据“双对称三角形”的定义可求出当时，满足，据此可得结论；
（2）根据题意可得点A在点B的左上方，点C在点B的右上方；过点B作轴，过点A和C分别作的垂线，垂足分别为D，E，利用一线三垂直模型证明，得到，则可建立等式，进而得到，则，假设存在和是关于点 的“双对称三角形”，同时又是关于点的“双对称三角形”，根据“双对称三角形”可推出，且，进而得到，这与，矛盾，据此可得结论．
【小问1详解】
解：①由题意得，当，时，点与原点重合，
∴直线与轴重合，直线 与轴重合，
如图所示，关于直线（轴）对称的图形为，关于直线（轴）对称的图形为，
∴；
②和是为关于点的“双对称三角形”，理由如下：
∵，，
∴，
∵，
∴当时，满足，
∴和是为关于点的“双对称三角形”；
【小问2详解】
解：不存在和是关于点 的“双对称三角形”，同时又是关于点的“双对称三角形”，理由如下：
∵，，，，，且是第一象限内的等腰直角三角形，
∴点A在点B的左上方，
又∵，
∴点C在点B的右上方；
如图所示，过点B作轴，过点A和C分别作的垂线，垂足分别为D，E，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
假设存在和是关于点 的“双对称三角形”，同时又是关于点的“双对称三角形”，
∵和是关于点 的“双对称三角形”，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵和是关于点的“双对称三角形”，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，这与，矛盾，
∴不存在和是关于点 的“双对称三角形”，同时又是关于点的“双对称三角形”．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，全等三角形的性质与判定，坐标与图形，解（1）的关键在于理解相关定义，解（2）的关键在于分析出点A，点C相对于点B的位置，进而利用一线三垂直模型证明三角形全等，进而推出a，b，c三者的关系．
22. 某校开展“探索生活中的数学奥秘”的社会综合实践活动，某小组选择“汽车中的数学”作为探究方向．他们去汽车维修部考察，发现师傅会将汽车的前后轮进行对调，师傅告诉他们，大多数小汽车是前轮驱动和转向的，所以前轮的磨损程度略高于后轮．如果前轮报废，换上新轮胎，而后轮继续使用原来的轮胎，那么汽车行驶的安全性和乘坐的舒适性都将大打折扣；如果同时更换前后轮的轮胎，用车成本又会提高．为了解决这个问题，师傅建议行驶一定里程后，前后轮对调，可以使一组轮胎综合使用里程更长．于是他们提出“行驶多少里程后，前后轮胎对调，可以使得一组轮胎同时报废？”的研究课题．
（1）若A型号轮胎安装在后轮位置可行驶的里程是安装在前轮位置的，设该型号的轮胎安装在前轮行驶万千米后报废，
①用含有的式子分别表示该型号轮胎安装在前轮和后轮上每万千米的损耗量；
②若一个全新的该型号轮胎安装在前轮行驶3万千米后，与后轮对调，又行驶了4万千米后报废，求的值；
（2）若型号轮胎安装在前轮行驶万千米后报废，安装在后轮行驶万千米后报废，其中，小组成员猜想在行驶万千米后将前后轮对调，可以使得一组轮胎同时报废，你认为他的说法正确吗？若正确，请证明他的猜想；若不正确，请说明理由，并求出一组该型号新轮胎应行驶多少里程后，前后轮对调可使得前后轮同时报废．（参考公式：
【答案】（1）①该型号轮胎安装在前轮上每万千米的损耗量为，安装在后轮上每万千米的损耗量为；②
（2）在行驶万千米后将前后轮对调，不能使一组轮胎同时报废．理由见解析；该型号新轮胎应行驶万千米后，前后轮胎对调可使得前后轮胎同时报废．
【解析】
【分析】本题考查分式的运算的应用，分式方程的应用．
（1）①把轮胎完好到报废的损耗量看成单位1，根据每万千米的损耗量等于损耗量除以里程即可解答；
②根据“安装在前轮的损耗量＋安装在后轮的损耗量＝1”列出方程，求解并检验即可；
（2）B型轮胎在前轮每万千米的损耗量为，在后轮每万千米的损耗量为，当行驶万千米后将前后轮对调，原来在前轮的轮胎还可以行驶路程为万千米，原来在后轮的轮胎还可以行驶路程为万千米，若它们同时报废，则，得到，不合题意，即可解答．设行驶m千米后互换，再行驶n万千米后，两条轮胎同时报废，列出方程组，求解即可．
【小问1详解】
解：①该型号轮胎安装在前轮上每万千米的损耗量为，
安装在后轮上每万千米的损耗量为．
②根据题意，得，
解得，
经检验，是该方程的解，且符合题意．
【小问2详解】
解：在行驶万千米后将前后轮对调，不能使一组轮胎同时报废．理由如下：
B型轮胎在前轮每万千米的损耗量为，在后轮每万千米的损耗量为，
当行驶万千米后将前后轮对调，
原来在前轮的轮胎还可以行驶路程为（万千米），
原来在后轮的轮胎还可以行驶路程为（万千米），
若它们同时报废，则，
整理，得，
∴，不合题意，
∴在行驶万千米后将前后轮对调，不能使一组轮胎同时报废．
设行驶m千米后互换，再行驶n万千米后，两条轮胎同时报废，则
解得：，
∴该型号新轮胎应行驶万千米后，前后轮胎对调可使得前后轮胎同时报废．
23. 如图，是的中线，过点作，且，连接．对角线，相交于点，过点作的垂线交的平分线于点．
（1）求证：；
（2）若，连接，
①探究BG，BD，AD的数量关系；
②延长与延长线交于点，点在的平分线上，点在上，若，探究的最小值．
【答案】（1）见解析 （2）①，理由见解析；②4
【解析】
【分析】（1）先证明，再由得到，，从而证得，进而根据全等三角形的对应边相等得证；
（2）①在上截取，连接，，，过点G作于点M，作于点N，可证，从而，进而证明，从而得出；
②作点T关于的对称点，交于点O，作，交于点P，
则为最小值．证明是等腰三角形，，进而即可解答．
【小问1详解】
证明：∵是的中线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴
∴．
【小问2详解】
解：①，理由如下：
在上截取，连接，，，过点G作于点M，作于点N，
由（1）有，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∵在和中
，
∴，
∴，
∵，
∴．
②如图
作点T关于的对称点，交于点O，作，交于点P，
则为最小值．
由①有，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为4．
【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，直角三角形的性质，轴对称的性质，正确作出辅助线，构造三角形全等是解题的关键．