安徽省蚌埠市2025届高三第二次教学质量检查考试数学试卷（含答案）

这是一份安徽省蚌埠市2025届高三第二次教学质量检查考试数学试卷（含答案），共15页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，答题前，考生务必用直径0，本卷命题范围，5 C，“”是“函数为奇函数”的等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：高考范围.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.小胡同学测得连续10天的最低气温分别为（单位：），则这组数据的分位数为（ ）
A.8 B.8.5 C.12 D.13
4.已知公差不为0的等差数列的前项和为，若，则正整数的值为（ ）
A.11 B.12 C.13 D.14
5.“”是“函数为奇函数”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
6.已知函数在区间上单调递减，直线和为函数的图象的两条对称轴，则（ ）
A.1 B. C. D.
7.已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与的右支交于两点，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
8.函数的定义域为，且对任意的实数，都有，且，则（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知随机变量，若，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10.在棱长为2的正方体中，点分别为棱的中点，则下列说法正确的是（ ）
A.平面
B.直线与所成角的余弦值为
C.点到平面的距离为
D.三棱锥的外接球的表面积为
11.在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为为上的任意三点（异于点），且，则下列说法正确的是（ ）
A.
.存在点，使得
C.若直线的斜率分别为，则
D.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.在的展开式中，常数项为__________.
13.键线式可以简洁直观地描述有机物的结构，在有机化学中极其重要.有机物萘可以用如图所示的键线式表示，其结构简式可以抽象为如图所示的图形.已知六边形与六边形为全等的正六边形，且，点为正六边形内的一点（包含边界），则的取值范围是__________.
14.柯西不等式（Cauchy-SchwarzLnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.已知，直线与曲线相切，则的最小值为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
记的内角的对边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）若边上的高为，求的周长.
16.（本小题满分15分）
如图，在四棱锥中，是边长为2的等边三角形，，点是棱上的一点，且满足.
（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
17.（本小题满分15分）
已知函数.
（1）若，求的极值；
（2）若对任意的恒成立，求的取值范围.
18.（本小题满分17分）
某大学排球社团为了解性别因素是否对学生喜欢排球有影响，随机调查了男、女生各200名，得到如下数据：
（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为是否喜欢排球与性别有关联？
（2）在某次社团活动中，甲、乙、丙这三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人.记次传球后球在乙手中的概率为.
（i）求；
（ii）若随机变量服从两点分布，且，则.记前次（即从第1次到第次传球）中球在乙手中的次数为随机变量，求的数学期望.
附：，其中.
19.（本小题满分17分）
椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.记椭圆的“特征三角形”为，椭圆的“特征三角形”为，若，则称椭圆与相似，并将与的相似比称为椭圆与的相似比.已知椭圆与椭圆相似，且与的相似比为2.
（1）求的方程；
（2）已知点是的右焦点，过点的直线与交于两点，直线与交于两点，其中点在轴上方.
（i）求证：；
（ii）若过点与直线垂直的直线交于两点，其中点在轴上方，分别为，的中点，设为直线与直线的交点，求面积的最小值.
蚌埠市2025届高三年级第二次教学质量检查考试·高三数学
参考答案､提示及评分细则
1.D 因为，所以.故选D.
2.A 因为复数满足，所以，所以在复平面内对应的点为，位于第一象限.故选A.
3.D 将这组数据从小到大排列为：，又，所以这组数据的分位数为13.故选D.
4.B 设等差数列的公差为，由，得，所以，又，所以.故选B.
5.A 若函数为奇函数，则，即，解得或.当时，，由，解得，此时函数的定义域为关于原点对称，且，故函数为奇函数，符合题意；当时，，此时函数的定义域为关于原点对称，且，故函数为奇函数，符合题意.所以“”是“函数为奇函数”的充分不必要条件.故选A.
6.C 因为函数在区间上单调递减，直线和为函数的图象的两条对称轴，所以，所以，即，所以或.又，所以或，所以或，解得或，所以或，所以或.故选C.
7.B 如图，因为直线的斜率为，所以，所以，.设，则，又，所以，在中，由余弦定理得，即
，整理得.在中，由余弦定理得，即，整理得，所以，即，所以，所以.故选B.
8.C 因为，所以，令，得；令，得），所以；用替换，可得，所以，所以函数为偶函数.令，得，所以；用替换，可得，所以，所以，所以，即.所以，故是以6为周期的周期函数，又，所以
.故选C.
9.ABD 因为随机变量，所以，故A正确；，故B正确；随机变量，所以，所以，故C错误，D正确.故选ABD.
10.AC 在棱长为2的正方体中，点分别为棱的中点，所以，又平面平面，所以平面，故A正确；连接，易得，所以为直线与所成的角或补角，又易得，由余弦定理得，所以直线与所成角的余弦值为，故B错误；在中，，所以，设点到平面的距离为，又，所以，解得，即点到平面的距离为，故C正确；易得，所以为直角三角形，所以在底面的射影为的中点，设为，设外接球半径为，球心为，由，解得，所以外接球的表面积为，故D错误.故选AC.
11.ACD 因为为上的任意三点，且，所以为的重心，，所以，，所以，故A正确；，所以，解得，所以，故B错误；因为两式相减，得，所以，同理可得，所以
，故C正确；不妨设，则，代入0，得，所以，由得，所以，故D正确.故选ACD.
12.672 由题意得，令，解得，故常数项为.
13. 过点作直线的垂线，垂足为，所以，当点与点重合时，，当点与点重合时，，所以的取值范围是.
14.10 由，所以，设切点为，则，故，又，所以，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为10.
15.解：（1）因为，所以，
由正弦定理得，
所以，又，所以，又，所以.
（2）因为边上的高为，
所以的面积，解得，
由余弦定理得，即，解得.
所以的周长.
16.（1）证明：取的中点，连接，如图所示，
又，所以，
因为是边长为2的等边三角形，点是的中点，所以，又平面，所以平面，
又平面，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）解：由（1）知平面，又平面，所以，又，所以.
取的中点，连接，则，由（1）可知，平面平面，
平面平面平面，所以平面.
以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，
所以，
设平面的一个法向量为，又
，所以
令，解得，所以平面的法向量为.
设平面的一个法向量为，又，所以
令，解得，所以平面的法向量为，
设平面与平面的夹角为，所以，即平面与平面的夹角的余弦值为.
17.解：（1）若，则，所以，
令，解得，令，解得，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值为，无极小值.
（2）对任意的恒成立，即对任意的恒成立，令，所以，
令，所以
，当时，，又，所以，
所以在上恒成立，
所以即在区间上单调递增，
所以，所以在区间上单调递增，
所以，符合题意；
当时，令，解得，
则即在区间上单调递减；
所以当时，，所以在区间上单调递减，
所以当时，，不符合题意；
当时，又，所以，所以即在区间上单调递减，
所以，所以在区间上单调递减，所以，不符合题意.
综上，的取值范围为.
18.解：（1）零假设为：是否喜欢排球与性别无关联.
根据表中的数据，经计算得到
所以依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，可以认为是否喜欢排球与性别有关联.
（2）（i）由题意知，
设，所以，所以，解得，
所以，
又，故数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，
所以，即第次传球后球在乙手中的概率为.
（ii）因为，
所以当时，的数学期望
，即的数学期望为.
19.（1）解：由题意知椭圆的长轴长为，短轴长为4，椭圆的长轴长为，短轴长为，又与的相似比为2，所以，解得，
所以的方程为.
（2）（i）证明：由（1）知，显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，
由得，设，所以，故中点的纵坐标为中点的横坐标为，即中点的坐标为.
由得，设，所以，故中点的纵坐标为中点的横坐标为，即中点的坐标为.
所以的中点与的中点重合，所以.
（ii）解：如图，连接，取的中点，连接，又分别为的中点，所以，所以，，所以的面积.
显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，由
得，设，所
以，
所以
同理可得，
所以，
当且仅当，即时等号成立，所以面积的最小值为.性别
排球
喜欢
不喜欢
男生
78
122
女生
112
88
0.010
0.005
0.001
6.635
7.879
10.828