九师联盟2025届高三3月质量检测数学试卷（含答案）

这是一份九师联盟2025届高三3月质量检测数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若复数z=12+3i，则z的虚部为( )
A. −313iB. 313C. −313D. 213
2.已知集合A={x|x2−2x−5≥0}，B={−2,−1,0,3,4}，则A∩B=( )
A. {−2}B. {3,4}C. {−2,4}D. {−2,3,4}
3.已知向量a=(1,m−4)，b=(4,2)，若|a+b|=|a−b|，则|a|=( )
A. 5B. 3C. 5D. 3
4.已知函数f(x)=sinx+acsx的图象关于点(π6,0)对称，则f(x)的最大值为( )
A. 1B. 2C. 33D. 2 33
5.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且垂直于x轴的直线l与C交于A，B两点，若△ABF2为等边三角形，则C的离心率等于( )
A. 2B. 3C. 2D. 5
6.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinA=13sinC，csB=23，△ABC的面积为2 5，则△ABC的周长为( )
A. 8+2 6B. 11C. 8+2 7D. 8+4 3
7.设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，例如：[−3.7]=−4，[2.3]=2.已知函数f(x)=2x,x⩽0,4x,013,则y=[f(x)]的值域为( )
A. {−1,0,1}B. {−1,0,1,2}C. {0,1,2}D. {0,1}
8.如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是正方形，PC⊥BC，AB= PC=2，∠PCD=120∘，若三棱锥P−ABC的四个顶点均在球O的表面上，则球O的表面积为( )
A. 20 53πB. 20 5πC. 203πD. 20π
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F(12,0)，准线为l，过C上一点P作PQ⊥l，垂足为点Q，若|PQ|=|QF|，则( )
A. p=1B. 直线PF的斜率为± 3
C. |PQ|=3D. 点P到x轴的距离为 3
10.下列命题为真命题的是( )
A. 若随机变量X~N(0,1),且P(X>1)=p,则P(-1≤X0)，g(x)=lnx−2x，若∀x1，x2∈(0,+∞)，f(x1)+ g(x2)0)的左、右焦点分别为F1(−c,0)，F2(c,0)，左顶点为A，上顶点为B，且F1是线段AF2上靠近点A的三等分点，△BF1F2的面积为 3．
(1)求E的方程;
(2)过点P(c2,0)作斜率不为零的直线l交E于C，D两点，证明：直线AC与直线AD的斜率之积为定值，并求出该定值．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=xlnx−ax2−x+a(a∈R)．
(1)当a=0时，求曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程;
(2)当a=1时，求f(x)的零点个数;
(3)若f(x)有两个极值点x1，x2(x11+λ．
19.(本小题17分)
如图，四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1=AB=2．
(1)若四边形ABCD为菱形，AC∩BD=O，A1O=AO，∠A1AD=∠A1AB．
①证明：A1C⊥平面BDD1B1;
②若四边形BDD1B1的面积为S，证明：四棱柱ABCD−A1B1C1D1的体积V=12S⋅A1C;
(2)若∠BAD=60∘，cs∠A1AB=14，cs∠A1AD=13，AD=3，求点A到平面A1BD的距离．
参考答案
1.B
2.C
3.C
4.D
5.B
6.A
7.A
8.D
9.ABD
10.AC
11.BCD
12.1215
13.514
14.(0,e)
15.解：(1)由列联表可知，s=80−45=35，t=200−80=120．
(2)由列联表可知，喜欢蛇年春晚小品类节目的观众共计120人，其中男性有45人，
而45120=38，故p的估计值为38．
(3)补全2×2列联表如下：
零假设为H0:性别因素与喜欢与否无关联，
根据列联表中的数据，得χ2=200(45×35−75×45)290×110×120×80≈6.818>6.635=x0.010，
依据小概率α=0.010的独立性检验，可推断H0不成立，即可以认为性别因素与喜欢与否有关联．
16.(1)证明：因为2Sn+an=2n，
所以当n=1时，2S1+a1=2，即2a1+a1=2，所以a1=23．
当n≥2时，2Sn−1+an−1=2(n−1)，
两式相减，得2an+an−an−1=2，即an=13an−1+23，
所以an−1=13(an−1−1)(n≥2)，
又a1−1=−13≠0，
所以{an−1}是以−13为首项，以13为公比的等比数列．
(2)解：由(1)知，an−1=(−13)×(13)n−1=−13n，
所以an=1−13n．
(3)解：由(2)，得bn=13nanan+1=13n(1−13n)(1−13n+1)=3n+1(3n−1)(3n+1−1)=32(13n−1−13n+1−1)，
所以Tn=32(131−1−132−1)+32(132−1−133−1)+32(133−1−134−1)+⋯+32(13n−1−13n+1−1)
=32(12−132−1+132−1−133−1+133−1−134−1+⋯+13n−1−13n+1−1)=32(12−13n+1−1)，
因为∀n∈N∗，13n+1−1>0，
所以Tn=32(12−13n+1−1)0，
所以{Tn}是递增数列，
所以Tn≥T1=b1=13×(1−131)(1−132)=916，
所以916≤Tn0，
设C(x1,y1)，D(x2,y2)，
则y1+y2=−3m3m2+4，y1y2=−454(3m2+4)，
又A(−2,0)，所以AC，AD的斜率分别为kAC=y1x1+2=y1my1+52，
kAD=y2x2+2=y2my2+52
所以kACkAD=y1my1+52⋅y2my2+52
=y1y2m2y1y2+52m(y1+y2)+254
=−454(3m2+4)−45m24(3m2+4)+5m2·(−3m3m2+4)+254
=−45−45m2−30m2+25(3m2+4)=−920．
所以直线AC与直线AD的斜率之积为定值−920．
18.(1)解：当a=0时，f(x)=xlnx−x，所以f(e)=0，f′(x)=lnx+1−1=lnx，
所以f′(e)=1，所以曲线y=f(x)在点(e,f(e)处的切线斜率k=1，
所以曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程为y=x−e，即x−y−e=0．
(2)解：当a=1时，f(x)=xlnx−x2−x+1，定义域为(0,+∞)，
f′(x)=lnx+1−2x−1=lnx−2x，
令g(x)=f′(x)=lnx−2x，则g′(x)=1x−2=1−2xx(x>0)，
当012时，g′(x)1+λx1+λx2
⇔lnx1x2