上海市交通大学附属中学2024-2025学年高二下学期开学摸底考试 数学试题（含解析）

这是一份上海市交通大学附属中学2024-2025学年高二下学期开学摸底考试 数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了填空题，选择题等内容，欢迎下载使用。
（满分160分，120分钟完成.答案一律写在答题纸上.）
考试说明：试卷最后的挑战题为非必答题，分值10分
一、填空题（本大题满分54分，前6题每题4分，后6题每题5分，填错或不填在正确的位置一律得零分）
1. 在等差数列中，已知，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件求得公差，进而求得.
【详解】设等差数列的公差为，
依题意，，
则，，
即，
所以.
故答案为：
2. 不等式解集为____________．
【答案】；
【解析】
【分析】根据绝对值的定义分类讨论解一元一次不等式组得出结果.
【详解】或，
即或，所以不等式的解集为或，
故答案为：.
3. 已知，则__________．
【答案】##-0.5
【解析】
【分析】利用余弦的二倍角公式求解.
【详解】已知，则.
故答案为：.
4. 曲线在点处的切线的斜率为______．
【答案】
【解析】
【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线的斜率.
【详解】由，求导得，则，
所以所求切线的斜率为2.
故答案为：2.
5. 已知是关于的方程的一个根，则______．
【答案】
【解析】
【分析】将代入方程，化简后利用实部与虚部等于零，列方程组求解即可.
【详解】因为是关于的方程的一个根，
所以，整理得，
所以，解得，故，
故答案为：．
6. 已知函数是奇函数，则实数的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】由奇函数的性质得出，求出的值，再结合奇函数的定义检验即可.
【详解】对任意的，，即函数的定义域为，
因为函数是奇函数，则，解得，
此时，，则,
故函数为奇函数，故.
故答案为：.
7. 若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据导数的定义求得正确答案.
【详解】由于，
所以.
故答案为：
8. 若直线与直线平行，则实数______．
【答案】
【解析】
【分析】根据两直线平行列式，由此求得.
【详解】由于，所以，
解得.
故答案为：
9. 已知拋物线的焦点为，点在抛物线上，若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】抛物线的定义列方程，由此求得.
【详解】根据抛物线的定义可知①，
将代入抛物线方程，得②，
由①②解得.
故答案为：
10. 定义：已知一个点集及一点P，任取点集中一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到点集的距离，记作现已知空间中一点P，平面上一个长为2、宽为1的矩形及其内部的所有点构成点集则点的集合所表示几何体的体积为_________.
【答案】
【解析】
【分析】由定义得几所构成的几何体，进而求得几何体的体积.
【详解】P点构成的几何体由下列几何体构成：
①如图，为已知矩形，其长
则以矩形为公共面的两个长方体，其长，宽，高分别为1，2，1，
此时两个长方体内的点到矩形及其内部的点的距离的最小值不大于1，两长方体体积和为；
②分别以为轴，底面圆半径为1的两个半圆柱分别在的外侧
此时两个半圆柱表面及内部的点到矩形及其内部的点的距离的最小值不大于1，
合成一个以底面圆半径为1，高为2的圆柱，体积为；
③分别以为轴，底面圆半径为1的两个半圆柱分别在的外侧
此时两个圆柱表面及内部的点到矩形及其内部的点的距离的最小值不大于1，
合成一个以底面圆半径为1，高为1的圆柱，体积为；
④分别以为球心，半径为1的球的四分之一，
此时四个四分之一球表面及球内的点到矩形及其内部的点的距离的最小值不大于1，
合成一个以1为半径的球，体积为;
由①②③④点的集合所表示几何体的体积为
故答案为：
11. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动，将筒车抽象为一个半径为的圆，如图2建立平面直角坐标系，已知筒车按逆时针方向旋转，每旋转一周用时120秒，当时，某盛水筒位于点，经过秒后运动到点，则当筒车旋转40秒时，此盛水筒对应的点的纵坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用角速度得出40秒盛水筒旋转角度，结合初始位置即可得最终位置.
【详解】因，则，,
每旋转一周用时120秒，则筒车旋转40秒时共旋转，
则此时点所在角的终边为，
则点的纵坐标为.
故答案为： .
12. 平面向量为两个相互垂直的单位向量．，满足，，则在方向上的数量投影的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】设平面向量，在分别在坐标轴上，设，，由双曲线和圆的定义得到点，的轨迹方程，由投影的定义作出图像，然后由双曲线渐近线求得最值.
【详解】∵平面向量，为两个相互垂直的单位向量，
∴设平面向量，在直角坐标系的轴和轴上，且起点均为坐标原点.
则设，，即，
，
∵，，
∴，
由双曲线的定义可知，点在以双曲线上，
，即，
由圆的定义可知，点在圆上，
如图：
显然当点坐标为或，点坐标为或时，
在方向上的数量投影为0.
由对称性，我们取点在一象限.
过点分别作的垂线，分别垂直于点.
即为在方向上的数量投影，
显然当时，，此时最大，
因为，，
所以当最小时，最大，
又因为双曲线的渐近线为，设，则，即，
所以.
∴.
故答案为：
【点睛】关键点睛，本题的关键需要将向量问题通过模长转变为双曲线上的点和圆上的点，然后利用双曲线的渐近线来求得最值.
二、选择题（本大题满分18分，前2题每题4分，后2题每题5分，每题有且仅有一个正确选项）
13. 关于直线以及平面，下列命题中正确的是（ ）
A 若，则B. 若，则
C. 若，且，则D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】
观察四个选项，分别涉及线面垂直、线线平行、面面垂直，由相关的条件对四个选项逐一判断即可得出正确选项.
【详解】A选项不正确，可能相交、平行、异面；
B选项不正确，的关系可以是平行、相交或在面内；
C选项不正确，由线面垂直的判定定理知，本命题中缺少两条直线相交的条件，故不能依据线面垂直的判定定理得出线面垂直；
D选项正确，由知，可在面N内找到一条直线与a平行，且可以由a⊥M证得这条线与M垂直，则可得出面面垂直的判定定理成立的条件，所以D选项是正确的.
故选：D
【点睛】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，解题的关键是有较好的空间想象能力以及根据所学的定义、定理对相关的命题进行推理论证的能力.
14. 若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的（ ）
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据异面直线的概念结合充分必要条件求解
【详解】若空间中有两条直线，若“这两条直线为异面直线”，则“这两条直线没有公共点”；若 “这两条直线没有公共点”，则 “这两条直线可能平行，可能为异面直线”；
∴ “这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的充分非必要条件，
故选：A.
15. 正整数数列满足，使得的不同个数为（ ）
A. 8B. 7C. 6D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】由题意，根据递推公式依次计算即可.
【详解】由题意知，，则或，
（1）当时，，则或，
若，则；若，则；
若，则或；
若，则或；
（2）当时，，得，则或；
若，得；
若，得.
综上，的值共有6个.
故选：C
16. 已知抛物线的焦点为F，点M在抛物线C的准线l上，线段与y轴交于点A，与抛物线C交于点B，若，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由题知点A为的中点，结合已知得，过点B作，由抛物线的定义即可求解.
【详解】设l与x轴的交点为H，由O为中点，知点A为的中点，
因为，所以．
过点B作，垂足为Q，则由抛物线的定义可知，
所以，则，所以．
故选：C
三、解答题（本大题满分78分）解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要步骤.
17. 如图，已知圆柱的高为2，直三棱柱的顶点在圆柱上底面的圆周上，顶点在圆柱下底面的圆周上，已知，为的中点．
（1）求二面角的余弦值；
（2）求到平面的距离．
【答案】（1）;
（2）.
【解析】
【分析】（1）先证明平面，得，从而即二面角的平面角，计算边长，利用三角函数即可求得；
（2）利用等体积转化即可求得点面距离.
【小问1详解】
如图，连接，
因平面，平面，则，
又平面，
故平面，
又平面，故，
则即二面角的平面角.
在中，
，
由图知二面角是锐二面角，
故二面角的余弦值为.
【小问2详解】
设点到平面的距离为，
则由，可得：，
解得：，
即到平面的距离为.
18. 已知等差数列的首项为1，，数列的前项和为，，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）设出等差数列的公差，由等差数列的通项整理等式，可得的通项，利用前项和与末项的关系，结合累乘法，再验首项，可得的通项；
（2）利用错位相减法可得答案.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，由，则，
化简可得，由，则，所以；
由，则（），两式相减可得，
所以（），当时，，
可得，则（），显然可使上式成立，
所以.
【小问2详解】
由题意可得，
则，
两式相减可得，
则，
所以.
19. 如图，有一块扇形草地，已知半径为，，现要在其中圈出一块矩形场地作为儿童乐园使用，其中点在弧上，且线段平行于线段
（1）若点为弧的一个三等分点，求矩形的面积；
（2）当弧长为多少时，矩形的面积最大？最大值为多少？
【答案】（1）;
（2）,.
【解析】
【分析】（1）由题意表示出矩形的边长，即可得其面积的表达式，结合三角函数二倍角公式化简求值，即可求得答案；
（2）设，表示出矩形的边长，即可得其面积的表达式，结合三角函数二倍角公式以及辅助角公式化简，根据角的范围，结合正弦函数性质，即可求得答案.
【小问1详解】
如图，作于点，交线段于点，连接、，
，
，
小问2详解】
设 则
，


，
，即时， ，
此时，弧长为.
答：当弧长为时，矩形的面积最大，
【点睛】关键点睛：
解答本题的关键在于利用三角函数表示出矩形的边长，从而表示面积的表达式，再结合三角函数性质求解答案.
20. 已知椭圆（）的离心率为，，分别是椭圆的左，右焦点.过点且斜率不为0的直线l与椭圆交于A，B两点.的周长为8.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线l的斜率为1，求线段AB的长；
（3）若点P在椭圆上，且，试问是否存在直线l，使得的重心在y轴上？若存在，请求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）存在，或或
【解析】
【分析】（1）运用椭圆定义，结合离心率公式计算即可；
（2）直曲联立，运用弦长公式计算即可；
（3）设直线l的方程为.直曲联立，借助韦达定理和中点坐标公式得到,根据重心坐标公式，求得，进而得，求出，代入椭圆方程，解得，得到直线即可.
【小问1详解】
因为的周长为8，所以，得.
因为椭圆的离心率为，所以，，
故椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
由题意，，，所以直线的方程是，
设，.由得，
所以，，
所以.
【小问3详解】
设直线l的方程为.
由得，.
设，，，线段AB的中点为H，
则，，.
若△ABP的重心在y轴上，则，即，所以.
由，得，
解得，所以，
因为点P在椭圆上，所以，
解得或.故存在直线l，使得△ABP的重心在y轴上，
其方程为或或.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的定点、定值问题是考查的重点，一般难度较大，计算较复杂，考查较强的分析能力和计算能力.求定值问题常见的方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.解题时，要将问题合理的进行转化，转化成易于计算的方向.
21. 已知函数的定义域为，非空集合．若对任意，任意且，都有恒成立，就称函数具有性质．
（1）当时，判断下列函数是否具备性质．
①
②
（2）当，函数，若具有性质，求的取值范围．
（3）当，若且具有性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的的值．
【答案】（1）函数具有性质；函数不具有性质
（2）
（3）为奇数
【解析】
【分析】(1)利用函数的单调性即可解决；反证法，找特值；
(2)结合函数的单调性，利用分类讨论思想，将和分别放在同一单调区间和不同单调区间即可；
(3)特殊值法，将代入，利用常函数且任意性得出函数的周期为，而一个周期内的整数可分为奇数和偶数，在分奇偶的条件下结合常函数的特性即可得出.
【小问1详解】
①因在上单调递增，所以对任意恒成立，即对任意恒成立，故函数具有性质；
②假设函数具有性质，则对任意恒成立，即对任意恒成立，即对任意恒成立，而当时，，与假设矛盾，故函数不具有性质；
【小问2详解】
为偶函数，且在上单调递增，在上单调递减，
①若，因 ，则恒成立，满足题意；
②若，对于任意，有，则，
若，则，矛盾；
若，欲使函数具有性质，只需即可，
得，则，即，
综上，的取值范围为.
【小问3详解】
因为且具有性质的函数均为常值函数，
所以当时，恒成立，则的周期为，
设，，
因常函数，故，，
当时，，则
当时，，则
综上，为奇数.
【点睛】本题以新定义为载体，考查了函数的单调性及运用，考查了逻辑推理能力及对新知识的快速把握，关键在于对新定义的理解.
【挑战题】
22. 已知函数的定义域为，且对任意的，有且．若，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】利用赋值法与夹逼法，结合已知条件推得，进而得到，从而利用累加法求得即可得解.
【详解】因为，
用替换，得，①
用替换，得，②
又，即，③
①②③三式相加得，
所以，
结合，
可得，则，
所以
.
故答案为：.
【点睛】本题考查对抽象函数不等式的理解和运用.题中有一个明显的特征那就是题设条件没有恒等式，且要求的函数值自变量与已知函数值的自变量差值较大，不可能通过恒等式变形直接求出.解题的方向是通过赋值法和夹逼法将不等式转化为恒等式，这是本题解题的关键也是难点，最后再结合累加法求得函数值.