2025年北京师大附属实验学校高考数学统练试卷（一）（零模）（含答案）

这是一份2025年北京师大附属实验学校高考数学统练试卷（一）（零模）（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设集合A={x|x>a}，集合B={0,1}，若A∩B=⌀，则实数a的取值范围是( )
A. aS3”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
9.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P满足DP=λDD1+μDA，λ∈[0,1]，μ∈[0,1]λ+μ=1，则DP+PB的最小值为( )
A. 3B. 1+ 2C. 2D. 2+ 2
10.设直线系M：xcsθ+(y−2)sinθ=1(0≤θ≤2π)，对于下列四个命题：
(1)M中所有直线均经过一个定点；
(2)存在定点P不在M中的任一条直线上；
(3)对于任意整数n(n≥3)，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上；
(4)M中的直线所能围成的正三角形面积都相等．其中真命题的个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.(2+x)4展开式中各项的系数的和是______.(用数字作答)
12.经过抛物线x2=4y的焦点的直线与抛物线相交于A，B两点，若|AB|=4，则△OAB(O为坐标原点)的面积为 ．
13.羽毛球运动是一项全民喜爱的体育运动，标准的羽毛球由16根羽毛固定在球托上.测得每根羽毛在球托之外的长为7cm，球托之外由羽毛围成的部分可看成一个圆台的侧面.测得顶端所围成圆的直径是6cm，底部所围成圆的直径是2cm，据此可估算得球托之外羽毛所在的曲面的展开图的圆心角为______．
14.已知O为圆心，点A是圆O上一点，点P是圆O内部一点；若|OA|=2，且OA⋅AP=−2，则|OA+OP|的最小值是______．
15.对于数列{an}，若存在M>0，使得对任意n∈N∗，有|a2−a1|+|a3−a2|+⋯+|an+1−an|0，使得对任意n∈N∗，有−tb>0)的离心率为2 55，A1，A2是C的上、下顶点，且|A1A2|=2.过点P(0,2)的直线l交C于B，D两点(异于A1，A2)，直线A1B与A2D交于点Q．
(1)求C的方程；
(2)证明：点Q的纵坐标为定值．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=e2x−1(ax2−x+12)．
(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线的方程；
(Ⅱ)若函数f(x)在x=0处取得极大值，求a的取值范围；
(Ⅲ)若函数f(x)存在最小值，直接写出a的取值范围．
21.(本小题12分)
已知无穷数列A：a1，a2，⋯满足：
①ai∈N∗(i=1,2,⋯)；
②ai+aj≤ai+j≤ai+aj+1(i=1,2,⋯；j=1，2，⋯；i+j≥3)．
设ai∗为ai(i=1,2,⋯)所能取到的最大值，并记数列A∗：a1∗,a2∗,⋯．
(Ⅰ)若a1=1，写出一个符合条件的数列A的通项公式；
(Ⅱ)若a1=a2=1，求a4∗的值；
(Ⅲ)若a1=1，a2=2，求数列A∗的前100项和．
参考答案
1.B 2.B 3.A 4.C 5.B 6.B 7.D 8.B 9.D 10.B
11.81
12.2
13.4π7
14.3
15.③④
16.
17.
18.解：(Ⅰ)设“从抽出的男生和女生中，男生成绩高于女生成绩“为事件A，
由表格得：从抽出的12名学生中男女生各随机选取一人，共有C61C61=36种组合，
其中男生成绩高于女生(81,72)，(81,80)，(84,72)，(84,80)，(86,72)，(86,80)，(86,84)，(86,72)，(86,80)，(86,84)，(88,72)，(88,80)，(88,84)，(91,72)，(91,80)，(91,84)，(91,88)，
所以事件A有17种组合，因此P(A)=1736；
(Ⅱ)由数据知，在抽取的12名学生中，成绩为优秀(>90分)的有3人，即从该校参加活动的高一学生中随机抽取1人，该学生成绩优秀的概率为14，
因此从该校高一学生中随机抽取3人，成绩优秀人数X可取0，1，2，3且X～B(3,14)，
P(X=0)=(34)3=2764，P(X=1)=C31×14×(34)2=2764，P(X=2)=C32×34×(14)2=964，P(X=3)=(14)3=164，
所以随机变量X的分布列为：
数学期望E(X)=0+1×2764+2×964+3×164=4864=34．
(Ⅲ)男生的平均成绩为x1−=81+84+86+86+88+916=86，则s12=16i=16(xi−x−1)2≈9.667；
女生的平均成绩为x2−=72+80+84+88+92+976=85.5，则s22=16i=16(xi−x−2)2≈65.92；
由于从参加活动的男生中抽取成绩为89分的学生组成新的男生样本，
所以x3−=81+84+86+86+88+86+917=86，则s32=17i=17(xi−x−3)2≈8.286；
所以s3215时，
有x1+x2=−20k1−5k2,x1x2=151+5k2．
直线A1B方程为：y−1=y1−1x1x，
直线A2D方程为：y+1=y2+1x2x．
两式相除得，y−1y+1=x2(y2−1)x1(y2+1)=x2(kx1+1)x1(kx2+3)=kx1x2+x2kx1x2+3x1，
因为kx1x2=−34(x1+x2)，所以y−1y+1=−34x1+14x294x1−34x2=−13，
整理得y=12.即点Q的纵坐标为定值12．
20.解：(Ⅰ)f(0)=e−1⋅12=12e，∴切点为(0,12e)，
又f′(x)=e2x−1[2ax2+2(a−1)x]=2x(ax+a−1)e2x−1，∴f′(0)=0，
∴切线方程为y−12e=0．
(Ⅱ)定义域为R，f′(x)=2x(ax+a−1)e2x−1，
①当a=0时，f′(x)=−2xe2x−1，
令f′(x)>0，得x