数学八年级下册线段的垂直平分线达标测试

这是一份数学八年级下册线段的垂直平分线达标测试，共9页。
2．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，M．求证：点M在BC的垂直平分线上．
3．如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点O.求证：AD垂直平分EF.
4．如图，AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB，DF ⊥AC，垂足分别是E，F，连接 EF：求证：AD 垂直平分EF.
5．如图，在四边形 ABCD 中， AB=AD，∠ABC=∠ADC=90° ，对角线 AC，BD 相交于点 O ．
求证： AC 垂直平分线段 BD ．
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，连接CD，交BE于点F.
求证：BE垂直平分CD.
7．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．
求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．
8．如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，M、N分别是对角线BD、AC的中点．求证：直线MN是线段AC的垂直平分线．
9．如图，已知P点是∠AOB平分线上一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足为C、D．
（1）求证：∠PCD=∠PDC；（2）求证：OP垂直平分线段CD
10．如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高．
求证：
（1）∠DEF=∠DFE；
（2）AD垂直平分EF．
11．如图，作法，
已知直线l和l外一点P，下面是小明设计的“过点P作直线的垂线”的作法：
请结合图形阅读作法，并将证明“PQ⊥l”的过程补充完整．
作法：①在直线上取点A，B；
②分别以点A、B为圆心，AP、BP为半径作弧，两弧在直线l下方交于点Q；
③作直线PQ．
结论：PQ⊥l，且PQ经过点P．
证明：连接AP，AQ，BP，BQ．
由作法可知，AP＝AQ，BP＝BQ．
∴点A在线段PQ的垂直平分线上，点B在线段PQ的垂直平分线上，（依据 ）
∴直线AB是线段PQ的垂直平分线（依据： ）
∴PQ⊥l．
12．如图，AD与BC相交于点O，AB=CD，∠ABC=∠CDA，EB=ED，连接OE，BD，求证；OE垂直平分BD．
13．如图，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=AE，连接BE、CD，交于点F．
（1）判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；
（2）求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC．
答案解析部分
1．【答案】解：直线AF是BC的垂直平分线，理由如下：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，
∴∠CEB=∠BDC=90°，∠BCE=90°−∠ABC，∠DBC=90°−∠ACB
即∠BCE=∠DBC
∴BF=CF
∵AB=AC
∴直线AF是BC的垂直平分线
∴直线AF⊥BC
2．【答案】证明：连接CM，
∵DM是AC的垂直平分线，
∴AM=CM，
∴∠A=∠MCA，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，∠MCA+∠MCB=90°，
∴∠MCB=∠B，
∴CM=BM，
∴点M在BC的垂直平分线上．
3．【答案】证明∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠DEA=90°=∠DFA，
∴∠DEF=∠DFE，
∴∠DEA−∠DEF=∠DFA−∠DFE，
∴∠AEF=∠AFE
∴AE=AF，
∵DE=DF，AE=AF，
∴点D、点A在EF的垂直平分线上，
∴AD垂直平分EF.
4．【答案】证明：∵ AD 是∠BAC 的平分线， 即∠DAE=∠FAD，
∵DE⊥AB，DF ⊥AC， 即∠AED=∠AFD=90°，
在△AED和△AFD中，
∠AED=∠AFD∠EAD=∠FADAD=AD，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE=AF，DE=DF，
∴A和D均在EF的垂直平分线上，
∴ AD 垂直平分EF .
5．【答案】证明：∵∠ABC=∠ADC=90°，
在Rt △ ABC和Rt △ ADC中，
AB=ADAC=AC
∴Rt △ ABC≌Rt △ ADC（HL），
∴BC=DC，
∴点C在线段BD的垂直平分线上，
又∵AB=AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上，
∴AC是线段BD的垂直平分线．
6．【答案】∵BD=BC，∴∠BCD=∠BDC.∵ED⊥AB，∴∠EDB=90°，∴∠EDB-∠BDC=∠ACB-∠BCD，即∠ECD=∠EDC，即DE=CE，∴点E在CD的垂直平分线上.又∵BD=BC，∴点B在CD的垂直平分线上，∴BE垂直平分CD.
7．【答案】证明：∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°=∠ACB，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE=∠DAC，
∵AD=AD，
∴△AED≌△ACD，
∴AE=AC，
∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥CE，
即直线AD是线段CE的垂直平分线．
8．【答案】证明：如图，连接AM、CM，
∵∠BAD=∠BCD=90°，M是BD的中点，
∴AM=12BD，CM=12BD，
∴AM=CM，
∵N是AC的中点，
∴直线MN是线段AC的垂直平分线．
9．【答案】(1)∠PCD=∠PDC.理由如下：
∵OP是∠AOB的平分线，
且PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC=PD，
∴∠PCD=∠PDC；
(2)OP是CD的垂直平分线.
理由：∵∠OCP=∠ODP=90°，
在Rt△POC和Rt△POD中，
PC=PDOP=OP ，
∴Rt△POC≌Rt△POD(HL)，
∴OC=OD，
由PC=PD，OC=OD，可知点O、P都是线段CD的垂直平分线上的点，
从而OP是线段CD的垂直平分线.
10．【答案】（1）解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∴∠DEF=∠DFE；
（2）解：在Rt△AED和Rt△AFD中
AD=ADDE=DF，
∴Rt△AED≌Rt△AFD，
∴AE=AF，
而DE=DF，
∴AD垂直平分EF．
11．【答案】解：证明：连接AP，AQ，BP，BQ．
由作法可知，AP＝AQ，BP＝BQ．
∴点A在线段PQ的垂直平分线上，点B在线段PQ的垂直平分线上，（依据：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）
∴直线AB是线段PQ的垂直平分线（依据：两点确定一条直线）
∴PQ⊥l．
12．【答案】证明：在△ABO和△CDO中，
∠AOB=∠COD∠ABO=∠CDOAB=CD
∴△ABO≌△CDO(AAS)，
∴OB=OD，
∴点O在BD的垂直平分线上，
又∵EB=ED，
∴点E在BD的垂直平分线上，
∴OE垂直平分BD．
13.【答案】（1）解：∠ABE=∠ACD；在△ABE和△ACD中，
AB=AC∠A=∠AAE=AD ，
∴△ABE≌△ACD，
∴∠ABE=∠ACD
证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
由（1）可知∠ABE=∠ACD，
∴∠FBC=∠FCB，
∴FB=FC，
∵AB=AC，
∴点A、F均在线段BC的垂直平分线上，
即直线AF垂直平分线段BC