辽宁省沈阳市东北育才学校2025届高三下学期开学考试（暨第六次模拟）数学试卷（含答案）

这是一份辽宁省沈阳市东北育才学校2025届高三下学期开学考试（暨第六次模拟）数学试卷（含答案），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知命题p:∃x∈R, csx>1；命题q:∀x>3, π3x−9>1，则( )
A. p和q都是真命题B. ¬p和q都是真命题
C. p和¬q都是真命题D. ¬p和¬q都是真命题
2.某学校有高中学生500人，其中男生300人，女生200人.为了解学生身高情况，采用分层抽样获取样本，计算得男生样本均值为173，方差为17，女生样本均值为163，方差为30.则估计总体的均值和方差分别为( )
A. 170，47.2B. 169，46.2C. 170，46.2D. 169，47.2
3.对于数集A，B，它们的Descartes积A×B={(x,y)|x∈A,y∈B}，则下列选项错误的是( )
A. A×B=B×AB. 若A⊆C，则(A×B)⊆(C×B)
C. A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C)D. 集合{0}×R表示y轴所在直线
4.定义双曲余弦函数表达式为csℎx=ex+e−x2，定义双曲正弦函数的表达式为sinℎx=ex−e−x2.设函数f(x)=sinℎxcsℎx，若实数m满足不等式f(m−12)+f(m2)>0，则m的取值范围为( )
A. (−4,3)B. (−3,4)
C. (−∞,−4)∪(3,+∞)D. (−∞,−3)∪(4,+∞)
5.已知直线l:mx+y−m−1=0与圆C:x−22+y2=4相交于M、N两点，则CM+CN的最大值为( )．
A. 2 3B. 2 2C. 4D. 22
6.若a>0，b>0，3a+5b=1，则11a+13b2a2+6ab+4b2的最小值为( )
A. 16B. 18C. 20D. 22
7.已知在平面直角坐标系xy中，A−2,1,B−2,2，动点P满足PAPB= 22，点Q为抛物线C:y2=4x上一动点，且点Q在直线x=−2上的投影为R，则PB+ 2PQ+ 2QR的最小值为( )
A. 10B. 2 5C. 2 5+ 2D. 2 10
8.用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个篮球中取出若干个球的所有取法可由1+a1+b的展开式1+a+b+ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来．以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、从5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的红球都取出或都不取出的所有取法的是( )
A. 1+a+a2+a3+a4+a51+b51+c5
B. 1+a51+b+b2+b3+b4+b51+c5
C. 1+a51+b+b2+b3+b4+b51+c5
D. 1+a5(1+b)51+c+c2+c3+c4+c5
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z1=a+bi(a,b∈R)，z2=2−3i，则( )
A. 若z1⋅z2为实数，则点P(a,b)在直线3x−2y=0上
B. 若z1与1z2互为共轭复数，则b=213
C. 若z1，z2对应的点关于直线y=−x对称，则z1=3−2i
D. 若|z1|=1，则|z1−z2|的最小值为 13−1
10.如图，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角△ABC沿BC向上翻折，得三棱锥A−BCD，设CD=2，点E，F分别为棱BC，BD的中点，下列说法正确的是( )
A. 在翻折过程中，存在某个位置使得AB⊥CD
B. 若AC⊥CD，则AD与平面BCD所成角的正切值为 217
C. 当三棱锥A−BCD体积取得最大值时，二面角D−AC−B的平面角大小为π3
D. 当AE⊥EF时，三棱锥A−BCD外接球的表面积为16π
11.平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角弧长的转动率，表明曲线偏离直线的程度.曲率半径主要是用来描述曲线上某处曲线弯曲变化的程度.如：圆越小，曲率越大;圆越大，曲率越小.定义函数y=f(x)的曲率函数k(x)=|y′′|[1+(y′)2]32(其中y′是f(x)的导数，y是y′的导数)，函数y=f(x)在x=t处的曲率半径为此处曲率k(t)的倒数，以下结论正确的是( )
A. 函数y=sinx在无数个点处的曲率为1
B. 函数f(x)=x3+2，则曲线在点(−a,−a3+2)与点(a,a3+2)处的弯曲程度相同
C. 函数y=ex的曲率半径随着x变大而变大
D. 若函数y=lnx在x=t1与x=t2(t1≠t2)处的曲率半径相同，则t1t2b>0)，椭圆C的离心率e= 1417，点P1(−1,9)在椭圆C上，过点Pn−1(n≥2,n∈N∗)作斜率为1的直线交椭圆C于点Qn−1，点Qn−1关于y轴的对称点为Pn.记点Pn的坐标为(xn,yn)，记点▵PnPn+1Pn+2的面积为Sn.求：
(1)椭圆C的方程；
(2)求x2，y2，x3，y3；
(3)求S10．
参考答案
1.B
2.B
3.A
4.C
5.B
6.A
7.C
8.B
9.ACD
10.ABD
11.ABD
12.1≤k0，gx在0,a上单调递增，x∈a,+∞，g′x0，ℎx在0,+∞上单调递增，由ℎ1=0，则x∈0,1，ℎx0时，令Mx=xex−1−a，x∈0,+∞,
M′x=x+1ex−1，则M′x>0，Mx在0,+∞上单遇递增，
M0=−a0，
∃x0∈0,a+1，使得ℎ′x0=x0ex0−1−a=0①，
所以ℎx在0,x0上单调递减;ℎx在x0,+∞单调递增，则ℎx0=ex0−1−alnx0−1≥0恒成立，
由①得lnx0=lna−x0+1.
所以ℎx0=ax0+ax0−alna−a−1≥2 ax0×ax0−alna−a−1=a−alna−1，
即a−alna−1≥0，当且仅当x0=1时，a−alna−1=0，所以a−alna−1≥0，
记φx=x−xlnx−1，0,+∞，φ′x=1−1−lnx=−lnx，
即φx在0,1上单调递增，在1,+∞单调递减，φx≤φ1=0，即a=1.

18.解：(1)若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为2白1黑，乙盒中的球变为1白1黑，概率a1=23；
若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为1白2黑，乙盒中的球仍为2白，概率b1=13，
研究第2次交换球时的概率，根据第1次交换球的结果讨论如下：
①当甲盒中的球为2白1黑，乙盒中的球为1白1黑时，对应概率为a1=23，
此时，若甲盒取黑球、乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球仍为2白1黑，
乙盒中的球仍为1白1黑，概率为a1×13×12=16a1；
若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为3白，乙盒中的球变为2黑，概率为a1×13×12=16a1；
若甲盒取白球、乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球变为1白2黑，乙盒中的球变为2白，概率为a1×23×12=13a1；
若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为2白1黑，乙盒中的球仍为1白1黑，概率为a1×23×12=13a1，
②当甲盒中的球为1白2黑，乙盒中的球为2白时，对应概率为b1=13，
此时，若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为2白1黑，
乙盒中的球变为1白1黑，概率为b1×23=23b1
若甲盒取白球，乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为1白2黑，乙盒中的球仍为2白，概率为b1×13=13b1，
综上，a2=16a1+13a1+23b1=59,b2=13a1+13b1=13．
(2)依题意，经过n次这样的操作，甲盒中恰有2个白球的概率为an，
恰有1个白球的概率为bn，则甲盒中恰有3个白球的概率为1−an−bn，
研究第n+1次交换球时的概率，根据第n次交换球的结果讨论如下：
①当甲盒中的球为2白1黑，乙盒中的球为1白1黑时，对应概率为an，
此时，若甲盒取黑球、乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球仍为2白1黑，
乙盒中的球仍为1白1黑，概率为an×13×12=16an；
若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为3白，乙盒中的球变为2黑，概率为an×13×12=16an；
若甲盒取白球、乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球变为1白2黑，乙盒中的球变为2白，概率为an×23×12=13an；
若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为2白1黑，乙盒中的球仍为1白1黑，概率为an×23×12=13an，
②当甲盒中的球为1白2黑，乙盒中的球为2白时，对应概率为bn，
此时，若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为2白1黑，乙盒中的球变为1白1黑，概率为bn×23=23bn；
若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为1白2黑，乙盒中的球仍为2白，概率为bn×13=13bn，
③当甲盒中的球为3白，乙盒中的球为2黑时，对应概率为1−an−bn，
此时，甲盒只能取白球、乙盒只能取黑球，互换，则甲盒中的球变为2白1黑，
乙盒中的球变为1白1黑，概率为1−an−bn，
综上，an+1=13an+16an+23bn+1−an−bn=1−12an−13bn,bn+1=13an+13bn
则an+1+2bn+1−65=1−12an−13bn+23an+23bn−65=16an+13bn−15，
整理得an+1+2bn+1−65=16(an+2bn−65)，又a1+2b1−65=215>0，
所以数列{an+2bn−65}是公比为16的等比数列．
(3)由(2)知an+2bn−65=215×(16)n−1，则an+2bn=65+215×(16)n−1，
随机变量Xn的分布列为
所以E(Xn)=bn+2an+3−3bn−3an=3−(an+2bn)=95−215×(16)n−1．

19.解：(1)因e=ca= 1417，则c2a2=1417，结合a2−c2=b2，
可得b2a2=317，则设椭圆方程为：y217t+x23t=1，代入P1(−1,9)，
可得：8117t+13t=1⇒t=26051，则椭圆方程为3y2+17x2=260．
(2)设Pn−1xn−1,yn−1,Qn−1wn−1,zn−1(n≥2,n∈N∗).
由题可得直线Pn−1Qn−1斜率为1，则yn−1−xn−1zn−1−wn−1=1⇒yn−1−xn−1=zn−1−wn−1．
又点Qn−1关于y轴的对称点为Pn，则zn−1=ynwn−1=−xn，代入yn−1−xn−1=zn−1−wn−1，
可得yn−1−xn−1=xn+yn⇒yn−1−yn=xn−1+xn．
又Pn−1xn−1,yn−1,Pnxn,yn均在椭圆上，则3yn−12+17xn−12=2603yn2+17xn2=260,
两式相减，并整理可得3yn−12−yn2=−17xn−12−xn2，则yn−1−ynxn−1−xn⋅yn−1+ynxn−1+xn=−173
⇒yn−1+ynxn−1−xn=−173⇒yn−1+yn=−173xn−1−xn，结合yn−1−yn=xn−1+xn，
可得2yn−1=−143xn−1+203xn⇒yn−1=−73xn−1+103xn⇒xn=710xn−1+310yn−1．
又yn−1−yn=xn−1+xn，则yn=yn−1−xn−1−xn=−1710xn−1+710yn−1．
又由题可得x1=−1,y1=9，则x2=−710+310×9=2，y2=1710+710×9=8，
x3=710×2+310×8=195，y3=−1710×2+710×8=115；
(3)对于Pnxn,yn,Pn+1xn+1,yn+1,Pn+2xn+2,yn+2，
可得PnPn+1xn+1−xn,yn+1−yn,PPn+2xn+2−xn,yn+2−yn，
则Sn=12PnPn+1PnPn+2sinPnPn+1,PnPn+2
=12PnPn+1PnPn+2 1−cs2PnPn+1,PnPn+2=12 PnPn+12PnPn+22−PnPn+1⋅PnPn+22
对于PnPn+12PnPn+22−PnPn+1⋅PnPn+22，其等于：
xn+1−xn2+yn+1−yn2⋅xn+2−xn2+yn+2−yn2−
xn+1−xn⋅xn+2−xn+yn+1−yn+yn+2−yn2
令xn+1−xn=k1,xn+2−xn=k2,yn+1−yn=p1,yn+2−yn=p2，
则PnPn+12PnPn+22−PnPn+1⋅PnPn+22=k12+p12k22+p22−k1k2+p1p22
=k1p2−k2p12，则Sn=12xn+1−xnyn+2−yn−xn+2−xnyn+1−yn．
由(1)xn=710xn−1+310yn−1yn=−1710xn−1+710yn−1，可得xn+1=710xn+310ynyn+1=−1710xn+710yn,
则xn+1−xn=−310xn+310ynyn+1−yn=−1710xn−310yn⇒xn+2−xn+1=−310xn+1+310yn+1yn+2−yn+1=−1710xn+1−310yn+1,
则xn+2−xn=xn+2−xn+1+xn+1−xn=−310xn+1+310yn+1−310xn+310ynyn+1−yn=yn+2−yn+1+yn+1−yn=−1710xn+1−310yn+1−1710xn−310yn⇒
xn+2−xn=−5150xn+2150ynyn+2−yn=−11950xn−5150yn,
则xn+1−xnyn+2−yn−xn+2−xnyn+1−yn=
=−310xn+310yn−11950xn−5150yn−−5150xn+2150yn−1710xn−310yn
=−5150xn2+950yn2，则Sn=310017xn2+3yn2，
又Pnxn,yn在椭圆上，则3yn2+17xn2=260，
故Sn=310017xn2+3yn2=780100=395．
则Sn为定值395，故S10=395．
Xn
1
2
3
P
bn
an
1−an−bn