2025年湖南省长沙市岳麓实验学校高考数学一模试卷（含答案）

这是一份2025年湖南省长沙市岳麓实验学校高考数学一模试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合M={x|2lnx1，若f(x)在R上单调递增，则实数a−1a+1的取值范围为( )
A. (0,1)B. (13,12]C. (1,2)D. (2,+∞)
4.若复数z=1+i3−i，则1z的虚部为( )
A. −2iB. 2iC. 2D. −2
5.若直线l：(m+2)x+(m−1)y+m−1=0与圆C：(x−1)2+y2=4交于A，B两点，则|AB|的取值不可能为( )
A. 2 2B. 3C. 2 3D. 4
6.已知x0为函数f(x)=x2ex+e2lnx−2e2的零点，则x0+lnx0=( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
7.《红海行动》是一部现代化海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A必须排在前三位，且任务E、F必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有( )
A. 240种B. 188种C. 156种D. 120种
8.在不断发展的过程中，我国在兼顾创新创造的同时，也在强调已有资源的重复利用，废弃资源的合理使用，如土地资源的再利用是其中的重要一环.为了积极响应国家号召，某地计划将如图所示的四边形荒地ABCD改造为绿化公园，并拟计划修建主干路AC与BD.为更好的规划建设，利用无人机对该地区俯视图进行角度勘探，在勘探简化图中，AD⊥AC，AB⊥BC，AC平分∠BCD，BD=CD，则cs∠ACD=( )
A. 63B. 2 29C. 2 23D. 33
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知P是圆O：x2+y2=4上的动点，直线l1：xcsθ+ysinθ=4与l2：xsinθ−ycsθ=1交于点Q，则
( )
A. l1⊥l2B. 直线l1与圆O相切
C. 直线l2与圆O截得弦长为2 3D. |OQ|的值为 17
10.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点，P为平面ABCD上的动点，设直线A1P与底面ABCD所成的角为α，直线EP与底面ABCD所成的角为β，平面PA1D1与底面ABCD的夹角为γ，平面PC1D1与底面ABCD的夹角为θ，则( )
A. 若α=β，则点P在圆上B. 若γ=θ，则点P在双曲线上
C. 若α=θ，则点P在抛物线上D. 若β=θ，则点P在直线上
11.已知正方形ABCD在平面直角坐标系xOy中，且AC：2x−y+1=0，则直线AB的方程可能为( )
A. x+3y+1=0B. x−3y+1=0C. 3x+y+1=0D. 3x−y+1=0
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=2，Sn=an+1−2n+1.若Sn>n2+61n，则n的最小值为______．
13.函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)=f(1−x)，若x∈[0,1]，f(x)=2x，则f(2023)= ______．
14.如图，现有两排座位，第一排3个座位，第二排5个座位，将8人(含甲、乙、丙)随机安排在这两排座位上，则甲、乙、丙3人的座位互不相邻(相邻包括左右相邻和前后相邻)的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足sinB+sinCsinA−sinC=sinA+sinCsinB．
(1)求角A的大小；
(2)若a= 7，△ABC的角平分线AD与边BC相交于点D，且AD=23，求△ABC的面积．
16.(本小题12分)
在前n项和为Sn的等比数列{an}中，3a2=2a1+a3，S4=30，S2=38−a5．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn=an⋅lg2an，求数列{bn}的前n项和Tn．
17.(本小题12分)
已知函数f(x)=ae2x−(ax+2−a)ex+12x2．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．
18.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，AB=AD=2，BC=1，PD⊥平面PAB．
(1)求证：AB⊥平面PAD；
(2)求PC的长；
(3)若PD=1，求直线PA与平面PCD所成角的正弦值．
19.(本小题12分)
某市统计了2024年4月的空气质量指数(AQI)，将其分为[0,50]，(50,100]，(100,150]，(150,200]的4组，画出频率分布直方图如图所示.若AQI≤100，称当天空气质量达标；若AQI>100，称当天空气质量不达标.(1)求a；
(2)从4月的30天中任取2天，求至少有1天空气质量达标的概率；
(3)若2024年6月的30天中有8天空气质量达标，请完成下面2×2列联表，根据小概率值α=0.1的独立性检验，能否认为空气质量是否达标与月份有关联？
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)×(c+d)×(a+c)×(b+d)，
参考答案
1.A
2.D
3.B
4.D
5.A
6.B
7.D
8.A
9.ACD
10.AC
11.BC
12.7
13.2
14.27
15.解：(1)∵sinB+sinCsinA−sinC=sinA+sinCsinB.∴由正弦定理可得b+ca−c=a+cb，
∴(a+c)(a−c)=b(b+c)，
整理得：a2−c2=b2+bc，
∴csA=b2+c2−a22bc=12，
由于00时，f(x)min=f(−lna)=1−1a+lna+ln2a2，令g(a)=1−1a+lna+ln2a2，
则g(a)=2++ℎna=1(2+1+lna)=−2(a+1−mnb)>[a+1+(1−)]=2>0．
∴g(a)在R上单调递增，
而g(1)=0，故当01，则f(x)min=g(a)>0，故f(x)>0恒成立，f(x)无零点；
(ii)若a=1，则f(x)min=g(a)=0，
故f(x)=0仅有一个实根x=−lna=0，f(x)无两个零点，不满足条件；
(ⅲ)若0ln1a=−lna，
且f(ln(3a−1))=a(3a−1)2−[aln(3a−1)+2−a](3a−1)+12ln2(3a−1)>a(3a−1)2−[aln(3a−1)+2−a](3a−1)=(3−a)[1a−ln(3a−1)]，
令ℎ(x)=x−ln(3x−1)(x>1)，则ℎ′(x)=1−33x−1=3x−43x−1，
∴ℎ(x)在(1,43)单调递减，在(43,+∞)单调递增，ℎ(x)≥ℎ(43)=43−ln3>0，
故1a−ln(3a−1)>0，又00，即f(ln(3a−1))>0，
故f(x)在(−lna,ln(3a−1))上有一个实根．
又f(x)在(−∞,−lna)上单调递减，在(−lna,+∞)上单调递增，故f(x)在R上至多两个实根，
又f(x)在(−2,−lm)及(−lna,ln(3a−1))上均至少有一个实根．故f(x)在R上恰有两个实根．
综上，0