专题47 椭圆-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）原卷版

这是一份专题47 椭圆-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）原卷版，共13页。
【知识梳理】2
【真题自测】3
【考点突破】4
【考点1】椭圆的定义及应用4
【考点2】椭圆的标准方程5
【考点3】椭圆的简单几何性质7
【分层检测】8
【基础篇】8
【能力篇】11
【培优篇】12
考试要求：
1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
2.掌握椭圆的定义、 几何图形、标准方程及简单几何性质.
知识梳理
1.椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距.
其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：
(1)若a＞c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a＜c，则集合P为空集.
2.椭圆的标准方程和几何性质
1.若点P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，则
(1)b≤|OP|≤a；
(2)a－c≤|PF|≤a＋c.
2.焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形，r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)中：
(1)当r1＝r2时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；
(2)S＝b2tan eq \f(θ,2)＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.
3.焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝eq \f(2b2,a).
4.AB为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则直线AB的斜率kAB＝－eq \f(b2x0,a2y0).
真题自测
一、单选题
1．（2024·全国·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段PP'，为垂足，则线段PP'的中点M的轨迹方程为（ ）
A．（）B．（）
C．（）D．（）
2．（2023·全国·高考真题）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（ ）
A．1B．2C．4D．5
3．（2023·全国·高考真题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全国·高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·全国·高考真题）已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·全国·高考真题）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
7．（2022·全国·高考真题）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是 ．
考点突破
【考点1】椭圆的定义及应用
一、单选题
1．（23-24高二上·湖南长沙·阶段练习）已知，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，则的最大值是（ ）
A．B．9C．16D．25
2．（2024·陕西西安·三模）已知定点与椭圆上的两个动点，，若，则的最小值为（ ）
A．B．13C．D．
二、多选题
3．（2024·广东广州·模拟预测）已知椭圆：（）的左、右焦点为，，过的直线与交于，两点.若，.则（ ）
A．的周长为B．
C．的斜率为D．椭圆的离心率为
4．（23-24高三下·黑龙江·阶段练习）已知、，点为曲线上动点，则下列结论正确的是（ ）
A．若为抛物线，则
B．若为椭圆，则
C．若为双曲线，则
D．若为圆，则
三、填空题
5．（23-24高三下·湖北武汉·阶段练习）设椭圆的左右焦点为，椭圆上点满足，则的面积为 .
6．（23-24高二上·山东青岛·期末）如图所示，已知椭圆的左右焦点分别为，点在上，点在轴上， ，则的离心率为 .

反思提升：
椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.
(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题.
【考点2】椭圆的标准方程
一、单选题
1．（2024·辽宁·二模）已知方程表示的曲线是椭圆，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·广西桂林·三模）已知椭圆C：的右焦点为F，过F的直线与C交于A、B两点，其中点A在x轴上方且，则B点的横坐标为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．（2021·全国·模拟预测）已知为3与5的等差中项，为4与16的等比中项，则下列对曲线描述正确的是（ ）
A．曲线可表示为焦点在轴的椭圆
B．曲线可表示为焦距是4的双曲线
C．曲线可表示为离心率是的椭圆
D．曲线可表示为渐近线方程是的双曲线
4．（2023·全国·模拟预测）已知分别为椭圆的左、右焦点，直线过的一个焦点和一个顶点，且与交于两点，则（ ）
A．的周长为8
B．的面积为
C．该椭圆的离心率为
D．若点为上一点，设到直线的距离为，则
三、填空题
5．（2023·广东·二模）已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，M是C上一点且与x轴垂直，直线与C的另一个交点为N．若直线MN在y轴上的截距为3，且，则椭圆C的标准方程为 ．
6．（2024·上海·三模）舒腾尺是荷兰数学家舒腾（1615-1660）设计的一种作图工具，如图，是滑槽的中点，短杆可绕转动，长杆通过处的铰链与连接，上的栓子可沿滑槽滑动，当点在滑槽内作往复移动时，带动点绕转动，点也随之而运动，记点的运动轨迹为，点的运动轨迹为.若，，且，过上的点向作切线，则切线长的最大值为
反思提升：
(1)利用定义法求椭圆标准方程，要注意条件2a＞|F1F2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)的形式.
(2)椭圆的标准方程的两个应用
①方程eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1与eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝λ(λ＞0)有相同的离心率.
②与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)共焦点的椭圆系方程为eq \f(x2,a2＋k)＋eq \f(y2,b2＋k)＝1(a＞b＞0，k＋b2＞0)，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便.
【考点3】椭圆的简单几何性质
一、单选题
1．（2024·山西太原·一模）设双曲线（、均为正值）的渐近线的倾斜角为，且该双曲线与椭圆的离心率之积为1，且有相同的焦距，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·广东惠州·模拟预测）已知椭圆的方程为，过椭圆中心的直线交椭圆于A、B两点，是椭圆的右焦点，则的周长的最小值为（ ）
A．8B．C．10D．
二、多选题
3．（2024·江西南昌·三模）将椭圆上所有的点绕原点旋转角，得到椭圆的方程：，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．椭圆的离心率为
C．是椭圆的一个焦点D．
4．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）在平面直角坐标系xOy中，长、短轴所在直线不与坐标轴重合的椭圆称为“斜椭圆”，将焦点在坐标轴上的椭圆绕着对称中心顺时针旋转，即得“斜椭圆”，设在上，则（ ）
A．“斜椭圆”的焦点所在直线的方程为B．的离心率为
C．旋转前的椭圆标准方程为D．
三、填空题
5．（2025·黑龙江大庆·一模）已知是椭圆的左焦点，直线交椭圆于两点.若，则椭圆的离心率为 .
6．（2023·广西·一模）如图，一个光学装置由有公共焦点的椭圆C与双曲线构成，一光线从左焦点发出，依次经过与C的反射，又回到点.，历时m秒；若将装置中的去掉，则该光线从点发出，经过C两次反射后又回到点历时n秒，若的离心率为C的离心率的4倍，则 .
反思提升：
1.求椭圆离心率或其范围的方法
解题的关键是借助图形建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下：
(1)直接求出a，c，利用离心率公式e＝eq \f(c,a)求解.
(2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝eq \r(1－\f(b2,a2))求解.
(3)构造a，c的齐次式.离心率e的求解中可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.
2.利用椭圆几何性质求值域或范围的思路
(1)将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系.
(2)将所求范围用a，b，c表示，利用a，b，c自身的范围、关系求范围.
分层检测
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·江西九江·三模）已知椭圆的左右焦点分别为,过且倾斜角为的直线交于第一象限内一点.若线段的中点在轴上,的面积为,则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，焦距为，则该椭圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024·福建泉州·二模）若椭圆的离心率为，则该椭圆的焦距为（ ）
A．B．C．或D．或
4．（2024·河南商丘·模拟预测）若动直线始终与椭圆（且）有公共点，则的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
5．（2024·河南开封·三模）椭圆的焦点为，，上顶点为A，直线与C的另一个交点为B，若，则（ ）
A．C的焦距为2B．C的短轴长为
C．C的离心率为D．的周长为8
6．（2024·山东潍坊·二模）已知椭圆：的焦点分别为，，P为上一点，则（ ）
A．的焦距为B．的离心率为
C．的周长为D．面积的最大值为
7．（20-21高三上·江苏南通·期末）嫦娥奔月是中华民族的千年梦想.2020年12月我国嫦娥五号“探月工程”首次实现从月球无人采样返回.某校航天兴趣小组利用计算机模拟“探月工程”，如图，飞行器在环月椭圆轨道近月点制动（俗称“踩刹车”）后，以的速度进入距离月球表面的环月圆形轨道（月球的球心为椭圆的一个焦点），环绕周期为，已知远月点到月球表面的最近距离为，则（ ）
A．圆形轨道的周长为
B．月球半径为
C．近月点与远月点的距离为
D．椭圆轨道的离心率为
三、填空题
8．（2022·广东佛山·三模）已知椭圆，、为的左、右焦点，是椭圆上的动点，则内切圆半径的最大值为 ．
9．（2024·广东江门·二模）已知圆内切于圆，圆内切于圆，则动圆的圆心的轨迹方程为 .
10．（2023·贵州毕节·一模）勒洛三角形是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，边长为半径，在另两个顶点间作圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形（如图），已知椭圆的焦点和顶点能作出一个勒洛三角形，则该勒洛三角形的周长为 ．
四、解答题
11．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知椭圆C：的左，右焦点分别为，，过的直线与椭圆C交于M，N两点，且的周长为8，的最大面积为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设，是否存在x轴上的定点P，使得的内心在x轴上，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
12．（2024·广东梅州·二模）已知椭圆C：（）的离心率为，且经过点．
(1)求椭圆C的方程：
(2)求椭圆C上的点到直线l：的距离的最大值．
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·湖北武汉·模拟预测）设椭圆的左右焦点为，右顶点为，已知点在椭圆上，若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
2．（2024·江西·模拟预测）已知，，，动点满足与的斜率之积为，动点的轨迹记为，过点的直线交于，两点，且，的中点为，则（ ）
A．的轨迹方程为
B．的最小值为1
C．若为坐标原点，则面积的最大值为
D．若线段的垂直平分线交轴于点，则点的横坐标是点的横坐标的倍
三、填空题
3．（2024·浙江杭州·二模）机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示，该纸杯母线长为，开口直径为．旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点时，椭圆的离心率等于 ．
四、解答题
4．（2024·山东淄博·二模）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，且四个顶点所围成的菱形的面积为4．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC，BD过原点O，设，满足．
①求证：直线AB和直线BC的斜率之和为定值；
②求四边形ABCD面积的最大值．
【培优篇】
一、单选题
1．（2024·重庆·模拟预测）已知为坐标原点，椭圆的焦距为，点在椭圆上，且，则的方程为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
2．（2024·安徽合肥·三模）椭圆的两个焦点分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．过点的直线与椭圆交于A，B两点，则的周长为8
B．若上存在点，使得，则的取值范围为
C．若直线与恒有公共点，则的取值范围为
D．若为上一点，，则的最小值为
三、填空题
3．（2021·河北张家口·三模）已知为椭圆的右焦点，过点的直线与椭圆交于两点，为的中点，为坐标原点.若△是以为底边的等腰三角形，且△外接圆的面积为，则椭圆的长轴长为 .标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)
图形
性质
范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝eq \f(c,a)∈(0，1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2