河北省部分学校联考2024−2025学年高三下学期2月开学调研检测 数学试题（含解析）

这是一份河北省部分学校联考2024−2025学年高三下学期2月开学调研检测 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．设复数z＝1+i，则2＝（ ）
A．﹣2iB．2iC．2﹣2iD．2+2i
3．已知向量，，若，则（ ）
A．B．C．1D．2
4．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
5．“”是“函数为奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件
6．椭圆：的上、下顶点分别为，，椭圆：与的一个交点为M，则的周长为（ ）
A．4B．C．D．6
7．，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．正方体的棱长为1，球O为其内切球，作球O的内接正方体，正方体的内切球为球，作球的内接正方体为，依此法一直继续下去，从正方体开始，所有这些正方体的表面积之和将趋近于（ ）
A．B．9C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知有四个数从小到大排列为，这四个数的分位数是4，则可能是（ ）
A．4B．C．6D．
10．已知如图是函数，的部分图象，则（ ）
A．的最小正周期为
B．在单调递增
C．的图象关于中心对称
D．的图象向左平移个单位长度后为偶函数
11．数学中的数形结合可以组成世间万物的绚丽画面，优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的产物.现坐标满足方程的点的轨迹为曲线C，则（ ）
A．曲线C关于y轴对称
B．曲线C位于x轴下方的点与原点的最远距离为
C．曲线C与x轴围成的区域面积大于2
D．曲线C上横坐标和纵坐标均为整数的点至少有五个
三、填空题（本大题共3小题）
12．从长度为1，3，5，7，9，11的六条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为 .
13．圆O的半径为3，从中剪出扇形AOB围成一个圆锥无底，当所得的圆锥的体积最大时，圆心角为 .
14．已知实数，，，满足：，，，则的最大值为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．在中、角所对的边分别为，且
(1)求角的大小；
(2)若的面积为，求的最小值.
16．如图所示，在圆台中，四边形为过的圆台截面，为底面圆O的内接正三角形.

(1)证明：平面平面；
(2)若，求平面和平面夹角的余弦值.
17．春节期间有一过关赢奖励娱乐活动，参与者需先后进行四个关卡挑战，每个关卡都必须参与.前三个关卡至少挑战成功两个才能够进入第四关，否则直接淘汰，若四关都通过，则可以赢得奖励.参与者甲前面三个关卡每个挑战成功的概率均为，第四关挑战成功的概率为，且各关挑战成功与否相互独立.
(1)求参与者甲未能参与第四关的概率；
(2)记参与者甲本次挑战成功的关卡数为X，求X的分布列以及数学期望.
18．已知椭圆C：的离心率为，且经过，直线l交C于E，F两点，直线，斜率之和为
(1)求椭圆C的方程；
(2)证明：直线l过定点.
19．已知函数
(1)当时，求函数在点处的切线；
(2)若函数在上为增函数，求实数a的取值范围；
(3)证明：，
参考答案
1．【答案】B
【详解】集合，集合，
则
故选B.
2．【答案】A
【解析】由z求得，再利用复数的乘方运算求解即可.
【详解】∵z＝1+i，
∴＝（1﹣i）2
＝﹣2i.
故选A.
3．【答案】C
【详解】解：若，
则，即，
向量，，
则，解得
故选C.
4．【答案】C
【详解】解：对两边平方，，
即①，
对两边平方，，
即②，
① +②得，，
即，
即，
则，解得
故选C.
5．【答案】A
【详解】若，则，则，故充分性成立，
当函数为奇函数，则，
所以恒成立，则，则必要性不成立，
故是“函数为奇函数”的充分不必要条件．
故选A.
6．【答案】D
【详解】椭圆：的上、下顶点分别为，，
则，，
又椭圆：，
则椭圆的焦点为，，
则的周长为
故选D.
7．【答案】D
【详解】因为不等式恒成立，
①当时，；
②当时，问题等价为恒成立，
设，
则，令
则，得在上单调递增，且，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以上的最小值为，所以此时；
③当时，问题等价为恒成立，
设，
则，
所以在上单调递减，
而时，，所以此时.
综上所述：实数a的取值范围为
故选D.
8．【答案】B
【详解】设正方体的棱长为，其内切球球O半径为，则，
球O的内接正方体的棱长，
其内切球球半径为，
球的内接正方体为的棱长，
其内切球球半径为，
，以此类推，
可知所有这些正方体的棱长构成一个以为首项，以为公比的等比数列，
则它们的表面积构成以6为首项，以为公比的等比数列，
其前n项和，
当n趋于正无穷时，趋近于9
故选B.
9．【答案】CD
【详解】因为，
所以这四个数的分位数是，即，
所以，
所以，
由四个选项可知，可能是6或
故选CD.
10．【答案】BD
【详解】解：由题意可得，即，而，可得，
又因为，即，
可得，，可得，，
又因为，且，即，即，
可得，所以，
A中，函数的最小正周期，所以A不正确；
B中，因为，可得，所以函数在上是单调递增，所以B正确；
C中，因为，，所以不是函数的对称中心，所以C不正确；
D中，将向左平移个单位后可得，可得为偶函数，所以D正确．
故选BD.
11．【答案】ABD
【详解】对于A，由方程，将其中的x换为，方程不变，
可得曲线C关于y轴对称，故A正确；
对于B，设是曲线C上的点，可得，即有，
由，可得，
和原点的距离为，
设，，可得，
当时，，递增；当时，，递减，
可得在处取得极大值，且为最大值，
可得d的最大值为，故B正确；
对于CD，由，可得；方程，可化为，
因为，所以函数为偶函数，
当时，为递增函数；当时，为递减函数，
所以函数有最小值，
图象经过点，，，，，

则曲线C与x轴围成的区域面积小于，故C错误，D正确．
故选ABD.
12．【答案】/
【详解】从长度为1，3，5，7，9，11的六条线段中任取3条，基本事件总数，
其中这三条线段能构成一个三角形包含的基本事件有，，，，，，，共7个，
则这三条线段能构成一个三角形的概率为
13．【答案】
【详解】根据题意，所得的圆锥的底面半径为r，则该圆锥的高，
则圆锥的体积为
，
当且仅当时，即时等号成立，
此时圆锥的底面周长为，其圆心角.
14．【答案】/
【详解】依题可设，，，，
由，可得
而，
可先求的最小值，
设，则，
从而有
，
因此，
解得
则，
可知最大值为
15．【答案】(1)；
(2)
【详解】（1）解：因为，
由正弦定理及余弦定理可得，
整理可得：，
由余弦定理可得，
而，
可得；
（2）解：，可得，
由余弦定理可得，
当且仅当时取等号，
所以的最小值为
16．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：设，连接，如图，

因为为底面圆O的内接正三角形，所以O为正三角形的中心，
则，且M为中点，
因为四边形为过的圆台截面，且关于底面直径对称，
所以，则，
因为，平面，所以平面，
因为平面CEF，所以平面平面；
（2）由分析知，O为正三角形的中心，所以，
因为，所以，故M为中点，
因为，所以，
又因为，所以四边形为平行四边形，，
因为平面，平面，所以平面，
以O为原点建立空间直角坐标系如图，

连接，因为，所以三角形满足，为正三角形，
所以，
不妨设，则，，，
所以，，
设平面ABF法向量为，则，即，
解得，
易知平面法向量，
设平面和平面夹角为，则，
所以平面和平面夹角的余弦值为
17．【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【详解】（1）参与者甲未能参与第四关的概率为：
（2）记参与者甲本次挑战成功的关卡数为X，则X的可能取值为0，1，2，3，4，
，
，
，
，
，
的分布列为：
数学期望为
18．【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）设椭圆半焦距为c，则依题意有，
所以，所以，
所以椭圆C的方程为
（2）显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为，
联立，消去y得，
，即，
设，，则，
因为直线，斜率之和为1，
即
，
所以，即，
所以直线l的方程为，即，
所以直线l过定点 .
19．【答案】(1)；
(2)；
(3)证明见解析
【详解】（1）时，，
，则，，
所以在点处的切线为，
整理得：，
故在点处的切线为；
（2）易知，
因为在上为增函数，所以在恒成立，
由在恒成立，
得，
设，，
令，在上恒成立，
所以在上递增，，即在上恒成立，
所以在上递增，，故，
即；
（3）由得，在上恒成立，
即在上恒成立，
令，，
则，即，
所以，，…，，
所以，
即，
化简得：，
故，
，
原不等式得证．X
0
1
2
3
4
P