河北省张家口市尚义县第一中学等校2024-2025学年高二下学期3月阶段测试 数学试题（含解析）

这是一份河北省张家口市尚义县第一中学等校2024-2025学年高二下学期3月阶段测试 数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了本试卷共150分，请将各题答案填在答题卡上， 若函数在处可导，且，则， 曲线在点处的切线的方程为， 函数的图像可能是， 函数在区间上的极值点为， 已知函数，则下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
考试说明：
1.本试卷共150分.考试时间120分钟.
2.请将各题答案填在答题卡上.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 函数的导数（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由基本初等函数的导数公式可得.
【详解】.
故选：A
2. 已知定义在上的函数的图象如图，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由图象得到函数单调递减的范围即可.
【详解】由函数图象可得，当时，单调递减，
所以.
故选：B
3. 若函数在处可导，且，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】由导数的概念可解.
【详解】.
故选：C
4. 曲线在点处的切线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意得为切点，再利用复数的几何意义即可求得结果.
【详解】由，得到在处切线的斜率为，
故在点处的切线方程为：，整理得：
故选：C
5. 若函数恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】通过求导，再依据和分类讨论求其单调区间即可.
【详解】，则，
，
当，即时，，则在上单调递增，不满足题意，舍；
当，即或时，的两根为，且，
则得或；得，
则 在和上单调递增，在上单调递减，
则恰好有三个单调区间，满足题意，故实数的取值范围是.
故选：C.
6. 函数的图像可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由函数解析式得到函数定义域，写出函数导函数从而知道函数的单调性，即可排除AC选项，再由函数在接近0时的函数值排除D选项，从而得到结论.
【详解】函数的定义域为：，
∵f′x=5x4+mx2m>0，∴，
∴函数在区间上单调递增，在区间上单调递增，排除AC选项；
当，时，，故排除D选项，
∴函数的图像可能是B选项.
故选：B.
7. 若函数单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求导后令导数小于等于零，分离参数再由基本不等式求解.
【详解】，
由函数单调递减可得恒成立，
又，当且仅当时取等号，
所以实数取值范围为.
故选：D
8. 最优化原理是指要求目前存在的多种可能的方案中，选出最合理的，达到事先规定的最优目标的方案，这类问题称之为最优化问题.为了解决实际生活中的最优化问题，我们常常需要在数学模型中求最大值或者最小值.下面是一个有关曲线与直线上点的距离的最值问题，请你利用所学知识来解答：若点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】对函数求导，然后令导数等于0，即可得到点的坐标，再利用点到线的距离公式即可求得结果.
【详解】由，求导得，其中直线的斜率为1，
令，即，解得：或（舍）
当时，则，故到直线的距离最小，
由点到直线的距离公式得最小值为，
故选：A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 函数在区间上的极值点为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】利用导数分析单调性可得.
【详解】，
令，
所以当时，，为单调递减函数；
当或时，，为单调递增函数，
所以当时取得极值.
故选：BC
10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 为奇函数B. 在其定义域上有增有减
C. 的图象与直线相切D. 有唯一的零点
【答案】ACD
【解析】
【分析】由奇函数的定义可判断A选项；对求导，判断的正负，可判断B选项；求的点，代入求切线方程可判断C选项；根据单调性和奇偶性可判断D选项.
【详解】解：函数定义域为，且，所以为奇函数，故A正确；
，所以为单调递增函数，故B不正确；
当时，，此时，
当时，，此时切线方程为：，即，故C正确；
由B选项可知，为单调递增函数，所以最多只有一个零点，又，所以有唯一零点，故D正确；
故选：ACD
11. 已知函数，下列说法正确的是（ ）
A. 在处取得极小值
B. 有3个零点
C. 在区间上的值域为
D. 曲线的对称中心为
【答案】AB
【解析】
【分析】求导分析单调性可得A正确；结合零点存在定理可得B正确；由单调性可得C错误；由可得D错误.
【详解】由函数可得，定义域为，
令，
所以当或时，；
当时，，
即函数在上单调递减；在上单调递增.
对于A，由以上分析可得在处取得极小值，故A正确；
对于B，因为f−4=12>0，，f2=12>0，，由零点存在定理可得有3个零点，故B正确；
对于C，由B可得在区间上的值域为，故C错误；
对于D，，
所以曲线的对称中心为，故D错误.
故选：AB
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 吹气球时，气球的半径（单位：）与体积（单位：）之间的函数关系是，估计时，气球的瞬时膨胀率为_____.
【答案】
【解析】
【分析】对求导后代入可得.
【详解】由可得，
当时，.
故答案为：.
13. 已知函数满足，则的值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】求导，令可得.
【详解】由题意可得，
所以，
解得.
故答案为：.
14. 已知是函数的导函数，且对任意实数都有，且，则不等式的解集为_____.
【答案】
【解析】
【分析】由题意，得，构造函数，然后求出函数的解析式，再确定的解析式，进一步不等式即可．
【详解】由题意，，
令，则，
因为，即，所以，
，
所以不等式的解集等价于，
解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数在处取得极小值.
（1）求的解析式；
（2）求在上的最值.
【答案】（1）
（2）最大值为18，最小值为
【解析】
【分析】（1）利用极值点处导数为零和极值列方程组可得；
（2）分析单调性和端点值，比较可得.
【小问1详解】
由题，
因为函数在处取得极小值，
所以，解得，
所以，此时，
令，得，
则当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以函数在处取得极小值.
所以.
【小问2详解】
由（1）可得，当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以函数在处取得极小值，，在处取得极大值；
又，，
所以在上的最大值为18，最小值为.
16. 某电子产品工厂，生产某型号电子产品的固定成本为1000（单位：万元），生产万件的生产成本为（单位：万元）；已知产品单价（单位：元）的平方与成反比，且生产100万件这样的产品时，单价为50元.
（1）写出总利润（单位：万元）的函数关系式；
（2）为使总利润最大，产量应定为多少？
【答案】（1）
（2）万件
【解析】
【分析】（1）利用题干的反比关系求出单价与产量的关系，再用总售价减去总成本即可得到总利润的函数表达式；
（2）利用导数的方法研究总利润关于产量的函数的单调性，即可得出结果.
【小问1详解】
设产品单价为元，根据题意有（为比例系数），当时，，
所以，从而有，故.
设总利润为（单位：万元），则.
【小问2详解】
由，可得，
令，得，当时，；当时，，
所以当时，取得最大值.故要使总利润最大，产量应定为万件.
17. 已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若，方程在上恰有两个不同的实数根，求的取值范围.
【答案】（1）函数在上单调递减，在上单调递增
（2）
【解析】
【分析】（1）根据导数与函数单调性的关系，可得答案；
（2）构造函数，利用导数与函数单调性的关系，结合分类情况讨论，可得答案.
【小问1详解】
由函数，求导可得，令，解得，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
【小问2详解】
令，求导可得，
令，则，令，解得，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
故，
当时，，即，所以函数在上单调递增，故不符合题意；
当时，易知，使得，
由h′0=1−a>0，则，使得，可得下表：
由，h2=2e2−a−1>0，
则函数在上仅存在一个零点，故不符合题意；
当时，易知，使得，可得，可得下表：
由题意可得，由，
则h−2=2a−1−e−2>0h2=2e2−a−1>0，解得.
综上所述，.
18. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）在区间内有唯一的极值点，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由导数的意义求出切线的斜率，再由点斜式得到直线方程；
（2）求出导函数，根据分类讨论，分和两类，对还需对导函数再一次求导，确定单调性，极值点；
【小问1详解】
当时，，，
，
所以曲线在点处的切线方程为.
【小问2详解】
函数，
①当时，当时，，
则在区间上单调递增，没有极值点，不合题意，舍去；
②当时，设，
则在区间上恒成立，
在区间上单调递增，即在区间上单调递增，
又在区间上有唯一零点设为，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
函数在区间内有唯一极值点，符合题意，
综上，的取值范围是.
19. 函数的单调性反映在图象上，就是曲线的上升或下降，但曲线在上升或下降的过程中，还有一个弯曲方向的问题，即函数的凹凸性，函数的凹凸性可以用连接曲线上任意两点的弦的中点与曲线上相应点（即具有相同横坐标的点）的位置关系来描述定义如下：设在区间上连续，如果对上任意两点恒有，则称在区间上的图形是凹的（图1），区间为凹的区间；设在区间上连续，如果对上任意两点恒有，则称在区间上的图形是凸的（图2），区间为凸的区间.
关于导数与函数的凹凸性的关系，有如下定理：设在区间上连续，在区间上具有一阶和二阶导数，那么①如果在上恒有，则在区间上的图象是凹的；如果在区间上的图象是凹的，则在上恒有；②如果在上恒有，则在区间上的图象是凸的；如果在区间上的图象是凸的，则在上恒有；其中是的导函数，为的一阶导数；是的导函数，为的二阶导数.根据以上内容，完成如下问题：
（1）试判断函数图象是凹的还是凸的，用定理证明；
（2）已知函数，求的凹的区间和凸的区间；
（3）若时，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）图象是凸的，证明见解析；
（2）的凹的区间为，的凸的区间为.
（3）
【解析】
【分析】（1）求以及，判断的正负可证明；
（2）求以及的解，即可求出函数的凹凸区间；
（3）将恒成立变形为恒成立，分别求两个函数的单调区间，可判断两个函数的最值，从而求出的范围.
【小问1详解】
的图象是凸的.
因为，，
又，所以，所以图象是凸的.
【小问2详解】
因为函数，所以的定义域为，
，，
令，则，令，则，
故的凹的区间为，的凸的区间为.
【小问3详解】
由题意可知，定义域为，
且等价于，
令，，，，
则，，
，当时，，当时，，
时，，时，，
故在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减，
则，，
若恒成立，则，解得：.单调递减
极小值
单调递增
单调递减
极小值
单调递增