2024-2025学年云南省文山州重点学校高三（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年云南省文山州重点学校高三（上）期末数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={−1,0,1,2,3}，B={x|x−2x+1≤0}，则A∩B=( )
A. {−1,0}B. {−1,0,1}C. {0,1}D. {0,1,2}
2.函数f(x)= 1−x2x的定义域为( )
A. [−1,1]B. [−1,0)∪(0,1]
C. (−∞,−1]∪[1,+∞)D. (−∞,−1)∪(1,+∞)
3.圆C1：x2+y2=4与圆C2：x2+y2−6x+8=0的位置关系为( )
A. 外离B. 相交C. 外切D. 内含
4.学校组织知识竞赛，某班8名学生的成绩(单位：分)分别是65，60，75，78，86，84，90，94，则这8名学生成绩的75%分位数是( )
A. 88分B. 86分C. 85分D. 90分
5.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点M(2,2)在抛物线上，则|MF|=( )
A. 32B. 52C. 3D. 5
6.把一个高9cm的圆锥形容器装满水，倒进一个与它底面积相等、高度相等的圆柱形容器中，此时水的高度是( )
A. 4.5cmB. 3cmC. 27cmD. 1cm
7.阿基米德是古希腊数学家，他利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积.据此得某椭圆面积为6 2π，且在y轴上的两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为( )
A. x28+y29=1B. x216+y218=1C. x212+y26=1D. x29+y28=1
8.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，P为底面ABCD上一点，则PB⋅PD1的最小值为( )
A. −12B. 0C. −14D. −1
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若两直线l1：(a−1)x−3y−2=0与l2：x−(a+1)y+2=0平行，则实数a的值可以为( )
A. 3B. 2C. −2D. 1
10.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，P，Q分别是棱BC，C1D1的中点，则( )
A. B1P⊥BQB. AP是平面BB1Q的一个法向量
C. C1P,BQ,B1D1共面D. 点Q到平面AB1C的距离为2 33
11.如图，造型为“∞”的曲线C称为双纽线，其对称中心为坐标原点O，且曲线C上的点满足：到点F1(−2,0)和F2(2,0)的距离之积为定值a.若点P(m,n)在曲线C上，则下列结论正确的是( )
A. |m|≤2 2B. |PO|≤2 2
C. △PF1F2面积的最大值为2D. △PF1F2周长的最小值为8
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知sin(π2+α)=2sin(π−α)，则tan(α−π4)= ______．
13.若直线 3x+y− 3=0与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，则∠AOB= ______．
14.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l与双曲线C的两支分别交于A，B两点.若AB=3BF1，且|AF2|=|BF2|，则双曲线C的离心率是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知直线l：(2a+3)x+(1−a)y+7+3a=0，a∈R．
(1)求l恒过的定点A的坐标；
(2)若l经过点B(0,1)，求直线l的方程．
16.(本小题15分)
已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(b−c)sinC=(b+a)(sinB−sinA)．
(1)求角A的大小；
(2)若a=4，D为BC的中点，△ABC的面积为3 32，求AD的长．
17.(本小题15分)
在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，规定比赛成绩达到9.50m以上(含9.50m)的同学将得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据(单位：m)：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
(2)求甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中恰有2人获得优秀奖的概率．
18.(本小题17分)
如图，底面四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，AD=ED=2，PA=3．
(1)证明：BD⊥平面PAC；
(2)求二面角B−PC−E的正弦值．
19.(本小题17分)
定义：一般地，当λ>0且λ≠1时，我们把方程x2a2+y2b2=λ(a>b>0)表示的椭圆Cλ称为椭圆C：x2a2+y2b2=1的相似椭圆.已知椭圆C：x24+y2=1的相似椭圆为Cλ：x24+y2=λ(λ>0且λ≠1)，
(1)求证：椭圆C与椭圆Cλ的离心率相等；
(2)若直线l1，l2与椭圆C均有且只有一个公共点，且l1，l2的斜率之积为−14，求证：l1，l2的交点在椭圆C的相似椭圆Cλ上；
(3)若P为椭圆C34上异于左、右顶点M，N的任意一点，直线PM与椭圆C交于A，B两点，直线PN与椭圆C交于D，E两点，求|AB|+|DE|的值．
参考答案
1.D
2.B
3.C
4.A
5.B
6.B
7.D
8.A
9.BC
10.BC
11.ABC
12.−13
13.π3
14. 7
15.解：(1)由l：(2a+3)x+(1−a)y+7+3a=0，a∈R可得a(2x−y+3)+3x+y+7=0，
由2x−y+3=03x+y+7=0解得x=−2y=−1，所以直线l恒过点A(−2,−1)．
(2)若l经过点B(0,1)，直线l：(2a+3)x+(1−a)y+7+3a=0，a∈R，
所以1−a+7+3a=0，解得a=−4，
所以直线l的方程为x−y+1=0．
16.解：(1)∵(b−c)sinC=(b+a)(sinB−sinA)，由正弦定理可得(b−c)c=(b+a)(b−a)，
可得b2−a2=bc−c2，即b2+c2−a2=bc，所以csA=b2+c2−a22bc=12．
因为A∈(0,π)，所以A=π3．
(2)因为A=π3，a=4，△ABC的面积为3 32=12bcsinA= 34bc，
所以bc=6，由(1)知b2+c2−a2=bc，可得b2+c2=22，
因为2AD=AB+AC，可得：4|AD|2=|AB|2+|AC|2+2AB⋅AC=c2+b2+2bccsA=22+2×6×12=28，
解得|AD|2=7，可得AD的长为 7．
17.解：(1)已知只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，
规定比赛成绩达到9.50m以上(含9.50m)的同学将得优秀奖，
设事件A为“甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖”，
因为比赛成绩达到9.50m以上(含9.50m)的同学将得优秀奖，
甲以往的10次比赛成绩中达到9.50m以上(含9.50m)的有9.80，9.70，9.55，9.54，共4次，
所以甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为P(A)=410=25，
(2)由(1)知，甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为P(A)=25，
设事件B为：“乙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率”，
乙以往的6次比赛成绩中达到9.50m以上(含9.50m)的有9.78，9.56，9.51，共3次，
故P(B)=36=12，
事件C为：“丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率”，
丙以往的4次比赛成绩中达到9.50m以上(含9.50m)的有9.85，9.65，共2次，
故P(C)=24=12，
则甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中恰有2人获得优秀奖的概率为：
P=P(ABC−)+P(AB−C)+P(A−BC)
=25×12×(1−12)+25×(1−12)×12+(1−25)×12×12=720．
18.解：(1)证明：因为底面四边形ABCD是正方形，
所以AC⊥BD，
因为PA⊥平面ABCD，且BD⊂平面ABCD，
所以PA⊥BD，
因为AC∩PA=A，AC，PA⊂平面PAC，
所以BD⊥平面PAC；
(2)因为PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，
所以以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
由题可得B(2,0,0)，P(0,0,3)，C(2,2,0)，E(0,2,2)，
所以BP=(−2,0,3)，PC=(2,2,−3)，CE=(−2,0,2)，
设平面BPC的法向量为n1=(x,y,z)，
则BP⋅n1=−2x+3z=0PC⋅n1=2x+2y−3z=0，令x=3，得z=2，y=0，所以n1=(3,0,2)，
设平面PCE的法向量为n2=(a,b,c)，
则PC⋅n2=2a+2b−3c=0CE⋅n2=−2a+2c=0，令a=2，得c=2，b=1，所以n2=(2,1,2)，
设二面角B−PC−E为θ，所以|csθ|=|n1⋅n2|n1|⋅|n2||=|3×2+0×1+2×2| 32+22× 22+12+22=103 13，
所以二面角A−PC−E的正弦值sinθ= 1−cs2θ= 1−1009×13= 179×13= 22139．
19.解：(1)证明：当λ>0且λ≠1时，把方程x2a2+y2b2=λ(a>b>0)表示的椭圆Cλ称为椭圆C：x2a2+y2b2=1的相似椭圆，
椭圆C：x24+y2=1的相似椭圆为Cλ：x24+y2=λ(λ>0且λ≠1)，
椭圆C：x24+y2=1的离心率为e1= 32，
Cλ：x24+y2=λ(λ>0且λ≠1)可化为x24λ+y2λ=1(λ>0且λ≠1)，
其离心率为e2= 4λ−λ2 λ= 32，
∴e1=e2，
∴椭圆C与椭圆Cλ的离心率相等．
(2)证明：直线l1，l2与椭圆C均有且只有一个公共点，且l1，l2的斜率之积为−14，
设直线l1的斜率为k1，则直线l2的斜率为−14k1,Q(x0,y0)，
直线l1的方程为：y−y0=k1(x−x0)与椭圆x24+y2=1联立得：
(1+4k12)x2+8k1(y0−kx0)x+4(y0−k1x0)2−4=0，
Δ=64k12(y0−k1x0)2−16(1+4k12)[(y0−k1x0)2−1]=0，
即：(y0−k1x0)2=1+4k1亦即：y02−2k1x0y0+k12x02=1+4k12①，
用−14k1代换①的k1得：16k12y02+8k1x0y02+x02=4+16k12②，
①式乘4+②式得：(4+16k12)y02+(1+4k12)x02=8+32k12，
两边同除1+4k2得：x28+y22=1，
即点Q在椭圆x24+y2=2上，
亦即：Q在椭圆C：x24+y2=1的相似椭圆C2上，
∴l1，l2的交点在椭圆C的相似椭圆Cλ上．
(3)P为椭圆C34上异于左、右顶点M，N的任意一点，
直线PM与椭圆C交于A，B两点，直线PN与椭圆C交于D，E两点，
椭圆C34的标准方程为：x23+y234=1，

∴M(− 3,0),N( 3,0)，
设P(x0,y0)，易知直线PM，PN的斜率均存在且不为0，
∴kPMkPN=y0x0+ 3⋅y0x0− 3=y02x02−3，
∵P(x0,y0)在椭圆C34上，∴x023+y0234=1，即y02=34−x024，
∴kPMkPN=−14．
设直线PM的斜率为k，则直线PN的斜率为−14k，
∴直线PM的方程为y=k(x+ 3)．
由y=k(x+ 3)x24+y2=1，得(1+4k2)x2+8 3k2x+12k2−4=0，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=−8 3k21+4k2,x1x2=12k2−41+4k2，
∴|AB|= 1+k2|x1−x2|= (1+k2)[(x1+x2)2−4x1x2]
= (1+k2)[(−8 3k21+4k2)2−4×12k2−41+4k2]=4(1+k2)1+4k2，
由−14k替换k可得|DE|=1+16k21+4k2，
∴|AB|+|DE|=4(1+k2)1+4k2+1+16k21+4k2=5．