山西省晋中市经纬中学校2024-2025学年高一下学期二月校考 数学试题（含解析）

这是一份山西省晋中市经纬中学校2024-2025学年高一下学期二月校考 数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1. 若集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据条件，求出集合，再利用集合的运算，即可求解.
【详解】由，得到，所以，
又，所以，得到，
故选：A.
2. 已知，则“”是“”的（ ）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】根据充分条件、必要条件概念得解.
【详解】由推不出，例如，
由可得或，当时不能推出，
例如；
所以是的既不充分又不必要条件，
故选：D
3. 已知在正六边形中，是线段上靠近的三等分点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量线性运算法则进行计算.
【详解】依题意得，
因为，
所以.
故选：C.
4. 如图，抛物线与x轴交于点，顶点坐标为，与y轴的交点在点与点之间(包含端点)，则下列结论正确的是（ ）
A. 当时，B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意和图象，判断二次函数的图象开口，对称轴和特殊点，字母范围，逐项判断各选项即可.
【详解】由题意结合图象，可知，图象对称轴为，，.
对于A，由上分析，函数图象与x轴的另一交点为 ，即点，
故时，，故A正确；
对于B，由图知，当时，，故B错误；
对于C，由可得，又，代入解得，
因，故，即C错误；
对于D，由可得，又，所以，故D错误.
故选：A．
5. 已知，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知角的余弦值及所在象限求其正弦值，进而可求
【详解】由，，知：
∴
故选：A
【点睛】本题考查了利用同角三角函数关系求正切值，根据角的余弦值及所在象限求正弦值，由同角正切与正余弦关系求正切值
6. 函数的单调减区间是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】要求函数的单调减区间，即求函数的单调增区间.根据正弦函数的单调性即可求出答案.
【详解】，要求函数的单调减区间，即求函数的单调增区间.
令，
所以.
故选：A.
7. 已知函数图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为，则（ ）
A. 0B. C. 4D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合余弦函数性质计算可得，即可得，再将代入计算即可得.
【详解】由，则，
则有，解得，
则，又，则，
故.
故选：C.
8. 设为非零向量，若，则的最大值与最小值的差为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量的性质分别求出的最大值与最小值，最后计算它们的差值即可.
【详解】因为、、为非零向量，所以、、分别是与、、同向的单位向量，即.
当、、这三个单位向量方向相同时，取得最大值.此时.
当三个单位向量两两夹角为时，根据平行四边形法则知道，所以的最小值为.
的最大值为，最小值为，它们的差为.
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 设是正整数，且，则下列各式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用分数指数幂和根式的互化以及运算律即可逐项判断.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，因是正整数，且，则，故C正确；
对于D，，故D正确.
故选：BCD.
10. 已知函数满足恒成立，且在上单调递增，则下列说法中正确的是（ ）
A.
B. 为偶函数
C 若，则
D. 将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，可以得到的图象
【答案】AB
【解析】
【分析】令，，求出的取值，再由的取值范围求出的取值范围，根据函数的单调性得到，从而求出的值，即可得到函数解析式，再根据正弦函数的性质一一判断即可.
【详解】解：因为函数满足恒成立，
所以，，解得，，
当时，，
因为函数在上单调递增，所以，解得，
综上可得，故A正确；
所以，则，
所以为偶函数，故B正确；
对于C：当时，，所以，即，故C错误；
对于D：将图象上所有点的横坐标变为原来的倍，可以得到的图象，故D错误；
故选：AB
11. 已知函数的部分图象如下图所示，则下列给论中正确的是（ ）
A.
B. 图象可由的图象向左平移个单位长度得到
C. 是函数图象的一条对称轴
D. 若，则的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用“五点法”求得的解析式，从而判断A，利用三角函数的平移规则可判断B，利用代入检验法可判断C，利用三角函数的最值性质可判断D，从而得解.
【详解】依题意可得，，
所以，又，解得，所以，
对于A：由图象知过点，即，
所以，则，
又，所以，所以，故A正确；
对于B：由的图象向左平移个单位长度
得到的图象，故B错误；
对于C：因为，
所以是函数图象的一条对称轴，故C正确；
对于D：若，
则取得最大（小）值且取最小（大）值，
所以，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量，，且，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据求得m，从而得到的坐标求解.
【详解】因为，所以，
又，，
所以，所以，
则，
所以.
故答案为：
13. 将函数，图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的图象，则________.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数的图象变换规律，求得的解析式，可得的值．
【详解】解：将函数，
图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，可得的图象，
再向右平移个单位长度得到的图象，
，且，，
解得，，函数，，
故答案为：
【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题．
14. 定义：为实数中较小似数.已知，其中均为正实数，则的最大值是__________.
【答案】##
【解析】
【分析】利用不等式放缩消元，可得，这样就化为同变量的取值分析，从而先研究出，再分析出最大值，即可.
【详解】均为正实数，，
当，即时，，即，
，
当时，取到最大值；
当时，；
综上所述，的最大值为.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 平面内给定两个向量
（1）求夹角的余弦值.
（2）求
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由向量的坐标，利用模长公式以及数量积，结合夹角余弦值，可得答案；
（2）由向量的坐标，利用线性运算以及模长公式，可得答案.
【小问1详解】
由题意可得，，
则夹角的余弦值.
【小问2详解】
由题意可得，
则.
16. 已知扇形的圆心角是，半径为，弧长为.
（1）若，，求扇形的弧长.
（2）若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
（3）若，求扇形的弧所在的弓形的面积.
【答案】（1）
（2）时，面积最大
（3）cm2.
【解析】
【分析】（1）直接利用弧长公式即可；
（2）由扇形的周长得，表示出扇形的面积，求最值即可；
（3）弓形的面积等于扇形的面积减去三角形的面积.
【小问1详解】
由，则扇形的弧长(cm).
【小问2详解】
由已知得，，则，
∴
当且仅当，即时扇形的面积最大，
此时圆心角.
【小问3详解】
设弓形面积为，由，得，
所以.
17. 设函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在上的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）由题意结合三角恒等变换可得，再由三角函数最小正周期公式即可得解；
（2）由三角恒等变换可得，再由三角函数的图象与性质即可得解.
【详解】（1）由辅助角公式得，
则，
所以该函数最小正周期;
（2）由题意，
，
由可得，
所以当即时，函数取最大值.
18. 已知函数
（1）求的单调递增区间；
（2）将的图象向左平移个单位后，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若，求的取值范围；
（3）若方程在上的解为，求．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据两角差的正弦及余弦公式化简得出，再根据正弦函数的单调增区间化简求解；
（2）先根据平移得出，再应用有解得出，最后应用正弦函数值域结合二次函数值域即可求解；
（3）应用有解结合三角函数的对称性得出，再根据计算化简求值.
【小问1详解】
由得，
所以的单调递增区间为．
【小问2详解】
图象上的所有点向左平移个单位后，得到
再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到
因为，
所以当时，
令，则
，所以当时，取得最小值，最小值为
所以，解得或，故的取值范围为．
【小问3详解】
因为为方程在上的两解，
在上的图象如图所示
因为，则．
由图可知，关于直线对称，所以，即
所以．
因为，所以
又因为，所以
所以
【点睛】关键点点睛：（2）解题的关键是把存在问题转化为，再解一元二次不等式即可.
19. 在中，角所对的边分别为.
（1）若，求的面积S；
（2）若角C的平分线与的交点为，求的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用同角三角函数的平方关系，把化成，根据正弦定理可得，在根据余弦定理，可得角，再结合余弦定理，表示出，可得的值，进而利用可求面积.
（2）根据，结合可得：，再结合基本不等式，可求的最小值.
【小问1详解】
由，
得.
由正弦定理得.
所以，
因为，所以.
在中，，
由余弦定理，
得，解得.
所以.
即的面积S为.
【小问2详解】
因为为角C平分线，，所以.
在中，，
所以，
由，得，所以.
因为，所以由基本不等式，得，
所以，当且仅当时取等号.
所以的最小值为.