广西壮族自治区河池市2024-2025学年高一上学期1月期末考试 数学 Word版含解析

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（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名､班级､准考证号填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题即可求解.
【详解】命题“”的否定是.
故选：D.
2. 已知点是角终边上的一点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用三角函数的定义即可求解.
【详解】根据三角函数的定义，可得.
故选：A.
3. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用函数在上单调递减，所以在上单调递增，即可得结论.
【详解】，在上单调递减，，故，所以，
又，在上单调递增，，故，
即，所以.
故选：A.
4. 若扇形面积为4，圆心角为2，那么该扇形的弧长为（ ）
A B. 2C. D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】由扇形的面积公式计算出半径，再由弧长公式求出即可.
【详解】由扇形的面积公式，可得，解得，
所以弧长为.
故选：D.
5. 使成立的一个充分不必要条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据充分必要条件的判定知，选项为条件，题干是结论.
【详解】对于A，取时，可知，但，故是的不充分条件，故A错误；
对于B，取，可知，但，故是的不充分条件，故B错误；
对于C，由，所以，反之不成立，故C正确；
对于D，当时，由，得，故是的不充分条件，故D错误.
故选：C.
6. 一元二次不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知可知，要一元二次不等式对一切实数恒成立，则，解不等式组可得答案
【详解】由已知可知，所以要一元二次不等式对一切实数恒成立，
则，即，解得，
所以的取值范围为.
故选：A
7. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶?（ ）（参考数据：，，）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】设经过个小时才能驾驶，则，再根据指数函数的性质及对数的运算计算可得.
【详解】设经过个小时才能驾驶，则，
即，
由于在定义域上单调递减，
∴，
∴他至少经过小时才能驾驶.
故选：C.
8. 已知函数（，），满足，将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则的取值可以为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
由，求得，进而得，再结合三角函数的性质，求得，，即可求解.
【详解】因为，即，所以，
又因为，所以，所以，
函数的图象向右平移个单位得到，
的图象关于直线对称，，，
即，，令，得.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质的综合应用，熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 与表示同一个函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】通过判断函数的定义域和解析式是否都一样得到答案.
【详解】定义域为，且.
对于A：，定义域也为，故A正确；
对于B：的定义域为，定义域不一样，故B错误；
对于C：，定义域与解析式都相同，故C正确；
对于D：的定义域为，定义域不一样，故D错误；
故选：AC.
10. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，且，则的最小值为18
B. 函数的零点为
C. 已知，则的最小值为3
D 已知函数，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用基本不等式计算可判断AC；利用零点的定义可判断C；利用整体代换法求函数解析式可判断D.
【详解】对于A. ，且，即，
，
当且仅当时取到等号，故A正确.
对于B：函数的零点是其图象与轴交点的横坐标，
即函数的零点为，故B错误.
对于C：，
当且仅当时取等号，故C正确.
对于D：由，
所以，故D正确.
故选：ACD.
11. (多选)如图，某池塘里浮萍的面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关系为y=at.关于下列说法正确的是（ ）

A. 浮萍每月的增长率为1
B. 第5个月时，浮萍面积就会超过30m2
C. 浮萍每月增加的面积都相等
D. 若浮萍蔓延到2m2，3m2，6m2所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1+t2=t3
【答案】ABD
【解析】
【分析】
由图象过(1，2)点，可得函数关系式y=2t.再由，可判断A；当t=5时，计算函数值可判断B；计算第二个月比第一个月增加量，和第三个月比第二个月增加量，比较可判断C；运用指数与对数互化得t1，t2，t3，可判断D.
【详解】图象过(1，2)点，∴2=a1，即a=2，∴y=2t.∵，∴每月的增长率为1，A正确.
当t=5时，y=25=32>30，∴B正确.
∵第二个月比第一个月增加y2-y1=22-2=2(m2)，第三个月比第二个月增加y3-y2=23-22=4(m2)≠y2-y1，∴C不正确.
∵2=，3=，6=，∴t1=lg22，t2=lg23，t3=lg26，∴t1+t2=lg22+lg23=lg26=t3，D正确.
故选：ABD.
【点睛】本题考查指数函数模型的实际应用，理解生活中的数据在数学的函数模型中的体现，属于中档题.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知幂函数经过点，则______．
【答案】
【解析】
【分析】设幂函数，根据待定系数法求出的值，由此即可求出的值.
【详解】设幂函数，所以，解得，
所以，所以.
故答案为：.
13. 在中，若，则值为__________.
【答案】2
【解析】
【分析】利用三角形内角和可求得，进而利用两角和的正切公式的变形公式可求解.
【详解】在三角形ABC中，因为，
所以
.
故答案为：.
14. 定义在上的偶函数满足对任意，有，且当时，，若函数且在上至少有个零点，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用赋值法求得的值，然后判断出函数的周期和性质，由此画出函数的图像，根据和图像的交点个数，求得的取值范围.
【详解】根据函数为偶函数，令得，即，故函数是周期为的周期函数.根据偶函数图像关于轴对称，画出函数的图像如下图所示：
当时，画出和的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像没有交点，不符合题意.
当时，画出和的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像有至少有个交点，则需，即，解得.
【点睛】本小题主要考查抽象函数的性质，考查函数的奇偶性，考查对数函数的图像与性质，考查二次函数的图像与性质，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.解题过程中首先利用赋值法求得函数的周期，由此可根据函数为偶函数画出函数图像，结合题意求得参数的取值范围.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或者演算步骤.
15. 已知集合.
（1）求；
（2）若集合，是否存在实数，使得？若存在，试求出实数的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1），
（2）存在，或3或5.
【解析】
【分析】（1）求出，再求；
（2）分类讨论求出集合，根据得，可得答案.
【小问1详解】
，
，
，
小问2详解】
存在.
，
①当时，，满足，所以；
②当时，，要满足，则，
因为，所以或5；
综上所述，或3或5.
16. 某地因地制宜，大力发展“生态水果特色种植”.经调研发现：某珍稀水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）元.已知这种水果的市场售价大约为18元/千克，且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为（单位：元）.
（1）求的函数关系式；
（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）；（2）4千克；1152元.
【解析】
【分析】（1）用销售额减去成本投入得出利润的解析式；
（2）判断的单调性，及利用基本不等式求出的最大值即可．
【详解】（1）由已知
（2）由（1）得
当时，；
当时，
当且仅当时，即时等号成立.
因为，所以当时，.
∴当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是1152元.
【点睛】方法点睛：该题考查的是有关函数的应用问题，解题方法如下：
（1）根据题意，结合利润等于收入减去支出，得到函数解析式；
（2）利用分段函数的最大值等于每段上的最大值中的较大者，结合求最值的方法得到结果.
17. 函数在区间上的最大值为6.
（1）求常数的值；
（2）求函数的单调递增区间；
（3）把函数图象上各点向右平移个单位长度得到函数，求函数的对称中心坐标.
【答案】（1）；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先根据辅助角公式化简函数的解析式，再根据正弦函数在区间上的最值即可求得常数的值；
（2）由，求解可得函数的单调递增区间；
（3）根据题意可得变换后的函数解析式为，再根据余弦函数的对称中心结合整体思想即可求解．
【小问1详解】
因为，所以，
所以，所以，
所以，
所以函数的最大值为，
所以，得；
【小问2详解】
由（1）得.
由，解得.
所以函数的单调递增区间为
【小问3详解】
由（1）得，把函数的图象上各点向右平移个单位长度得函数.
令，解得
所以，函数的对称中心坐标为.
18. 已知定义域为的函数是奇函数.
（1）求的值；
（2）判断函数在上的单调性，并证明你的结论.
（3）是否存在实数，对于任意，不等式恒成立，若存在，求出实数的取值范围，若不存在，说明理由.
【答案】（1）；
（2）为上的减函数；
（3）
【解析】
【分析】（1）因为为上的奇函数，所以，代入可求；
（2）由（1）可得，利用定义，任取，只要说明符号即可判断；
（3）由不等式恒成立，及是上的奇函数且是上的减函数，可得对恒成立．由题意可得，，结合二次函数的性质先求出的最大值，即可求的范围．
【详解】（1）因为为上的奇函数，所以，
，
；
（2）为上的减函数．
任取，
，
，，，
，
，所以为上的减函数．
（3）若不等式恒成立，
，又为上的奇函数，
所以
又为上的减函数，所以对恒成立．
即对恒成立．
，，
设，其对称轴为，
时是增函数，
所以，
所以．
【点睛】本题主要考查了奇函数的性质（定义域内有时）的应用，灵活利用该性质可以简化基本运算，函数的单调性的应用是函数基本知识的应用，而函数的恒成立与函数的奇偶性、单调性的综合应用是解决抽象不等式（或恒成立）问题中最为常用的工具．
19. 已知函数的图象过点.
（1）求函数的解析式；
（2）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（3）设，若对于任意，都有，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）函数为奇函数，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由已知求得，代入即可得；
（2）函数为奇函数，利用奇函数的定义即可证明.
（3）由题意可得，进而得的最大值可能是或，作差法可得，结合题意可得，令hm=m2−2m+lnm−1m>1，进而求解可求得的取值范围.
【小问1详解】
函数的图象过点
所以，解得
所以函数的解析式为.
【小问2详解】
判断：函数为奇函数.
理由如下：由（1）知，，
.
由，解得函数的定义域为
定义域关于原点对称
函数为奇函数.
【小问3详解】
因为且，所以且，
因为，
所以的最大值可能是或，
因为
=m−1mm+1m−2=m−1m⋅(m−1)2m>0
所以，
所以对于任意，都有成立，
只需，即，
设hm=m2−2m+lnm−1m>1，易知在上单调递增，且，
，即，所以，
所以的取值范围是
【点睛】关键点点睛：对于函数不等式恒成立问题，常常通过构造函数，通过求得函数的最值解决问题.