陕西省咸阳市2024−2025学年高二上学期期末数学试题

这是一份陕西省咸阳市2024−2025学年高二上学期期末数学试题，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．在等差数列中，，则（ ）
A．8B．7C．6D．5
3．若抛物线上一点到焦点的距离与到轴的距离之差为1，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．已知双曲线经过点，离心率为，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．已知圆与圆交于、两点，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知点，平面，其中向量，则点到平面的距离是（ ）
A．B．C．2D．3
7．如图，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
8．高阶等差数列是数列逐项差数之差或高次差相等的数列，南宋数学家杨辉在《详解九章算法·商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍蔓垛等的求和都与高阶等差数列有关．如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，⋯，则第8层小球的个数为（ ）
A．35B．36C．46D．49
二、多选题（本大题共3小题）
9．设两条不重合的直线，的方向向量分别为，，两个不重合的平面，的法向量分别为，，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，使得，则
10．设公比为的等比数列的前项和为，若数列满足，且，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
11．双曲线具有如下光学性质：如图，分别为双曲线的左，右焦点，从右焦点发出的光线交双曲线右支于点，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过左焦点．若双曲线的方程为，则（ ）
A．
B．双曲线的右焦点到渐近线的距离为21
C．当反射光线过点时，光线由所经过的路程为6
D．设反射光线所在直线的斜率为，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知直线，的方向向量分别是，，若，则 ．
13．设各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则 ．
14．已知两点，和圆，则直线与圆的位置关系为 .若点在圆上，且，则满足条件的点共有 个.
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知直线和直线．
(1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求实数的值；
(2)若，求直线与之间的距离．
16．已知半径为2的圆的圆心在射线上，点在圆上．
(1)求圆的标准方程；
(2)过点作圆的切线，求切线的方程．
17．如图，在四棱锥中，平面，，，，，为棱上的点，满足.请先建立适当的空间直角坐标系，然后解答下列问题.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
18．已知椭圆的焦点为，为椭圆上一点，且的周长为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若过点的直线交椭圆于，两点，且线段的垂直平分线与轴的交点为，求直线的方程．
19．已知数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求；
(3)在（2）的条件下，若对任意恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1．【答案】A
【详解】直线的斜率为，
设倾斜角为，，
所以，所以.
故选：A.
2．【答案】C
【详解】根据题意，，
所以.
故选：C
3．【答案】B
【详解】设，根据抛物线定义可知，，
又点到焦点的距离与到轴的距离之差为1，
则，解得.
故选：B
4．【答案】D
【详解】因为双曲线经过点，所以双曲线经的焦点在轴上，
且，又因为离心率为，
即，解得：，
又因为，所以双曲线的标准方程为.
故选：D.
5．【答案】A
【详解】圆即，圆心，半径；
圆即，圆心，半径，
因为，则，所以两圆相交，
则两圆的公共弦方程为，
则到的距离，
所以.
故选：A
6．【答案】A
【详解】由题意可得：，
所以点到平面的距离是：
.
故选：A.
7．【答案】D
【详解】记，则，
所以，
由于，故
，
故.
故选：D.
8．【答案】B
【详解】记第层有个球，则，，，，
结合高阶等差数列的概念知，，，……，，
则第8层的小球个数为
.
故选：B.
9．【答案】ACD
【详解】对于A，若，则，，A正确；
对于B，，则或，B错误；
对于C，若，则，，C正确；
对于D，，使得，则，而平面不重合，因此，D正确.
故选：ACD
10．【答案】BC
【详解】对于B，当时，，，又，，
或；
当时，，，与矛盾，，B正确；
对于A，，A错误；
对于C，，，，，即，C正确；
对于D，，又，，D错误.
故选：BC.
11．【答案】ACD
【详解】对于双曲线，根据双曲线的标准方程（，），其中为双曲线的实半轴长，为双曲线的虚半轴长.可得，则.
由双曲线的定义：对于双曲线右支上的点，有，所以，选项A正确.
由双曲线可得，，则，右焦点.
双曲线的渐近线方程为，即.
右焦点到渐近线的距离，选项B错误.
由双曲线定义知，即.
光线由所经过的路程为.
当，，三点共线时，取得最小值，，，
根据两点间距离公式，可得.
所以光线由所经过的路程为，选项C正确.
设左、右顶点分别为A、B.如图示：
双曲线的渐近线斜率为.
当与同向共线时，的方向为，此时，最小.
因为P在双曲线右支上，所以n所在直线的斜率为.
则斜率满足，选项D正确.
故选：ACD.
12．【答案】18
【详解】因为，所以，
所以，解得：，
所以.
故答案为：.
13．【答案】21
【详解】因为是各项均为正数的等比数列，
所以成等比数列，所以，
解得：.
故答案为：.
14．【答案】 相交 4
【详解】由题得，所以直线的方程为，
所以直线的方程为，
由可知，圆的圆心为，半径为，
又圆心到直线的距离，

所以直线与圆相交，
又，
设点到直线的距离为，则，
解得，
又圆心到直线的距离为，圆的半径为，
所以圆上有个满足条件的点.
故答案为：相交；.
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意可知，
直线在轴的截距为，在轴的截距为，
则，解得．
（2）若，则，得，
此时直线，即，
又直线，
∴直线与之间的距离．
16．【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）由题可设圆心的坐标为，，
∵圆的半径为2，点在圆上，
∴，解得（舍去），
故圆的标准方程为．
（2）由题知，切线的斜率存在，
设切线的方程为，即，
由题意得，解得或，
∴切线的方程为或．
17．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，
因为，所以，，
因为，平面，所以平面.
（2）设平面的法向量为，由（1）知，
设平面的法向量为，
由（1）可得，，，
所以，设，得，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
18．【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）∵椭圆的焦点为，，且的周长为，
∴，解得，，
∴椭圆的方程为．
（2）若直线的斜率不存在，
此时线段的垂直平分线与轴重合，不符合题意；
设直线的方程为，，，线段的中点为，
联立，消去并整理得，
此时，
由韦达定理得，，
∴，，
∵，即，解得，
∴直线的方程为，即或．
19．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由，两边同时除以，
可得，即，
又，∴数列是首项、公差均为的等差数列，
由等差数列的通项公式可得，
∴．
（2）由，
可得，
∴，
∴．
（3）由对任意恒成立，
得，整理得恒成立，
令，则，
当时，，当时，，当时，，
∴，即的最小值为，
综上，，即实数的取值范围是．