陕西省西安市长安区第一中学2024-2025学年高一上学期第二次月考数学试题（解析版）

这是一份陕西省西安市长安区第一中学2024-2025学年高一上学期第二次月考数学试题（解析版），共19页。试卷主要包含了 已知全集，集合，，则， 已知函数，设，则的大小关系是，268B， 下列命题为真命题的是等内容，欢迎下载使用。
时间：120分钟 分值：150分 命题人：张政政 审题人：益利敏
一､单选题：本题共8小题，每小题5分共40分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先将集合、化简，然后再利用交集、补集的概念求解．
【详解】解：∵，
，，
∴，∴，
故选：.
【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.
2. 小明､小红两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小明每次购买3千克葡萄，小红每次购买50元葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则（ ）
A. 小明两次购买葡萄的平均价格比小红低
B. 小红两次购买葡萄的平均价格比小明低
C. 小红与小明两次购买葡萄的平均价格一样
D. 两次购买葡萄的平均价格无法比较
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意计算出两人两次购买葡萄的平均价格，再用均值不等式来比较大小即可.
【详解】设两次葡萄的单价分别为元/千克和元/千克，且，
则小明两次购买3千克葡萄，平均价格为元/千克，
小红两次购买50元葡萄，平均价格为元/千克，
根据均值不等式有：，
由于，可知：，
所以有小红两次购买葡萄的平均价格比小明低，
故选：B.
3. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的表达式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用函数奇偶性求对称区域解析式，再利用绝对值的意义，把分段函数又写成含绝对值的函数即可.
【详解】当时，，即有，
再由是定义在上的奇函数，所以，
即有，
所以当时，，
当时，，
综上可得：，
故选：C.
4. 设，则关于的不等式有解的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. 或
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数的判别式求解二次不等式有解的充要条件，然后再分析充分条件是一个子集，从而作出判断.
【详解】由有解，可知：，解得，
由关于的不等式有解的一个充分不必要条件是的子集，
所以在四个选项中只有满足，
故选：A.
5. 已知函数，设，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先判断函数的单调性，然后比较大小即可.
【详解】显然单调递增，
，
故
所以
故选：B
6. 溶液的酸碱度是用来衡量溶液酸碱性强弱程度的一个指标，在化学中，常用值来表示溶液的酸碱度．的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．已知A溶液中氢离子的浓度是0.135摩尔/升，则A溶液的值约为（参考数据：，）
A. 0.268B. 0.87C. 1.13D. 1.87
【答案】B
【解析】
【分析】由的计算公式及对数的基本运算求解即可.
【详解】解：由题意得
.
.
故选：B
7. 若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.
【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，
所以在上也是单调递减，且，，
所以当时，，当时，，
所以由可得：
或或
解得或，
所以满足的的取值范围是，
故选：D.
【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.
8. 已知，若方程恰好有三个互不相等的实根，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】作出图象，令，则结合图象将问题转化为方程有两个不同的实根，且，或方程有两个相等的根，从而可求出实数的取值范围.
【详解】，
当时，的对称轴为，则单调增区间为，减区间为，
当时，的对称轴为，则单调增区间为，减区间为，
的图象如图所示，
令，则可化为，
要使方程恰好有三个互不相等的实根，
则方程有两个不同的实根，且，或方程有两个相等的根，
令，
当时，，解得，
当时，，得，
综上，或，
故选：D
【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合问题，解题的关键是作出函数图象，结合图象求解，考查数学转化思想和数形结合的思想，属于较难题.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题自要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题为真命题的是（ ）
A. “”的否定是“”
B. 若，则
C. 的最小值为
D. 若正数满足，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据存在量词命题（特称命题）的否定即可判断A；根据集合间的包含关系可得，进而求解即可判断B；由，令，结合对勾函数的单调性求解即可判断C；根据基本不等式即可求解判断D.
【详解】对于A，“”的否定是“”，故A正确；
对于B，令，解得或2，
当时，，不满足元素的互异性，不符合题意，
当时，，满足题意.
综上所述，，故B正确；
对于C，由，
令，则，
因为函数在上单调递增，
则时，取得最小值为，
即的最小值为，故C错误；
对于D，由，，，
则，
当且仅当，即时，等号成立，故D正确.
故选：ABD.
10. 已知函数，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，进而判断各选项即可.
【详解】函数的定义域为，
而，则函数为奇函数，
又函数在上单调递增，
所以函数在上单调递增，
由，则，所以，
即，，故AC正确，BD错误.
故选：AC.
11. 已知函数，，，，下列选项中正确的有（ ）
A. 函数、、都是偶函数
B. 若且，则
C. 若且，则+=1
D. 若，则
【答案】CD
【解析】
【分析】首先求出、、的解析式，再对各选项一一计算即可判断；
【详解】因为，，，，
所以，，，
所以的定义域为，不关于原点对称，故不具有奇偶性，故A错误；
当时，，即，即，
同理可得，所以，
当时，，故B错误；
当，即，
所以或，解得，（且），
，故C正确；
设，
因为，
所以，当时，则，，，，
所以，，，则
当时，同理可知，，故D正确.
故选：CD.
【点睛】关键点点睛：解决本题D选项的关键在于，解出、、、的值进行求解.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 化简式子的值为__________.
【答案】##1.25
【解析】
【分析】根据指数幂的运算性质和对数的运算性质求解即可.
详解】
.
故答案为：.
13. 有同学在研究函数的奇偶性时发现，命题“函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数”可推广为：“函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数”.据此，对于函数，可以判定：（1）函数的对称中心是_____；
（2）______．
【答案】 ①. ②. 3033
【解析】
【分析】根据函数解析式，得到，令，判断其是奇函数，结合题中条件，即可得出结果；由解析式，先得到，推出所求式子等价于，即可得出结果.
【详解】由得，
令，则，
即为奇函数；由题中命题可得，函数的对称中心是；
由得，
则；
所以.
故答案为：；3033.
14. 已知函数，若，使得，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用单调函数来求值域，再利用等式恒成立来研究值域的包含关系，从而可求参数范围.
【详解】由在区间单调递增，可知此时函数值域为，
再由，
当时，可知在区间上单调递增，所以此时函数值域为，
因为，使得，
所以有，
即，解得，
由于此时，所以有，
当时，可知在区间上单调递减，所以此时函数值域为，
因为，使得，
所以有，
即，解得，
由于此时，所以有，
当时，可知，
因为，所以对，总能使得，
即，满足题意，
综上所述可得：的取值范围是.
故答案为：.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知全集，集合，集合，集合.
（1）求；
（2）若，求实数m的取值范围
【答案】（1）或；；
（2）或．
【解析】
【分析】（1）解不等式确定集合．再由并集定义计算；
（2）由，得，根据包含关系按是否为空集分类讨论求解．
【小问1详解】
，
或．
∴或；
【小问2详解】
由，得，
，即时，，满足题意，
时，或，得或 ，即或，
综上，或．
16. 已知函数.
（1）若对任意，都有，则的解析式；
（2）若函数在区间上不单调，求实数的取值范围；
（3）若，求最小值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据条件列出等量关系，由此求解出的值，则解析式可知；
（2）根据区间与对称轴的关系列出不等式，由此求解出的取值范围；
（3）分析对称轴与区间的关系，结合二次函数的单调性求解出.
【小问1详解】
因为，
所以，
化简得，且不恒为，
所以，所以，
所以；
【小问2详解】
因为的对称轴为，又在区间上不单调，
所以，所以，
所以的取值范围为；
【小问3详解】
的对称轴为，
当时，即时，在上单调递增，所以；
当时，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以；
当时，即时，在上单调递减，所以，
综上可知，.
17. 某科研机构对某病毒的变异毒株在特定环境下进行观测，每隔单位时间T进行一次记录，用x表示经过单位时间的个数，用y表示此变异毒株的数量，单位为万个，得到如下观测数据：
若该变异毒株的数量y（单位：万个）与经过x（）个单位时间T的关系有两个函数模型（）与（，）可供选择.
（1）判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；
（2）求至少经过多少个时间单位，该变异毒株的数量不少于一亿个.
（参考数据：，，，）
【答案】（1）（，）更合适，
（2）11
【解析】
【分析】（1）将和分别代入两种模型求解析式，再根据的值，即可判断.
（2）设至少需要x个单位时间，则令，解出不等式即可判断.
【小问1详解】
若选（），
将和代入可得，解得
所以，将代入，得；
若选（，），
将和代入可得，解得
所以，将代入，得；
所以选择（，）更合适，解析式为.
【小问2详解】
设至少需要x个单位时间，则令，即
两边同时取常用对数可得，
则.
，所以x的最小值为11.
故至少经过11个单位时间该病毒的数量不少于1亿个.
18. 设定义在上的奇函数且，
（1）求的值
（2）已知，函数，，求的值域；
（3）若，，对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用奇函数的性质求解参数即可.
（2）对给定函数合理变形，将其利用换元法变为二次函数，利用二次函数的性质求解值域即可.
（3）利用题意结合函数的奇偶性与单调性将问题转化为绝对值不等式恒成立问题，再利用同时平方法化为一元二次不等式恒成立问题，求解参数范围即可.
【小问1详解】
是定义域为上奇函数，
，得到，解得，
经检验，满足题意，即的值为.
【小问2详解】
，，即，
或舍去，
，
令，由指数函数性质得在上为增函数，
，，
由二次函数性质得当时，，
而，，的值域是，
故的值域是.
【小问3详解】
由于，，
因为是奇函数，所以，
故，且定义域关于原点对称，可得是偶函数，
由指数函数性质得在上单调递增，在上单调递减，
又，，
对任意恒成立，
即对任意恒成立，
左右同时平方得对恒成立.
，
解得，综上可得取值范围是.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数，解题关键是利用函数的奇偶性和单调性对给定不等式化简，然后将其化为一元二次不等式恒成立问题，再得到所要求的参数范围即可.
19. 若函数与区间同时满足：①区间为的定义域的子集，②对任意，存在常数，使得成立，则称是区间上的有界函数，其中称为的一个上界.（注：涉及复合函数单调性求最值可直接使用单调性，不需要证明）
（1）试判断函数，是否为上的有界函数？并说明理由.
（2）已知函数是区间上的有界函数，设在区间上的上界为，求的取值范围；
（3）若函数，问：在区间上是否存在上界？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）不是上的有界函数，是上的有界函数
（2）
（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据有界函数的定义，分别计算出及的值域即可判断；
（2）先求解函数的值域，进而求解的取值范围，再根据有界函数的定义确定上界M的取值范围；
（3）先求解函数及，再根据有界函数的定义，讨论m取不同数值时，函数是否存在上界，并求解出对应的上界范围.
【小问1详解】
，的值域为
不是上的有界函数；
，则，
当时，，
当时，，当且仅当时，等号成立，
则，
当时，，
当且仅当时，等号成立，
则，
综上可得，，
即有在上恒成立，
是上的有界函数；
【小问2详解】
，易知在区间上单调递增，
∴，∴，
所以上界构成的集合为；
【小问3详解】
，
当时，，，此时的取值范围是，
当时，在上是单调递减函数，
其值域为，故，
此时的取值范围是，
当时，，若在上是有界函数，
则区间为定义域的子集，所以不包含0，
所以或，解得：或，
时，在上是单调递增函数，
此时的值域为，
①，即或时，
，此时的取值范围是，
②，即时，
，此时的取值范围是，
综上：当时，存在上界，；
当或时，存在上界，；
当时，存在上界，，
当时，此时不存在上界．
【点睛】关键点点睛，本题关键点在于求出所给函数在对应定义域范围内的值域，从而可结合定义，得到该函数是否为有界函数.
X（T）
1
2
3
4
5
6
…
Y（万个）
…
10
…
50
…
250
…