贵州省毕节梁才学校等2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题

这是一份贵州省毕节梁才学校等2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合P={-1,0,1,2}，Q=[0,2]，则P∩Q=( )
A. [0,2]B. {0,1,2}C. {1,2}D. {1}
2.已知z=2-3i，则z的虚部是( )
A. 3B. 3iC. -3D. 2
3.在等比数列{an}中，a2=-1，a5=4，则公比q=( )
A. -2B. -12C. -413D. 4-13
4.已知角α满足csα=19，则cs2α=( )
A. 79B. -79C. 7981D. -7981
5.已知向量a，b满足|a|=6，|b|=12，a与b的夹角为π3，则b在a方向上的投影向量为( )
A. 2aB. aC. 12aD. 4a
6.已知点M(1,1)在直线4mx-y+n=0(m>0,n>0)上，则4m+1n的最小值为( )
A. 52B. 5C. 25D. 254
7.已知抛物线C:y2=32x的焦点为F，点H(4,2)，P是抛物线C上的一个动点，则|PF|+|PH|的最小值为( )
A. 8B. 12C. 10D. 16
8.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)+f(x)=0，f(-x+1)=-f(x+1)，f12=1，则f12+f32+f52+⋯+f292=( )
A. -1B. 1C. 2D. 0
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知曲线C:x29+y2m=1的两个焦点为F1，F2，P为曲线C上不与F1，F2共线的点，则下列说法正确的是( )
A. 若m=1，则|PF1|+|PF2|=6B. 若m=-1，则||PF1|-|PF2||=6
C. 若m=8，则▵PF1F2的周长为7D. 若m=-8，则C的离心率为 173
10.已知圆C:x2+y2+6x+4y+9=0与直线l:3x+4y-3=0，点P在圆C上，点Q在直线l上，则( )
A. 圆C的半径为4B. 圆心C到直线l的距离为4
C. |PQ|min=2D. |PQ|max=8
11.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，E为A1D1的中点，动点P在长方体ABCD-A1B1C1D1内(含表面)，且满足AP=λAC+μAE，记动点P的轨迹为Ω，则( )
A. Ω的面积为3 338
B. 平面A1BC1与Ω所在平面平行
C. 当λ=12时，存在点P，使得A1P⊥BD1
D. 当μ=1时，三棱锥P-ABC的体积为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数fx=x2+m-1x是偶函数，则m=
13.《九章算术·商功》中将正四面形棱台(即正四棱台)建筑物称为方亭．现有一方亭ABCD-A1B1C1D1，已知AB=1，且该方亭的高为6，体积为26，则A1B1= ．
14.已知函数f(x)=sin2ωx- 3cs2ωx(ω>0).若方程f(x)=0在区间0,π4内无解，则ω的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
在▵ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin2A=sinA．
(1)求角A的大小；
(2)已知a= 19，c=3，求▵ABC的面积．
16.(本小题12分)
为了了解高二年级学生的数学学习情况，某学校对高二年级学生的日均数学自主学习时间进行了调查，随机抽取200名学生的日均数学自主学习时间(单位：分钟)作为样本，经统计发现这200名学生的日均数学自主学习时间均在[45,105]内，绘制的频率分布表如下表所示：
(1)试估计这200名学生的日均数学自主学习时间的平均数(同一组数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)试估计这200名学生的日均数学自主学习时间的第30百分位数；
(3)现采用分层随机抽样从日均数学自主学习时间在[85,95)与[95,105]内的学生中抽取5名学生进行个案分析，再从这被抽取的5名学生中随机抽取3名学生提供个性化指导方案，求被抽取的3名学生中至少有2名学生的日均数学自主学习时间在[85,95)内的概率．
17.(本小题12分)
如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD满足AB⊥AD，AB⊥BC，SA⊥底面ABCD，且SA=AB=BC=1，AD=12．
(1)证明：平面SAB⊥平面SBC．
(2)求平面SCD与平面SAB夹角的余弦值．
18.(本小题12分)
已知公差为2的等差数列{an}满足a1+a2+a3=27，数列{bn}满足b1=1，bn+1=2bn+1．
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式．
(2)设cn=an(bn+1)，数列{cn}的前n项和为Tn．
(ⅰ)求Tn；
(ⅱ)若不等式Tn-λ⋅2n≥0对任意的n∈N*恒成立，求λ的最大值．
19.(本小题12分)
在平面直角坐标系xOy中，对于任意一点P(x,y)，总存在一点Qx',y'满足关系式φ:x'=λxy'=μy(λ>0,μ>0)，则称φ为平面直角坐标系中的伸缩变换．
(1)在同一直角坐标系中，求平面直角坐标系中的伸缩变换φ1，使得圆x2+y2=1变换为椭圆9x2+4y2=1．
(2)在同一直角坐标系中，椭圆x216+y2=1经平面直角坐标系中的伸缩变换φ:x'=12xy'=3y得到曲线C．
①求曲线C的方程；
②已知A(-2,0)，B(-2,3)，过点B的直线交C于E，F两点，直线AE，AF与y轴的交点分别为P，Q，证明：线段PQ的中点为定点．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】因为P={-1,0,1,2}，Q=[0,2]，
所以P∩Q={0,1,2}．
故选：B．
2.【答案】A
【解析】因为z=2-3i，所以z=2+3i，
所以z的虚部是3．
故选：A．
3.【答案】C
【解析】因为a2=-1，a5=4，
所以a5=a2q3，即4=-q3，
解得q=3-4=-413．
故选：C．
4.【答案】D
【解析】因为csα=19，
所以cs2α=2cs2α-1=2×192-1=-7981．
故选：D．
5.【答案】B
【解析】因为|a|=6，|b|=12，a与b的夹角为π3，
所以a⋅b=a⋅bcsπ3=6×12×12=36，
所以b在a方向上的投影向量为a⋅ba2a=3662a=a．
故选：B．
6.【答案】C
【解析】因为点M(1,1)在直线4mx-y+n=0(m>0,n>0) 上，
所以4m-1+n=0，即4m+n=1，
所以4m+1n=4m+1n4m+n=16+4nm+4mn+1
≥17+2 4nm⋅4mn=25，当且仅当4nm=4mn，即m=n=15时取等号．
故选：C．
7.【答案】B
【解析】抛物线C:y2=32x的焦点为F8,0，准线方程为x=-8，
过点P作PD垂直于准线，交准线于点D，则PD=PF，
所以PF+PH=PD+PH≥DH=4--8=12，
当且仅当H、P、D三点共线时取等号，
所以|PF|+|PH|的最小值为12．
故选：B
8.【答案】A
【解析】由f(x+2)+f(x)=0，可得f(x+2)=-f(x)，
所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，
所以4为函数f(x)的一个周期，
又因为f(-x+1)=-f(x+1)，
令x=12，得f32=f12+1=-f-12+1=-f12=-1，
令x=12，得f(52)=f(12+2)=-f(12)=-1，
令x=32，得f(72)=f(32+2)=-f(32)=1，
所以f12+f32+f52+f72=0，
所以f12+f32+f52+⋯+f292=f12+f32+f52=-1．
故选：A．
9.【答案】ABD
【解析】对于A：当m=1，则曲线C:x29+y2=1，表示焦点在x轴上的椭圆，
则|PF1|+|PF2|=6，故 A正确；
对于B：当m=-1，则曲线C:x29-y2=1，表示焦点在x轴上的双曲线，
则||PF1|-|PF2||=6，故 B正确；
对于C：当m=8，则曲线C:x29+y28=1，表示焦点在x轴上的椭圆，
则|PF1|+|PF2|=6，又|F1F2|=2× 9-8=2，
所以△PF1F2的周长PF1+PF2+F1F2=8，故 C错误；
对于D：当m=-8，则曲线C:x29-y28=1，表示焦点在x轴上的双曲线，
则a=3，c= 9+8= 17，所以C的离心率e=ca= 173，故 D正确．
故选：ABD．
10.【答案】BC
【解析】圆C:x2+y2+6x+4y+9=0的标准方程为：x+32+y+22=4，
故圆C的半径为2，故A错误；
因为圆心C(-3,-2)，
则圆心到直线l的距离为d=3×-3+4×-2-35=4，故 B正确；
|PQ|min=d-r=2，无最大值，故 C正确，D错误；
故选：BC．
11.【答案】ACD
【解析】因为AP=λAC+μAE，所以P在AC,AE确定的平面内，
又AC∩AE=A，取D1C1的中点F，连接EF,FC，
则四边形ACFE为动点P的轨迹Ω，
因为长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，
所以AC= 2,EF= 22，AE= 172，
进而可求得等腰梯形ACFE的高为 1722- 242= 332 2，
所以梯形的面积为 2+ 22× 332 2×12=3 338，故 A正确；
连接AD1,CD1，因为D1C1=DC=AB且D1C1//DC//AB，
所以四边形D1C1BA是平行四边形，所以AD1/​/BC1，
因为AD1⊂平面AD1C，BC1⊄平面AD1C，所以BC1/​/平面AD1C，
同理可证BA1//平面AD1C，又BC1∩BA1=B，BC1,BA1⊂平面BA1C1，
所以平面BA1C1//平面AD1C，又平面ACFE∩平面AD1C=AC，
所以平面A1BC1与Ω所在平面不平行，故B错误；
以D为坐标原点，DA,DC,DD1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，
则A(1,0,0),A1(1,0,2),B(1,1,0),D1(0,0,2),E(12,0,2),C(0,1,0)，
所以AC=(-1,1,0),AE=(-12,0,2),BD1=(-1,-1,2)，
当λ=12，则AP=12AC+μAE=-12,12,0+μ-12,0,2=-12μ-12,12,2μ，
所以A1P=A1A+AP=(0,0,-2)+-12μ-12,12,2μ=-12μ-12,12,2μ-2，
假设A1P⊥BD1，则A1P·BD1=0，
即12μ+12-12+4μ-4=0，解得μ=89，
所以当λ=12时，存在点P，使得A1P⊥BD1，故 C正确；
当μ=1时，点P在EF上，则点P到平面ABC的距离为定值，
又三角形ABC的面积为定值，
所以三棱锥P-ABC的体积为定值，故 D正确．
故选：ACD．
12.【答案】1
【解析】函数fx=x2+m-1x的定义域为R
若函数fx=x2+m-1x是偶函数，
则f-x=fx，
又f-x=x2-m-1x，
则m-1=-m-1，解得m=1。
故答案为：1．
13.【答案】3
【解析】依题意可得VABCD-A1B1C1D1=13AB2+A1B12+AB⋅A1B1 h，
即13×(12+A1B12+A1B1 )×6=26，
即A1B12+A1B1 -12=0，
解得A1B1 =3或A1B1 =-4(舍去)．
故答案为：3
14.【答案】0,23
【解析】因为f(x)=sin2ωx- 3cs2ωx=212sin2ωx- 32cs2ωx=2sin2ωx-π3ω>0，
令2ωx-π3=kπ,k∈Z，解得x=π6ω+kπ2ω,k∈Z，
所以fx的零点分别为，⋯，-π3ω，π6ω，2π3ω，⋯，
因为方程f(x)=0在区间0,π4内无解，
所以π6ω≥π4ω>0，解得00)代入9x'2+4y'2=1，
得到9λ1x2+4μ1y2=1，
将上式与x2+y2=1比较，得9λ12=1,4μ12=1，
解得λ1=13，μ1=12，
所以所求的伸缩变换φ1为x'=13xy'=12y；
(2)由φ:x'=12xy'=3y，可得x=2x'y=13y',
代入x216+y2=1，可得2x'216+13y'2=1，
则x'24+y'29=1，
所以曲线C的方程为x24+y29=1；
②证明：由题意可知，直线EF的斜率存在，
设EF的方程为y=k(x+2)+3，Ex1,y1，Fx2,y2，
联立方程y=kx+2+3y29+x24=1,
消去y得4k2+9x2+8k(2k+3)x+16k2+3k=0，
则Δ=64k22k+32-644k2+9k2+3k=-1728k>0，
解得k