福建省福州第三中学2024−2025学年高三下学期第十一次质量检测数学试题

这是一份福建省福州第三中学2024−2025学年高三下学期第十一次质量检测数学试题，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，则的真子集个数为（ ）
A．3个B．6个C．7个D．8个
2．在复平面内，复数z对应的点Z在第二象限，则复数对应的点所在象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．某考生参加某高校的综合评价招生并成功通过了初试，在面试阶段中，8位老师根据考生表现给出得分，分数由低到高依次为：76，a，b，80，80，81，84，85，若这组数据的下四分位数为77，则该名考生的面试平均得分为（ ）
A．79B．80C．81D．82
4．已知等比数列的前n项和为，且，，成等差数列，则（ ）
A．B．C．1D．2
5．已知能被9整除，则整数的值可以是（ ）
A．B．C．9D．13
6．如图所示，两动点在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上从点处同时出发做匀速圆周运动．已知点按逆时针方向每秒钟转弧度，点按顺时针方向每秒钟转弧度，且两点在第2秒末第一次相遇于点处，则它们从出发后到第2次相遇时，点走过的总路程为（ ）
A．B．C．D．
7．若单位向量满足，向量满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．函数是定义在上的偶函数，且当时，.若对任意的，均有，则实数的最大值是（ ）
A．B．C．0D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．函数的图象与轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列结论正确的是（ ）
A．为奇函数
B．的图象关于直线对称
C．在区间上单调递增
D．函数在区间上的值域为
10．如图，棱长为2的正方体中，E，F分别是的中点，点P为底面ABCD内（包括边界）的动点，则下列说法正确的是（ ）

A．过B，E，F三点的平面截正方体所得截面图形是梯形
B．存在点P，使得平面
C．若点P到直线BB1与到直线AD的距离相等，则点P的轨迹为抛物线的一部分
D．若直线D1P与平面BEF无公共点，则点P的轨迹长度为
11．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．在中，内角，的对边分别为是的角平分线，交于点，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A．为“倍长三角形”
B．若，则面积的最大值为
C．若，则为锐角
D．若，当时，则的最小值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．在正四棱台中，，，，则该棱台的体积为 ．
13．已知双曲线的渐近线与圆有公共点，则双曲线离心率的取值范围为 ．
14．设函数，．若函数有两个零点，，则满足条件的最小正整数的值为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知数列满足，当时，．
(1)证明数列是等差数列，并求的通项公式；
(2)证明：．
16．如图，已知四边形是矩形，平面，且，M、N是线段、上的点，满足.
(1)若，求证：直线平面；
(2)是否存在实数，使直线同时垂直于直线，直线？如果有请求出的值，否则请说明理由.
17．如图，已知椭圆：经过点，离心率．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设是经过右焦点的任一弦（不经过点），直线与直线：相交于点，记，，的斜率分别为，，，求证：，，成等差数列．
18．已知函数.
(1)讨论函数的极值点个数；
(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围.
19．4月19日是中国传统二十四节气之一的“谷雨”，联合国将这天定为“联合国中文日”，以纪念“中华文字始祖”仓颉[jié]造字的贡献，旨在庆祝多种语言以及文化多样性，促进联合国六种官方语言平等使用．某大学面向在校留学生举办中文知识竞赛，每位留学生随机抽取问题并依次作答，其中每个问题的回答相互独立．若答对一题记2分，答错一题记1分，已知甲留学生答对每个问题的概率为，答错的概率为．
(1)甲留学生随机抽取题，记总得分为，求的分布列与数学期望；
(2)（ⅰ）若甲留学生随机抽取道题，记总得分恰为分的概率为，求数列的前项和；
（ⅱ）记甲留学生已答过的题累计得分恰为分的概率为，求数列的通项公式．
参考答案
1．【答案】C
【详解】集合是坐标平面内，以原点为圆心，2为半径的圆上的点的集合，
集合是坐标平面内，函数图象上的点的集合，
在同一坐标系内作出圆及函数的部分图象，如图：
观察图象知，圆及函数的图象有3个公共点，
所以有3个元素，共有个真子集．
故选：C
2．【答案】A
【详解】由在复平面内，复数z对应的点Z在第二象限，设，
则，显然，
所以点在第一象限，A正确.
故选：A
3．【答案】B
【详解】由题意知，下四分位数为第二个数与第三个数的平均数，即，
解之得，
所以该名考生面试的平均得分为.
故选：B.
4．【答案】A
【详解】因为等比数列的前n项和为，且，，成等差数列，
所以，
设等比数列的公比为q，
由题意知，，
所以，
化简，得，解得或舍去，
所以
故选：
5．【答案】B
【详解】因为
，
又能被整除，
所以能被整除，
由选项知当时符合，当，或时均不符合.
故选：B．
6．【答案】C
【详解】根据题意，设经过秒，第二次相遇.
点对应的圆心角为，则有，
则.
则由，解可得，
所以第二次相遇时，走过的总路程为．
故选：C
7．【答案】D
【详解】令，依题意，，，
以点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，则，
令，由，得C在以为直径的圆上，该圆的方程为，
设，即，
则
，
所以的最小值为.
故选：D
8．【答案】A
【详解】∵是定义在上的偶函数，且当时，，
∴，当时为增函数，
∴，
则等价于，
即，即对任意恒成立，
设，
则有，解得，
又∵，∴.
故选：A.
9．【答案】ABC
【详解】设的最小正周期为，
由题意可知：，即，
且，则，可得，，
所以.
对于选项A：为奇函数，故A正确；
对于选项B：因为为最小值，
所以的图象关于直线对称，故B正确；
对于选项C：因为，则，
且在内单调递增，所以在区间上单调递增，故C正确；
对于选项D：因为，
且，则，可得，
所以，故D错误；
故选：ABC.
10．【答案】AC
【详解】对于A，连接，，分别是棱，的中点，则，
且，又，则，且，
因此过，，三点的平面截正方体所得截面为梯形，A正确；

以点为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，

则，设点，其中，
，，
设平面的法向量为，则，取，得，
对于B, ，若存在点，使得平面，则，
于是，即，无解，因此不存在点，使得平面，B错误；
对于C，平面平面，则，
若点到直线与到直线的距离相等，则，
平方整理得，则点的轨迹为抛物线的一部分，C正确；
对D，依题意，平面，因此点的轨迹是过点与平面平行的平面交正方形所得线段，
而，则，令，得；令，得，
线段的中点，于是P点轨迹为线段，
所以点的轨迹长度为，D错误.
故选：AC
11．【答案】ACD
【详解】选项A，，则，故，
因此为“倍长三角形”，故正确；
选项B，由，可得，则，
则
，当且仅当时等号成立，故B错误；
选项C，由正弦定理，可得，
故，
又，故，又，故，
又，因此，则，即是锐角，故C正确；
选项，由，化简即有，
则，故，故，
故，又.故，
则，
设，则，
则在定义域上单调递减，故，
则，即的最小值为，故D正确．
故选：ACD．
12．【答案】/
【详解】正四棱台的对角面为是等腰梯形，其高为该正四棱台的高，
在等腰梯形中，，
因为，则该梯形的高，
所以该棱台的体积为.
故答案为：.
13．【答案】．
【详解】由双曲线的渐近线方程为，不妨设渐近线方程为，
圆的圆心为，半径为1，因为双曲线的渐近线与圆有公共点，
所以，即，由，，
因为，所以，所以．
故答案为：．
14．【答案】3
【详解】由题，
所以，
当时，对0,+∞恒成立，
则Fx在0,+∞单调递增，故不存在两个零点，
当时，若，则，函数Fx在上单调递减，
若，则，函数Fx在上单调递增，
要使函数有两个零点，则Fx的最小值，
所以即，
因为，所以，令，
显然在0,+∞上为增函数，且，，
所以存在，使得，
当时，，当时，，
所以满足条件的最小正整数，
又当时，，，
所以时，有两个零点，
综上所述，满足条件的最小正整数的值为3.
故答案为：3.
15．【答案】(1)证明见解析，
(2)证明见解析
【详解】（1）因为，所以，即，
又因为，所以是首项为1，公差1的等差数列，
所以，所以．
（2）证明：因为，
所以
因为，所以
16．【答案】(1)证明见解析；
(2)不存在，理由见解析.
【详解】（1）取中点Q，连接，，
由，得M是线段中点，则，，
由四边形是矩形，N是线段的中点，得，，
于是，，四边形是平行四边形，
则，而平面，平面，
所以直线平面.
（2）假设存在实数λ，使得同时垂直于直线和直线，由四边形是矩形，得，
即，，而，平面，则平面，
由平面，平面，得，而，，平面，
因此平面，则，在矩形边上取点，使，
连接，则与矛盾，即假设不成立，
所以不存在实数，使直线同时垂直于直线和直线.
17．【答案】（1）；（2）证明见解析．
【详解】（1）由题意，点在椭圆上得，可得 ①
又由，所以 ②
由①②联立且，可得，，，
故椭圆的标准方程为．
（2）由（1）知，椭圆的方程为，可得椭圆右焦点坐标，
显然直线斜率存在，设的斜率为，则直线的方程为，
联立方程组，整理得，
设，，则有，，
由直线的方程为，令，可得，即，
从而，，，
又因为共线，则有，即有，
所以
，
将，代入得，又由，所以，即，，成等差数列．
18．【答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】（1），，.
令，方程的判别式为，
①：当即时，，单调递增，无极值点；
②：当即时，函数有两个零点，，
（i）当时.，，当时，单调递减，
当时，单调递增，有一个极小值点；
（ii）当时，，
当与时，单调递增，
当时，单调递减，有两个极值点.
综上：当时无极值点；当时有两个极值点；
当时有一个极小值点.
（2）不等式恒成立，即.
，令，，
.
令，，则需，
当时，，单调递增，又，
时，不合题意，.
当时，单调递减，当时单调递增，.
而，，
又由可得，
所以需，
令，，当时单调递增，
当时单调递减，
，
.
19．【答案】(1)分布列见解析，；
(2)（ⅰ）；（ⅱ）.
【详解】（1）依题意可得的可能取值为，，，，
则，，
，，
所以的分布列为
所以.
（2）（ⅰ）若甲留学生随机抽取道题，总得分恰为分，即道题均答对了，
所以，
设数列的前项和为，则.
（ⅱ）依题意可得，，，
当时，
所以，
所以为常数数列，又因为，
所以，
则，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
经检验当，上式也成立，所以.