2024-2025学年河北省衡水市武强中学高二（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年河北省衡水市武强中学高二（上）期末数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{an}的公差为( )
A. 1B. 2C. 4D. 8
2.如图，函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=−x+8，则limΔx→0f(5+Δx)−f(5)Δx=( )
A. 1
B. 3
C. −3
D. −1
3.等差数列{an}的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为( )
A. −24B. −3C. 3D. 8
4.过点P(2,−1)的直线与圆C：(x+1)2+(y−1)2=5相切，则切线长为( )
A. 2B. 5C. 2 2D. 13
5.已知A为抛物线C：y2=2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=
A. 2B. 3C. 6D. 9
6.若直线2ax−by+2=0(a>0,b>0)过圆x2+y2+2x−4y+1=0的圆心，则9a+1b的最小值是( )
A. 16B. 10C. 12D. 14
7.已知双曲线C：x23−y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|=( )
A. 32B. 3C. 2 3D. 4
8.几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂，那么该款软件的激活码是( )
A. 440B. 330C. 220D. 110
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 直线y=ax−3a+2(a∈R)必过定点(3,2)
B. 直线y=3x−2在y轴上的截距为−2
C. 直线 3x+y+1=0的倾斜角为60°
D. 过点(−1,2)且垂直于直线x−2y+3=0的直线方程为2x+y=0
10.已知数列{an}满足a1=1，an+an+1=2n(n∈N∗)，则下列结论中正确的是( )
A. a4=5B. {an}为等比数列
C. a1+a2+⋯+a2021=22022−13D. a1+a2+⋯+a2022=22023−13
11.设椭圆C：x22+y2=1的左右焦点为F1，F2，P是C上的动点，则下列结论正确的是( )
A. 离心率e= 62
B. 以线段F1F2为直径的圆与直线x+y− 2=0相切
C. △PF1F2面积的最大值为 2
D. PF1⋅PF2的最小值为0
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
12.记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1=13,a42=a6，则S5= ______．
13.函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程为2x−y−3=0，则f(2)+f′(2)= ______．
14.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为 ．
15.已知数列{an}的前n项和为Sn且Sn=2n2+n，n∈N∗，数列{bn}满足an=4lg2bn+3，n∈N∗．
(Ⅰ)求an和bn的通项公式；
(Ⅱ)求数列{an⋅bn}的前n项和Tn．
四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=−a5．
(1)若a3=4，求{an}的通项公式；
(2)若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．
17.(本小题12分)
已知点P是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的一点，F1和F2是焦点，焦距为6，且|PF1|+|PF2|=10．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若∠F1PF2=90°，求△F1PF2的面积．
18.(本小题12分)
设A、B为曲线C：y=x24上两点，A与B的横坐标之和为4；
(1)求直线AB的斜率；
(2)M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．
19.(本小题12分)
若数列{an}满足an+12−an2=p(n为正整数，p为常数)，则称数列{an}为等方差数列，p为公方差．
(1)已知数列{xn}，{yn}的通项公式分别为：xn= n+1，yn=3n−1，判断上述两个数列是否为等方差数列，并说明理由；
(2)若数列{an}既是等方差数列，又是等差数列，证明：数列{an}为常数列．
(3)若数列{an}是首项为1，公方差为2的等方差数列，在(1)的条件下，在yk与yk+1之间依次插入数列{an2}中的k项构成新数列{cn}：y1，a12，y2，a22，a32，y3，a42，a52，a62，y4，…，求数列{cn}中前30项的和T30．
参考答案
1.C
2.D
3.A
4.C
5.C
6.A
7.B
8.A
9.ABD
10.AC
11.BD
12.1213
13.3
14.2 33
15.解：(Ⅰ)数列{an}的前n项和为Sn且Sn=2n2+n，n∈N∗，
则：an=Sn−Sn−1(n≥2)，
=2n2+n−2(n−1)2−(n−1)
=4n−1，
当n=1时，a1=3符合通项公式，
所以：an=4n−1．
由于：数列{bn}满足an=4lg2bn+3，n∈N∗．
则：4n−1=4lg2bn+3，
所以：bn=2n−1，
(Ⅱ)由(Ⅰ)得：设cn=anbn=(4n−1)2n−1，
则：Tn=c1+c2+…+cn=3⋅20+7⋅21+…+(4n−1)2n−1①
2Tn=3⋅21+7⋅22+…+(4n−1)2n②
①−②得：−Tn=4(20+21+…+2n−1)−(4n−1)2n−1，
整理得：Tn=(4n−5)2n+5．
16.解：(1)根据题意，等差数列{an}中，设其公差为d，
若S9=−a5，则S9=(a1+a9)×92=9a5=−a5，
可得a5=0，即a1+4d=0，
若a3=4，则d=a5−a32=−2，
则an=a3+(n−3)d=−2n+10；
(2)若Sn≥an，则na1+n(n−1)2d≥a1+(n−1)d，
当n=1时，不等式成立，
当n≥2时，有nd2≥d−a1，变形可得(n−2)d≥−2a1，
又由(1)得a1+4d=0，即d=−a14，
则有(n−2)−a14≥−2a1，
又由a1>0，则有n≤10，
则有2≤n≤10，
综合可得：1≤n≤10且n∈N∗．
17.解：(1)因为焦距为6，且|PF1|+|PF2|=10，
所以2c=6，2a=10，
所以c=3，a=5，所以b= 52−32=4，
椭圆标准方程为x225+y216=1；
(2)∠F1PF2=90°，则|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=62=36，
所以2|PF1||PF2|=(|PF1|+|PF2|)2−(|PF1|2+|PF2|2)=64，
即|PF1||PF2|=32，S△PF1F2=12|PF1||PF2|=16．
18.解：(1)设Ax1,y1,Bx2,y2，
则x1≠x2,y1=x124,y2=x224,x1+x2=4，
于是直线AB的斜率k=y1−y2x1−x2=x1+x24=1；
(2)由y=x24，得y′=x2，
设Mx3,y3，由题设知x32=1，
解得x3=2，于是M2,1，
设直线AB的方程为y=x+m，
故线段AB的中点为N2,2+m,MN=m+1，
将y=x+m代入y=x24得x2−4x−4m=0，
当Δ=16m+1>0，即m>−1时，x1,2=2±2 m+1，
从而AB= 2x1−x2=4 2m+1，
由题设知AB=2MN，即4 2m+1=2m+1，解得m=7，
所以直线AB的方程为y=x+7．

19.解：(1)由xn= n+1，yn=3n−1，
因为xn+12−xn2=1(常数)，
所以数列{xn}为等方差数列，1为公方差；
因为y22−y12=32−12=8,y32−y22=92−32=72,y22−y12≠y32−y22，
所以数列{yn}不是等方差数列．
(2)证明：因为{an}是等差数列，设其公差为d，
则an−an−1=an+1−an=d(n≥2,n∈N∗)．
又an是等方差数列，所以an2−an−12=an+12−an2(n≥2,n∈N∗)．
故(an+an−1)(an−an−1)=(an+1+an)⋅(an+1−an)，
所以(an+an−1)d=(an+1+an)d，
即d(an+an−1−an+1−an)=−2d2=0，
所以d=0，故an是常数列．
(3)由题意知数列an是首项为1，公方差为2的等方差数列，
故an+12−an2=2，而a12=1，所以an2=1+2(n−1)=2n−1；
yn是首项为1，公比为3的等比数列，
而新数列{cn}中yk+1项(含yk+1)前共有(1+2+3+...+k)+k+1=(k+1)(k+2)2项，
令(k+1)(k+2)2≤30，结合k∈N∗，解得k≤6，
故数列cn中前30项含有yn的前7项和数列an2的前23项，
所以数列{cn}中前30项的和T30=1−371−3+23×1+23×222×2=1622．