新高考数学二轮复习对点题型探究突破练习第22讲 导数的应用（2份，原卷版+教师版）

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2022新高考一卷第22题
已知函数和有相同的最小值．
（1）求；
（2）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
试题亮点
试题落实了高考评价体系中“一核四层四翼”的总要求，题目简洁，函数类型也是考生非常熟悉的，体现了基础性，有利于增强学生解决困难问题的信心和决心．但考生上手做题后就会发现，试题的设计常规中又蕴含很多的创新，因而考生会产生似曾相识但难以入手的感觉，需要在解题过程中综合运用所学知识不断发现，逐步推进试题有效考查了考生推理论证、运算求解等关键能力，考查了考生对数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想方法的理解与掌握，对学生思维的灵活性、严谨性、创新性提出了较高的要求.试题计算量很小，重思维，解答长度适中，设计由浅入深，层次分明，内涵丰富，重点突出，很好地达到考查目的，使理性思维深度、知识掌握的牢固程度、运算求解的娴熟程度不同的考生都能得到充分展示，较好地考查考生进一步学习的潜能，有利于人才选拔，对中学数学教学具有较好的引导作用.
知识要点整理
常用结论
⑴，变形即为，其几何意义为上的的点与原点连线斜率小于1.
⑵
⑶
⑷.
导数单调性、极值、最值的直接应用
（切线）设函数.
（1）当时，求函数在区间上的最小值；
（2）当时，曲线在点处的切线为，与轴交于点求证：.
2.已知函数其中
⑴当时，求曲线处的切线的斜率；
⑵当时，求函数的单调区间与极值.
3.已知函数
⑴设两曲线有公共点，且在公共点处的切线相同，若，试建立 关于的函数关系式，并求的最大值；
⑵若在(0,4)上为单调函数，求的取值范围。
4.设函数．
(1)讨论函数在定义域内的单调性；
(2)当时，任意，恒成立，求实数的取值范围．
5.已知二次函数对都满足且，设函数（，）．
（Ⅰ）求的表达式；
（Ⅱ）若，使成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）设，，求证：对于，恒有．
设是函数的一个极值点.
（1）求与的关系式（用表示），并求的单调区间；
（2）设，若存在，使得 成立，求的取值范围.
解：（1）∵
∴ 由题意得：，即，
∴且
令得，
∵是函数的一个极值点
∴，即
故与的关系式为.
当时，，由得单增区间为：；
由得单减区间为：和；
当时，，由得单增区间为：；
由得单减区间为：和；
（2）由（1）知：当时，，在上单调递增，在上单调递减，,
∴在上的值域为.
易知在上是增函数,
∴在上的值域为.
由于，
又∵要存在，使得成立，
∴必须且只须解得:.
所以，的取值范围为.
三年真题
1．已知，函数
(1)求函数在处的切线方程；
(2)若和有公共点，
（i）当时，求的取值范围；
（ii）求证：．
2．设函数．
(1)求的单调区间；
(2)已知，曲线上不同的三点处的切线都经过点．证明：
（ⅰ）若，则；
（ⅱ）若，则．
（注：是自然对数的底数）
3．已知函数．
(1)当时，求的最大值；
(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．
4．已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．
(1)若，求a；
(2)求a的取值范围．
5．已知函数和有相同的最小值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
6．已知，函数．
（I）求曲线在点处的切线方程：
（II）证明存在唯一的极值点
（III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围．
7．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）从下面两个条件中选一个，证明：只有一个零点
①；
②．
8．已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．
9．设a，b为实数，且，函数
（1）求函数的单调区间；
（2）若对任意，函数有两个不同的零点，求a的取值范围；
（3）当时，证明：对任意，函数有两个不同的零点，满足.
(注：是自然对数的底数)
10．设函数，已知是函数的极值点．
（1）求a；
（2）设函数．证明:．
11．设函数，其中.
（1）讨论的单调性；
（2）若的图象与轴没有公共点，求a的取值范围.
12．已知且，函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围．
13．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.
三年模拟
1．已知函数.
(1)证明：；
(2)已知函数与函数的图象恰有两个交点，求实数的取值范围.
2．已知函数，.
(1)若，求的单调区间.
(2)若，且在区间上恒成立，求a的范围；
(3)若，判断函数的零点的个数.
3．已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数的图像与的图像最多有一个公共点，求实数的取值范围.
4．已知函数.
(1)若函数在上有两个零点，求实数的取值范围；
(2)当时，关于的不等式恒成立，求整数的最小值.
5．已知函数且.
(1)设，讨论的单调性；
(2)若且存在三个零点.
1）求实数的取值范围；
2）设，求证：.
6．已知函数,其中.
(1)求函数在点的切线方程;
(2)函数是否存在极值点,若存在求出极值点,若不存在,请说明理由;
(3)若关于的不等式在区间上恒成立,求实数的取值范围.
7．已知函数，其中e为自然对数的底数.
(1)求的单调区间：
(2)若函数在区间上存在零点，求实数a的取值范围.
9．已知定义域为R的函数.当时，若是严格增函数，则称是一个“函数”.
(1)分别判断函数、是否为函数；
(2)是否存在实数b，使得函数，是函数？若存在，求实数b的取值范围；否则，证明你的结论；
(3)已知，其中.证明：若是R上的严格增函数，则对任意，都是函数.
10．已知
(1)讨论的单调性；
(2)对，使得恒成立，求实数的取值范围.
11．已知函数为常数.
(1)若，求的最小值；
(2)在（1）的条件下，证明：.
12．设函数，函数（）.
(1)求的单调区间；
(2)若，有三个不同实根，，（），试比较，，的大小关系，并说明理由.
13．设函数（）．
(1)求的单调区间；
(2)若的两个零点且，求证：
14．已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)①若，求实数的值；
②设，求证：.
15．已知函数.
(1)若函数的图象在处的切线与直线平行，求函数在处的切线方程；
(2)求证：当时，不等式在上恒成立.
16．若函数同时满足下列两个条件，则称在上具有性质．
①在上的导数存在；
②在上的导数存在，且（其中）恒成立．
(1)判断函数在区间上是否具有性质？并说明理由．
(2)设、均为实常数，若奇函数在处取得极值，是否存在实数，使得在区间上具有性质？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
(3)设且，对于任意的，不等式成立，求的最大值．