河北省石家庄市2025届高三上学期教学质量摸底检测数学试卷及参考答案

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（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数z满足，则复数z的虚部为（ ）
A．B．C．D．
3．已知平面向量a，b满足，且，，则向量a，b的夹角为（ ）
A．B．C．D．
4．已知正四棱锥底面边长为2，且其侧面积的和是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
5．已知，，则（ ）
A．3B．C．D．
6．若数列为等差数列，为数列的前n项和，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过坐标原点的直线与双曲线C交于A、B两点，若，则（ ）
A．B．C．D．4
8．已知函数为定义在R上的奇函数，且在上单调递减，满足，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知实数a，b，c满足，则下列选项正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，在上单调递增
B．若，且，则函数的最小正周期为
C．若的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于y轴对称，则的最小值为3
D．若在上恰有4个零点，则的取值范围为
11．如图，曲线C过坐标原点O，且C上的动点满足到两个定点，的距离之积为9，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若直线与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为
C．周长的最小值为12
D．面积的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12．在等比数列中，，，则____________．
13．已知函数，若与的图象相切于A、B两点，则直线的方程为____________．
14．金字塔在埃及和美洲等地均有分布，现在的尼罗河下游，散布着约80座金字塔遗迹，大小不一，其中最高大的是胡夫金字塔，如图，胡夫金字塔可以近似看做一个正四棱锥，则该正四棱锥的5个面所在的平面将空间分成____________部分（用数字作答）．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知抛物线的焦点为F，A是抛物线上横坐标为2且位于x轴上方的点，A到抛物线焦点的距离为．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若过点F的直线l交抛物线C于B、D两点（异于O点），连接、，若，求的长．
16．（本小题满分15分）
如图，在直四棱柱中，，，，，．
（1）设过点G、B、D的平面交直线于点M，求线段的长；
（2）若，当二面角为直二面角时，求直四棱柱的体积．
17．（本小题满分15分）
在中，，，点D在边上，且．
（1）若，求的长；
（2）若，点E在边上，且，与交于点M，求．
18．（本小题满分17分）
已知函数．
（1）当时，求函数的最小值；
（2）设方程的所有根之和为T，且，求整数n的值；
（3）若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围．
19．（本小题满分17分）
母函数（又称生成函数）就是一列用来展示一串数字的挂衣架．这是数学家赫伯特·维尔夫对母函数的一个形象且精妙的比喻．
对于任意数列，即用如下方法与一个函数联系起来：
，则称是数列的生成函数．
例如：求方程的非负整数解的个数．
设此方程的生成函数为，其中x的指数代表的值．
，则非负整数解的个数为．
若，则，可得，于是可得函数的收缩表达式为：．
故
（广义的二项式定理：两个数之和的任意实数次幂可以展开为类似项之和的恒等式）
则
根据以上材料，解决下述问题：
定义“规范01数列”如下：共有项，其中m项为0，m项为1，且对任意，，不同的“规范01数列”个数记为．
（1）判断以下数列是否为“规范01数列”；
①0，1，0，1，0，1；②0，0，1，1，1，0，0，1；③0，1，0，0，0，1，1，1．
（2）规定，计算，，，的值，归纳数列的递推公式；
（3）设数列对应的生成函数为
①结合与之间的关系，推导的收缩表达式；
②求数列的通项公式．
石家庄市2025届普通高中学校毕业年级教学质量摸底检测
数学答案
一、单选题：
1-5CABCD6-8BAD
二、多选题：
9．BCD10．ABD11．AD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12．1613．14．23
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．解：（1）由题意得（2分）
解得，（3分）
故抛物线方程为．（5分）
（2）由题意得直线l的斜率不为0，设直线，与
联立得，由韦达定理得，①（7分）
设，，过O点做l垂线，垂足为G．
由，得，即
由得②（9分）
由①②联立上式得，，（11分）
．（13分）
16．证明：（1）连接，由题意可得，（2分）
又因为平面，平面平面，
平面，所以，由平行传递性可知（4分）
所以M为靠近的三等分点，（6分）
（2）如图，设，连接，，
由题意得，，，故面，
同理可证面，故，，
所以为二面角的平面角（8分）
设，由二面角为直二面角可知，
由（1）可得，故，，
在中，由勾股定理可得（10分）
即整理得，解得（12分）
题设可知，则（14分）
所以（15分）
方法二：向量法：
设直线与直线交于点O，以O为坐标原点，以为x轴，以为y轴建立如图所示的空间直角坐标系：．
在中，∵．由射影定理得：
，，，设，则：
，，，（8分）
设平面的一个法向量为
则：，即：，∴
令，则，……
∴，（10分）
设平面的一个法向量为
则：，即：，∴
令，则，
∴，（12分）
当二面角为直二面角时，，即：，得：．（13分）
∴（15分）
17．解：（1）设
在中，①（2分）
在中，由余弦定理
②（4分）
所以，
所以，，（6分）
（2）（7分）
（9分）
（11分）
（13分）
（15分）
18．解：（1），（2分）
，，单调递减，
，，单调递增，（3分）
；（4分）
（2）方程可化简为
方程的根就是函数的零点，
易知在，上单调递增（5分）
因为，，
所以函数在有唯一零点，且（7分）
因为，，
所以函数在有唯一零点，且（9分）
则，因此，．（10分）
（3）设，则当时恒成立，
（12分）
①由（1）得，
当时，
，，单调递减，
，，单调递增，
∴（14分）
②当时，，这与矛盾，（16分）
综上，．（17分）
19．解析：
（1）由题意得①，③是“规范01数列”，（2分）
对于②，由于时，，故②不是“规范01数列”；（3分）
（2），，，；（每个1分）（7分）
“规范01数列”中，首项，若同时满足：
①当时，；②当时，，
此时可将划分为两部分，即和，由于且，则可构成一个“规范01数列”，所以数列的递推公式为：
（9分）
（注：学生由得出也可给到10分）
（3）①
∴（10分）
即
由于
当时，（舍去）
当时，，满足题意
故的收缩表达式为；（12分）
②
（14分）
（15分）
故数列的通项公式为（17分）
（注：其余方法得出均可给到17分）