【中职专用】专题03 排列组合（专题练习）-高二数学下学期期末复习（高教版2021拓展模块下册）

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一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3 分，共 30分）
1．现有3幅不同的油画，4幅不同的国画，5幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（ ）
A．10种B．12种C．20种D．60种
【答案】B
【解析】分三类：
第一类，从3幅不同的油画中任选一幅，有种；
第二类，从4幅不同的国画中任选一幅，有种；
第三类，从5幅不同的水彩画任选一幅，有种，
根据分类加法计数原理得共有种不同的选法.
故选：B.
2．已知某公园有4个门，则他从大门进出的方案有（ ）
A．16B．13C．12D．10
【答案】A
【解析】从大门进有4种选择，从大门出有4种选择，
故从大门进出的方案共有4×4=16，
故选：A.
3．(x-1)5的展开式中含x2的项是（ ）
A．-5x2B．5x2C．-10x2D．10x2
【答案】C
【解析】(x-1)5的展开式的通项公式为Tk+1=C5k⋅x5-k⋅(-1)k，
则5-k=2，得k=3，
所以含x2的项是T4=C53⋅x2⋅(-1)3=-10x2．
故选：C.
4．用2,3,4,5,7这五个数组成无重复数字的五位数，则不同的偶数共有（ ）
A．120个B．72个C．60个D．48个
【答案】D
【解析】由题可知，不同的偶数共有C21P44=48个.
故选：D.
5．在1,2,3,4,5,6,7这组数据中，随机取出五个不同的数,则数字3是取出的五个不同数的中位数的所有取法为（ ）
A．24种B．18种C．12种D．6种
【答案】D
【解析】由题得必须有1，2这2个数字，4，5、6、7中必须有两个，
所以所有取法为C22C42=6.
故选：D.
6．已知f(x)=1+C41x+C42x2+C43x3+C44x4，则f(2)等于（ ）
A．16B．80C．81D．243
【答案】C
【解析】f(x)=1+C41x+C42x2+C43x3+C44x4=1+x4，所以f(2)=34=81，
故选：C.
7．为进一步在全县掀起全民健身热潮，如东县于2023年10月28日在如东小洋口旅游度假区举办大运河自行车系列赛．已知本次比赛设有4个服务点，现将5名志愿者分配到4个服务点，要求每位志愿者都要到一个服务点服务，每个服务点都要安排志愿者，且最后一个服务点至少安排2名志愿者，共有（ ）种不同的分配方式．
A．30B．60C．120D．125
【答案】B
【解析】根据题意，分2步进行分析：
先在5人中选出2人，安排在最后一个服务点，
则有C52=10种安排方法；
将剩下的3人安排到其他3个服务点，
则有P33=6种安排方法，
故共有10×6=60种安排方法.
故选：B.
8．的展开式中，的系数是( )
A．－20 B．－5 C．6 D．20
【答案】A
【解析】
令，
∴的系数为－20.
故选：A.
9．将3名医护人员，6名志愿者分成3个小组，分别安排到甲、乙、丙三个新增便民核酸采样点参加核酸检测相关工作，每个小组由1名医护人员和2名志愿者组成，则不同的安排方案共有（ ）
A．90种B．540种C．1620种D．3240种
【答案】B
【解析】第一步，医护人员的安排方案有种，
第二步，志愿者的安排方案有种，
∴不同的安排方案共有种.
故选：B.
10．若x-16=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6，则a2+a4+a6=（ ）
A．64B．33C．32D．31
【答案】D
【解析】因为x-16=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6，
所以令x=0可得a0=1①，
令x=1可得a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=0②，
令x=-1可得a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=26③，
②+③可得a0+a2+a4+a6=25①，
将①代入④可得a2+a4+a6=25-1=31.
故选：D.
二、填空题（本大题共8小题，每小题3 分，共 24分）
11．某校高中三年级一班有优秀团员8人，二班有优秀团员10人，三班有优秀团员6人，学校组织他们去参观某爱国主义教育基地．推选1名优秀团员为总负责人，有 种不同的选法．
【答案】24
【解析】第一类是从一班的8名优秀团员中产生，有8种不同的选法；
第二类是从二班的10名优秀团员中产生，有10种不同的选法；
第三类是从三班的6名优秀团员中产生，有6种不同的选法；
由分类加法计数原理可得，共有种不同的选法．
故答案为：24.
12．用0~9这10个数字，可以组成 个没有重复数字的三位数.
【答案】648
【解析】先考虑百位，有9种方法；
然后考虑十位和个位，有9×8种方法；
故没有重复数字的三位数有9×9×8=648个.
故答案为：648.
13．3x-1x4展开式中常数项为 .（用数字作答）
【答案】54
【解析】3x-124展开式的通项为Tk+1=C4k3x4-k-1xk=C4k-1k34-kx4-2k，
令4-2k=0，得k=2，所以3x-124展开始得常数项为C42-1232=54.
故答案为：54.
14．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有__________种．
【答案】16
【解析】根据题意，没有女生入选有种选法，
从6名学生中任意选3人有种选法，
故至少有1位女生入选，则不同的选法共有种.
故答案为：16.
15．电视台在电视剧开播前连续播放6个不同的广告，其中4个商业广告，2个公益广告，现要求2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有 种．
【答案】480
【解析】先把4个商业广告排好顺序，共有种方法，
再把2个公益广告插入5个空（包括两头）中，
根据分步乘法计数原理，共有种方法.
故答案为：.
16．在的二项展开式中，常数项为160，则的值为 .
【答案】-2
【解析】由题得，
令.
所以常数项为.
故答案为：.
17．现有一圆桌，周边有标号为1，2，3，4的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有 种．
【答案】
【解析】先按排甲，其选座方法有种，
由于甲、乙不能相邻，所以乙只能坐甲对面，
而丙、丁两位同学坐另两个位置的坐法有种，
所以共有坐法种数为种.
故答案为：8．
18．若展开式中各项系数的和为128，则展开式中项的系数为 .
【答案】
【解析】依题意可得，即，解得，
所以展开式的通项公式为：
，.
令，得，
所以展开式中项的系数为.
故答案为：.
三、解答题（本题共6小题，共46分，解答时应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.）
19．（6分）某校在艺术节期间需要举办一场文娱演出晚会，现要从3名教师、4名男同学和5名女同学当中选出若干人来主持这场晚会（任一人都可主持）．
（1）如果只需一人主持，共有多少种不同的选法？
（2）如果需要教师、男同学和女同学各一人共同主持，共有多少种不同的选法？
【答案】（1）12；（2）60
【解析】解：（1）从3名教师、4名男同学和5名女同学当中选出一人主持晚会，结果可分为3类：
第一类，选一名教师主持，有3种选法；
第二类，选一名男同学主持，有4种选法；
第三类，选一名女同学主持，有5种选法．
根据分类加法计数原理，共有3+4+5=12种不同的选法．
（2）从3名教师、4名男同学和5名女同学当中各选出一人共同主持晚会，可分3步：
第一步，选出一名教师，有3种选法；
第二步，选出一名男同学，有4种选法；
第三步，选出一名女同学，有5种选法，
以上3个步骤依次完成后，事情才算完成．
根据分步乘法计数原理，共有3×4×5=60种不同的选法．
20．（6分）从a、b、c、d、e这5个元素中取出4个，放在4个不同的格子中，且元素b不能放在第二个格子里．问：一共有多少种不同的放法？
【答案】96
【解析】解：元素b不被取出，不同的放法有4×3×2×1=24种，
当元素b被取出，则元素b有三个位置，不同的放法有3×4×3×2=72种，
所以一共有72+24=96种不同的放法.
21．（8分）已知集合，，在中任取一元素，在中任取一元素，组成数对，问:
（1）有多少个不同的数对?
（2）其中的数对有多少个?
【答案】(1)；(2)
【解析】解：（1）从集合中先选出有种方法，从集合中再选出有种方法，
根据分步乘法计数原理知共有个不同的数对.
（2）在（1）中的个数对中，的数对可以分类来解：
当时，，有种结果；
当时，，有种结果；
当时，，有种结果；
当时，，有种结果；
当时，，有5种结果.
综上所述，共有（个）满足条件的数对.
22．（8分）已知二项式2-xn的展开式中共有10项．
（1）求展开式的第5项的二项式系数；
（2）求展开式中含x4的项．
【答案】(1)126；(2)18x4
【解析】解：（1）因为二项式的展开式中共有10项，所以n=9，
所以第5项的二项式系数为C94=126；
（2）由（1）知n=9，记含x4的项为第r+1项，
所以Tr+1=C9r29-r-xr=C9r29-r-1rxr2，
取r2=4，解得r=8，所以T9=C9821-18x82=18x4，
故展开式中含x4的项为18x4.
23．（8分）为加强精准扶贫工作，某地市委计划从8名处级干部（包括甲、乙、丙三位同志）中选派4名同志去4个贫困村工作，每村一人，问：
（1）甲、乙必须去，但丙不去的不同选派方案有多少种？
（2）甲必须去，但乙和丙都不去的不同选派方案有多少种？
（3）甲、乙、丙都不去的不同选派方案有多少种？
【答案】（1）240（2）240（3）
【解析】解：(1)甲，乙必须去，但丙不去的选派方案种数为：
(2)甲必须去，但乙和丙都不去的选派方案种数为：
(3)甲、乙、丙都不去的选派方案种数为：
24．（10分）求展开式中，含项的系数.
【答案】70
【解析】解：展开式的通项公式为：，
令，此时项数为：，
令，此时项数为：，
综上可得：含的项为，含项的系数为：．