【中职专用】专题02 数列（练习精讲）-高二数学下学期期末复习（高教版2021拓展模块下册）

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考点串讲
考点一、数列的概念
（1）数列及其有关概念
一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做首项．
数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}．
（2）数列的分类
（3）函数与数列的关系
数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)．
（4）数列的单调性
（5）通项公式
如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．
通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数．
（6）数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．
（7）数列的前n项和Sn与an的关系
把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.
an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))
考点二、等差数列
（1）等差数列的定义及通项公式
定义：
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,常用字母表示，即（，，为常数）或（，为常数）.
等差中项：如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项，即．
等差数列通项公式：
等差数列的判定方法：
(定义法)；
(中项法)；
(通项法, 一次函数)；
(和式法, 其图象是过原点的抛物线上的散点).
（2）等差数列前n项和
，
（3）等差数列常用的性质
设为等差数列,公差为,则：
若,则.特别地,若,则；
下标成公差为的等差数列的项，，，…组成的新数列仍为等差数列，公差为；
若数列也为等差数列，则，，（k，b为非零常数）也是等差数列；
连续项的和依然成等差数列，即，，，…成等差数列，且公差为．
考点三、等比数列
（1）等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示（），即：．
（2）等比中项
如果三个数、、成等比数列，那么称数为与的等比中项．其中．
（3）等比数列的通项公式
首相为，公比为的等比数列的通项公式为：
（4）等比数列的前项和公式
（5）等比数列的性质
设等比数列的公比为：
若，且，则，特别地，当时，；
下标成等差数列且公差为的项，，，…组成的新数列仍为等比数列，公比为；
若，是项数相同的等比数列，则、、（是常数且）、、（，是常数）、、也是等比数列；
连续项和（不为零）仍是等比数列．即，，，…成等比数列．
热考题型
类型一、数列的概念
【例1】下列叙述正确的是
A．与是相同的数列B．是常数列
C．数列的通项D．数列是递增数列
【例2】已知数列中，，，则的值为（ ）
A．5B．6
C．7D．8
【例3】数列、、、的下一项应该是（ ）
A．B．C．D．
【变式1】下列说法错误的是
A．数列4，7，3，4的首项是4
B．数列{an}中，若a1=3，则从第2项起，各项均不等于3
C．数列1，2，3，…就是数列{n}
D．数列中的项不能是代数式
【变式2】已知数列，，，，则数列的第五项为（ ）
A．9B．15C．24D．39
【变式3】数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式为（ ）
A．B．
C．D．
类型二、已知Sn求an
【例1】数列的前项和，则 .
【变式1】已知数列的前n项和，则的值为（ ）
A．15B．37C．27D．64
【变式2】若数列的前项和为，则数列的通项公式 ．
类型三、等差数列的通项公式
【例1】在等差数列中，，公差，，则等于（ ）
A．92B．47C．46D．45
【变式1】已知等差数列满足：，则（ ）
A．B．10C．15D．20
【变式2】已知数列满足，其中，则（ ）
A．1B．C．2D．
类型四、等差数列的前n项和
【例1】在等差数列中，，则数列的前19项之和为（ ）
A．98B．95C．93D．90
【变式1】在等差数列中，已知，则（ ）
A．230B．420
C．450D．540
【变式2】已知等差数列中，，则（ ）
A．24B．36C．48D．96
类型五、等比数列的通项公式
【例1】已知是等比数列，且，则 （ ）
A．16B．32C．24D．64
【变式1】在等比数列 中， ， 则首项 .
【变式2】在等比数列中，，，则=（ ）
A． B．1C．1或 D．
类型六、等比数列的前n项和
【例1】已知数列是公比为正数的等比数列，是其前项和，，，则（ ）
A．31B．63C．127D．255
【变式1】已知在等比数列中，，，前n项和，则（ ）．
A．9B．8C．7D．6
【变式2】已知等比数列的前n项和为，若，则（ ）
A．32B．28C．48D．60
类型七、等差、等比的综合
【例1】若3与13的等差中项是4与的等比中项，则（ ）
A．12B．16C．8D．20
【例2】已知等差数列的公差为，若成等比数列，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1】数1与4的等差中项，等比中项分别是（ ）
A．，B．，2C．，2D．，
【变式2】已知等差数列的前项和为，公差为，且成等比数列，则（ ）
A．B．C．D．
分类标准
名称
含义
按项的个数
有穷数列
项数有限的数列
无穷数列
项数无限的数列
递增数列
从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列
递减数列
从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列
常数列
各项都相等的数列