【中职专用】专题02 数列（专题练习）-高二数学下学期期末复习（高教版2021拓展模块下册）

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一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3 分，共 30分）
1．数列3，4，5，6，…的一个通项公式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】依题意，，
A选项，错误；B选项错误；D选项错误，
C选项，，且后面的项也满足，所以C选项正确.
故选：C.
2．已知等差数列的通项公式，则它的公差为（ ）
A．3B．C．5D．
【答案】D
【解析】依题意，等差数列的通项公式，
，所以公差为.
故选：D.
3．在等比数列中，，，则公比q的值为（ ）
A．4B．C．2D．
【答案】A
【解析】，，
得，∴.
故选：A．
4．设是等差数列，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】是等差数列，，，成等差数列，
，.
故选：C.
5．设是等比数列，若，，则（ ）
A．8B．12C．16D．32
【答案】C
【解析】是等比数列，所以，．
故选：C．
6．已知为等差数列，且，为方程的两根，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】D
【解析】因为数列是等差数列，且，是方程的两根，
所以，则．
故选：D．
7．《九章算术类比大全》是中国古代数学名著，其中许多数学问题是以诗歌的形式呈现的.某老师根据其中的“宝塔装灯”编写了一道数学题目：一座塔共有层，从第层起，每层悬挂的灯数都比前一层少盏，已知塔上总共悬挂盏灯，则第层悬挂的灯数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】从第一层开始各层悬挂的灯数构成一个等差数列，其公差为，前项和，
设第层的灯数为，则由等差数列前项和公式得，
解得，∴.
故选：C.
8．等差数列中，已知公差，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意，在等差数列中，，
，
.
故选：A.
9．通过测量知道，温度每降低6℃，某电子元件的电子数目就减少一半．已知在零下34℃时，该电子元件的电子数目为3个，则在室温26℃时，该元件的电子数目接近（ ）
A．860个B．1730个C．3072个D．3900个
【答案】C
【解析】由题设知，该电子元件在不同温度下的电子数目为等比数列，且，公比．
由，，得．
故选：C．
10．若等差数列和等比数列满足，，，则的公比为（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】B
【解析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
则，所以，
∴，，
所以.
故选：B.
二、填空题（本大题共8小题，每小题3 分，共 24分）
11．已知数列的通项公式是，()，则：
（1）这个数列的第4项是 ；
（2）65是这个数列的第 项．
【答案】
【解析】（1）因为数列通项公式，所以数列的第4项；
（2）由，得，即，
因为，可得,所以65是这个数列的第11项.
故答案为：，.
12．等比数列中，，，则的前项的和是 .
【答案】
【解析】，，，
故，
故答案为：.
13．已知等差数列中，，则的值是 ．
【答案】15
【解析】因为，
所以.
故答案为：.
14．已知数列的前项和为，且， ．
【答案】
【解析】由题意可得.
故答案为：.
15．数列中，，，则 .
【答案】40
【解析】，，
则数列是以为首项，2为公差的等差数列，
故，则，
故答案为：40.
16．已知等比数列的前n项和为，，则数列的公比 ．
【答案】
【解析】由可得，故或，
若 故；若，则.
故答案为：.
17．已知数列为等比数列，且成等差数列，则公比 ．
【答案】1或3
【解析】数列为等比数列，所以，且成等差数列，
所以，则，解得或3.
故答案为：1或3.
18．数列满足，且与的等差中项是5，则 .
【答案】
【解析】，则为等比数列，公比为2，
又，解得：，
所以.
故答案为：.
三、解答题（本题共6小题，共46分，解答时应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.）
19．（6分）（1）求等差数列8，5，2，…的第20项；
（2）是否为等差数列，，，…的项？如果是，是该数列的第几项？如果不是，说明理由．
【答案】（1）；（2）是等差数列，，，…的第100项，理由见解析
【解析】解：（1）可以得到公差，故第20项为
（2）可以得到公差，故通项公式为，
令，解得，
故是等差数列，，，…的第100项.
20．（6分）已知正项等比数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】解：（1）设等比数列的公比为，则，
所以或（舍），
所以，.
（2）由（1）得，所以．
21．（8分）一种变速自行车后齿轮组由5个齿轮组成，它们的齿数成等差数列，其中最小和最大的齿轮的齿数分别为12和28，求中间三个齿轮的齿数．
【答案】
【解析】解：设等差数列的公差为，
由最小和最大的齿轮的齿数分别为12和28，可得，
即，解得，
所以，即中间三个齿轮的齿数分别为.
22．（8分）已知等差数列和正项等比数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
【答案】（1）；（2）
【解析】解：（1）设等差数列公差为，正项等比数列公比为，
因为，
所以，
因此；
（2）数列的前n项和．
23．（8分）已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1）;（2）.
【解析】（1）设数列的公差为，由题意知:，
解得：，故；
（2）由（1）得，
数列是首项为4，公比为4的等比数列，
设数列的前n项和为，
则.
24．（10分）已知数列的前项和为，点在曲线上．
（1）证明：数列为等差数列；
（2）设，求数列的前项和．
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】解：（1）因为点在曲线上，所以，．
当时，；
当时，，
当时上式也成立，所以数列的通项公式为，，
所以数列为等差数列．
（2）由（1）知，，，故数列的前项和
．