2024-2025学年浙江省杭州第四中学高二下学期数学2月月考试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年浙江省杭州第四中学高二下学期数学2月月考试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知A=xy=x,x∈R，B=yy=x2,x∈R，则A∩B等于( )
A. {y∣y≥0}B. {x∣x∈R}C. {(0,0),(1,1)}D. ⌀
2.已知z=1−i2+2i，则z−z=( )
A. −iB. iC. 0D. 1
3.已知a，b是两个单位向量，若向量a在向量b上的投影向量为12b，则向量a与向量a−b的夹角为( )
A. 30∘B. 60∘C. 90∘D. 120∘
4.已知cs(α+β)csγ−csαcs(β+γ)=13，则sinαsin(β+γ)−sin(α+β)sinγ=( )
A. −16B. −13C. 16D. 13
5.已知甲袋里只有红球，乙袋里只有白球，丙袋里只有黑球，丁袋里这三种球都有.现从这四个袋子中随机抽取一个袋子，设事件A为“所抽袋子里有红球”，事件B为“所抽袋子里有白球”，事件C为“所抽袋子里有黑球”，则下列说法正确的是( )
A. 事件A与事件B互斥B. 事件A与事件B相互独立
C. 事件A与事件B∪C相互对立D. 事件A与事件B∩C相互独立
6.(1+x)2+(1+x)3+⋯+(1+x)9的展开式中x2的系数是( )
A. 60B. 80C. 84D. 120
7.若直线l与曲线y= x和圆x2+y2=15都相切，则l的方程为( )
A. y=2x+1B. y=2x+12C. y=12x+1D. y=12x+12
8.在打结计时赛中，现有5根绳子，共有10个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳头打结完毕视为结束．则这5根绳子恰好能围成一个圈的概率为( )
A. 64315B. 256315C. 32315D. 128315
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是251．
B. 已知一组数据1，2，3，3，4，5的众数大于中位数．
C. 数据2，4，6，8，10，12，14，16的第60百分位数为10．
D. 甲乙丙三种个体按3:1:2的比例分层抽样，若抽取的甲个体数为9，则样本容量为18．
10.现有4个编号为1,2,3,4的盒子和4个编号为1,2,3,4的小球，要求把4个小球全部放进盒子中，则下列结论正确的有( )
A. 没有空盒子的方法共有24种
B. 有空盒子的方法共有256种
C. 恰有1个盒子不放球的方法共有144种
D. 没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有16种
11.历史上著名的伯努利错排问题指的是：一个人有nn≥2封不同的信，投入n个对应的不同的信箱，他把每封信都投错了信箱，投错的方法数为an.例如两封信都投错有a2=1种方法，三封信都投错有a3=2种方法，通过推理可得：an+1=nan+an−1n≥3.高等数学给出了泰勒公式：ex=1+x+x22!+x33!+⋯+xnn!+⋯，则下列说法正确的是( )
A. a4=9
B. an+2−n+2an+1 n∈N∗为等比数列
C. ann!=(−1)22!+(−1)33!+⋯+(−1)nn!n≥2
D. 信封均被投错的概率大于1e
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若双曲线x2m+y2m+1=1的离心率为3，则m= ．
13.大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量的总和.大衍数列从第一项起依次为0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，….记大衍数列an的通项公式为an=n2−12,n为奇数n22,n为偶数，若bn=(−1)nan，则数列bn的前30项和为
14.“布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束，已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知1+2xn=a0+a1x+a2x2+⋯+anxn，其中n≥2，n为正整数．
(1)若n=6，求a0+a1+⋯+an的值；
(2)若n≥4，且an−2，an−1，an依次成等差数列，求a4的值．
16.(本小题12分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点M(2,3)，点A为其左顶点，且AM的斜率为12．
(1)求C的方程；
(2)点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值．
17.(本小题12分)
已知锐角▵ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a−c=2ccsB．
(1)证明：B=2C；
(2)若a=2，求csCb+1c的取值范围．
18.(本小题12分)
在三棱锥P−ABC中，BA⊥BC，PB⊥平面ABC，点E在平面ABC内，且满足平面PAE⊥平面PBE，AB=BC=BP=1．

(1)求证：AE⊥BE；
(2)当二面角E−PA−B的余弦值为 33时，求三棱锥E−PCB的体积．
19.(本小题12分)
已知函数fx=12x2+alnx．
(1)当a=1时，判断函数fx的零点个数；
(2)若fx>0在0,+∞上恒成立，求a的取值范围；
(3)设gx=fx−2x，若函数gx有两个极值点x1、x2x1>0,x2>0，求证：gx1+gx2>−3．
参考答案
1.A
2.A
3.B
4.B
5.B
6.D
7.D
8.D
9.ACD
10.AC
11.ABC
12.−89
13.240
14.1013
15.解：(1)n=6时，1+2x6=a0+a1x+a2x2+⋯+a6x6，
令x=1，则1+26=a0+a1+a2+⋯+a6=36=729
(2)1+2xn的展开式的通项为Cnr2xr,r=0,1,2,⋯,n，
故an−2=2n−2Cnn−2,an−1=2n−1Cnn−1,an=2nCnn,
根据an−2，an−1，an依次成等差数列，得2×2n−1Cnn−1=2n−2Cnn−2+2nCnn,
故2×2n−1Cn1=2n−2Cn2+2nCnn⇒4n=nn−12+4，
解得n=8或n=1(舍去)，
因此a4=C8424=1120

16.解：(1)由题意可知直线AM的方程为：y−3=12(x−2)，即x−2y=−4，
当y=0时，解得x=−4，所以a=4，椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点M(2,3)，
可得416+9b2=1，解得b2=12，
所以C的方程：x216+y212=1．
(2)设与直线AM平行的直线方程为：x−2y=m，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值．
将x−2y=m与椭圆方程：x216+y212=1联立，
化简可得：16y2+12my+3m2−48=0，
所以△=144m2−4×16(3m2−48)=0，
即m2=64，解得m=±8，
与AM距离比较远的直线方程为：x−2y=8，
利用平行线之间的距离为：d=8+4 1+4=12 55，
又A(−4,0)，M(2,3)，所以|AM|=3 5．
所以△AMN的面积的最大值：12×3 5×12 55=18．

17.解：(1)证明：因为a−c=2ccsB，
由正弦定理得sinA−sinC=2sinCcsB，
所以sin Bcs C+sin Ccs B−sin C
=2sin Ccs B，
所以sin Bcs C−sin Ccs B=sin C，
sin (B−C)=sin C，
而0