山东省青岛市即墨区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（解析版）

这是一份山东省青岛市即墨区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（解析版），共37页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 满分：120分）
友情提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，视你答题成功!
本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共26道题．第Ⅰ卷1-10题为选择题，共30分；第Ⅱ卷11-16题为填空题，17题为作图题，18-26题为解答题，共90分．要求所有题目均在答题卡上作答，在本卷上作答无效．
第Ⅰ卷
一、选择题（本题满分30分，共有10道小题，每小题3分）
下列每小题都给出标号为A，B，C，D的四个结论，其中只有一个是正确的．每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分．
1. 如图是四个完全相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图为（ ）
A. B.
C. D.
2. 关于x的一元二次方程无实数解，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知反比例函数，当时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，OH＝4，若菱形ABCD的面积为32，则CD的长为（ ）

A. 4B. 4C. 8D. 8
5. 张老师有两双完全一样的皮鞋，混在一起后，随手拿两只正好配成一双穿在脚上的概率为（ ）
A. B. C. D.
6. 若，，为二次函数的图像上的三点，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在中，，D是的中点，边D点作的垂线交于点E，，，则为（ ）
A. B. 10C. D. 15
8. 如图，在Rt△ABC内画有边长为9，6，x的三个正方形，则x的值为（ ）
A. 3B. 4C. 3D. 5
9. 如图，在正方形中，E、F分别是、的中点，、交于点G，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论是（ ）
A. ①②B. ①③C. ①②④D. ①②③
10. 已知反比例函数 y＝的图象如图所示，则二次函数 y =ax 2－2x和一次函数 y＝bx+a 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A
B. C. D.
第Ⅱ卷
二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）
11. 计算：________．
12. 如图，已知 AB//CD//EF，，BE=12，那么 CE 的长为_____.
13. 如图，已知第一象限内的点在反比例函数上，第二象限的点在反比例函数上，且，，则的值为_______．
14. 为提高公司经济效益，某公司决定对一种电子产品进行降价促销，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天可多售出5个．已知每个电子产品的固定成本为100元，当这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利32000元？若设降价后的销售单价为x元，则可列方程为________．
15. 如图，在中，，，点D为边的中点，则的值为________．
16. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，给出下列结论：
①；
②方程必有一个根大于2且小于3；
③若，是抛物线上的两点，那么；
④；
⑤对于任意实数m，都有，
其中正确结论的序号是________．
三、作图题（4分，用圆规和直尺作图，不写作法，保留痕迹）
17. 已知线段a，b，求作矩形ABCD，使对角线AC＝a，边BC＝b．
四、解答题（本题满分68分）
18 （1）解方程：
（2）在平面直角坐标系中，将抛物线的图象向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴有且只有一个交点，求n的值．
19. 从甲、乙、丙、丁4名学生中选2名学生参加一次乒乓球单打比赛，求下列事件发生的概率．
（1）甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中丙的概率是 ；
（2）任意选取2名学生参加比赛，求一定有乙的概率．（用树状图或列表的方法求解）．
20. 在一次数学课外实践活动中，某小组要测量一幢大楼的高度，如图，在山坡的坡脚A处测得大楼顶部M的仰角是，沿着山坡向上走75米到达B处．在B处测得大楼顶部M的仰角是，已知斜坡的坡度（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）求大楼的高度．（图中的点A，B，M，N，C均在同一平面内，N，A，C在同一水平线上，参考数据：）
21. 如图，一次函数与反比例函数相交于A、B两点，与x轴，y轴分别交于D、C两点，已知，的面积为1．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）请直接写出使的x的取值范围．
22. 如图1，点P在正方形的对角线上，正方形的边长是a，的两条直角边，分别交边，于点M，N．
（1）操作发现：如图2，固定点P，使绕点P旋转．
①当，时，四边形的边长是________；
②当，（n是正实数）时，四边形的面积是________．
（2）猜想论证：如图3，将四边形的形状改变为矩形，，，点P在矩形的对角线上，的两条直角边，分别交边，于点M、N，固定点P，使绕点P旋转，则________．
23. 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．
（1）求证：四边形ADBF是菱形；
（2）若AB＝8，菱形ADBF的面积为40，求AC的长．
24. 如图，为了绿化小区，某物业公司要在形如五边形的草坪上建一个矩形花坛．已知，，，，，．以所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，坐标原点为O．

（1）求直线AB表达式；
（2）若设点P横坐标为x，矩形的面积为S．
①用x表示S；
②当x何值时，S取得最大值？
25. 小林同学是一名羽毛球运动爱好者，下面是他对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网AB与y轴的水平距离，，米，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系；若选择吊球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系，此时当羽毛球飞行的水平距离是1米时，达到最大高度3.2米．
（1）求吊球时羽毛球满足的二次函数的表达式；
（2）请通过计算说明两种击球方式是否过网；
（3）要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应该选择哪种击球方式．
26. 如图①，四边形中，，，，，．动点M在CB上运动，从C点出发到B点，速度为每秒；动点N在上运动，从B点出发到A点，速度为每秒．两个动点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t（秒）．
（1）当t为何值时，是直角三角形？
（2）设的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（3）如图②，连接BD，是否存在某一时刻t，使与BD互相垂直？若存在，求出这时的t值；若不存在，请说明理由．
2023-2024学年度第一学期期末诊断性测试
九年级数学试题
（考试时间：120分钟 满分：120分）
友情提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，视你答题成功!
本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共26道题．第Ⅰ卷1-10题为选择题，共30分；第Ⅱ卷11-16题为填空题，17题为作图题，18-26题为解答题，共90分．要求所有题目均在答题卡上作答，在本卷上作答无效．
第Ⅰ卷
一、选择题（本题满分30分，共有10道小题，每小题3分）
下列每小题都给出标号为A，B，C，D的四个结论，其中只有一个是正确的．每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分．
1. 如图是四个完全相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】从上面观察该几何体得到一个“T”字形的平面图形，横着两个正方形，中间有一个正方形，且有两条垂直的虚线，下方有半个正方形．画出图形即可．
【详解】俯视图如图所示．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了几何体的三视图，俯视图是从上面观察几何体得出的平面图形．.注意：能看到的线用实线，看不到而存在的线用虚线．
2. 关于x的一元二次方程无实数解，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟记：对于一元二次方程，时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程没有实数根．
【详解】解：∵一元二次方程无实数解，
∴，
解得：，
故选B
3. 已知反比例函数，当时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查反比例函数的性质，根据函数的增减性判断k的取值范围是解题的关键．
【详解】解：∵当时，y随x的增大而增大，
∴，
解得，
故选：C．
4. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，OH＝4，若菱形ABCD的面积为32，则CD的长为（ ）

A. 4B. 4C. 8D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】在Rt△BDH中先求得BD的长，根据菱形面积公式求得AC长，再根据勾股定理求得CD长．
【详解】∵DH⊥AB，
∴∠BHD＝90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，OC＝OA＝，AC⊥BD，
∴OH＝OB＝OD＝（直角三角形斜边上中线等于斜边的一半），
∴OD＝4，BD＝8，
由得，
＝32，
∴AC＝8，
∴OC＝＝4，
∴CD＝＝8，
故答案为：C．
【点睛】本题考查了菱形性质，直角三角形性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是先求得BD的长．
5. 张老师有两双完全一样的皮鞋，混在一起后，随手拿两只正好配成一双穿在脚上的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
【详解】：画树状图为：

共有种等可能的结果数，其中两只正好配成一套穿在脚上的结果数为，所以随手拿两只正好配成一套穿在脚上的概率为：．
故选：D．
6. 若，，为二次函数的图像上的三点，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先计算抛物线的对称轴，在计算各点与对称轴的水平距离，根据抛物线开口向上，距离越大，函数值也越大比较即可．
【详解】解：∵，
∴对称轴为直线，且，
∵，，，
∴点A到对称轴直线的距离为，
点B到对称轴直线的距离为，
点C到对称轴直线的距离为，
∵，
∴，
根据抛物线开口向上，离对称轴越近，函数值越小，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了抛物线的增减性，熟练掌握抛物线开口向上，离对称轴越近，函数值越小是解题的关键．
7. 如图，在中，，D是的中点，边D点作的垂线交于点E，，，则为（ ）
A. B. 10C. D. 15
【答案】A
【解析】
【分析】在中，由，求得，由题意可得垂直平分，，在中，求解即可．
【详解】解：在中，，
又∵，
∴，
由题意可得垂直平分，即，，
在中，，
，
由勾股定理可得：，
故选：A
【点睛】此题考查了解直角三角形，涉及了垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
8. 如图，在Rt△ABC内画有边长为9，6，x的三个正方形，则x的值为（ ）
A. 3B. 4C. 3D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】根据相似多边形的对应边的比相等，就可以判断．
【详解】解：∵这三个正方形的边都互相平行．
∴它们均相似．
∴
解得：x=4．
故选：B．
【点睛】本题考查相似多边形的性质，如果两个多边形都和第三个多边形相似，那么这两个多边形也相似．
9. 如图，在正方形中，E、F分别是、的中点，、交于点G，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论是（ ）
A. ①②B. ①③C. ①②④D. ①②③
【答案】D
【解析】
【分析】本题根据题意证明即可判断①，利用正方形性质和全等三角形性质得到，，即可判断②，延长交延长线于点，证明，得到为斜边上的中线，即可判断③，根据若，证明为等边三角形，利用等边三角形性质得到，因为，所以，出现矛盾，即可判断④．
【详解】解：四边形为正方形，
，，
E、F分别是、的中点，
，
，
，
①正确；
由①知，，
，
，即，
②正确；
如图，延长交的延长线于点，
由题知，，
，，
，
，
，
由②知，
为斜边上的中线，
，
③正确；
若，则，
有为等边三角形，即，
，
，
④错误；
综上所述，正确的有①②③，
故选：D．
【点睛】本题考查正方形性质、全等三角形的性质与判定、直角三角形斜边上的中线等于斜边一半、等边三角形的性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相关性质找到图形中线段和角之间的关系．
10. 已知反比例函数 y＝的图象如图所示，则二次函数 y =ax 2－2x和一次函数 y＝bx+a 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A.
B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据抛物线y=ax2-2x过原点排除A，再由反比例函数图象确定ab的符号，再由a、b的符号和抛物线对称轴确定抛物线与直线y=bx+a的位置关系，进而得解．
【详解】解：∵当x=0时，y=ax2-2x=0，即抛物线y=ax2-2x经过原点，故A错误；
∵反比例函数y=的图象在第一、三象限，
∴ab＞0，即a、b同号，
当a＜0时，抛物线y=ax2-2x的对称轴x=＜0，对称轴在y轴左边，故D错误；
当a＞0时，b＞0，直线y=bx+a经过第一、二、三象限，故B错误；
C正确．
故选C．
【点睛】本题主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，根据函数图象与系数的关系进行判断是解题的关键，同时考查了数形结合的思想．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）
11. 计算：________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查特殊角的三角函数值的运算，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值，掌握运算法则．根据特殊角的三角形函数值的运算法则计算即可．
【详解】解：
．
12. 如图，已知 AB//CD//EF，，BE=12，那么 CE 的长为_____.
【答案】
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例得到 即可计算出BC，然后利用CE=BE-BC进行计算．
【详解】∵AB∥CD∥EF，
∴,即
∴
∴
故答案为
【点睛】考查平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.
13. 如图，已知第一象限内的点在反比例函数上，第二象限的点在反比例函数上，且，，则的值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D，易证∽，则面积的比等于相似比的平方，然后根据反比例函数中比例系数k的几何意义即可求解．
【详解】解：作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D．
则∠BDO＝∠ACO＝90°，
则∠BOD＋∠OBD＝90°，
∵OA⊥OB，
∴∠BOD＋∠AOC＝90°，
∴∠OBD＝∠AOC，
∴∽，
∴，
又∵S△AOC＝×4＝2，
∴S△OBD＝，
∵第二象限的点在反比例函数上
∴k＝．
故答案为．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，以及反比例函数的比例系数k的几何意义，正确作出辅助线求得两个三角形的面积的比是关键．
14. 为提高公司经济效益，某公司决定对一种电子产品进行降价促销，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天可多售出5个．已知每个电子产品的固定成本为100元，当这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利32000元？若设降价后的销售单价为x元，则可列方程为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，根据总利润单个利润销售个数，根据题意找出销售一个电子产品的盈利和销售电子产品的个数，即可解题．
【详解】解：由题可知，销售一个电子产品的盈利为：元，
该电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天可多售出5个，
销售电子产品的个数为：个，
根据题意可列出方程：，
故答案为：．
15. 如图，在中，，，点D为边的中点，则的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了求角的正切值、等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理．作于点，利用等腰直角三角形的判定与性质得出，，然后通过，即可求得的值即可．
【详解】解：作于点，如图所示：
在中，，，
，
点D为边的中点，
，
于点，
，
，
，
．
故答案为：．
16. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，给出下列结论：
①；
②方程必有一个根大于2且小于3；
③若，是抛物线上的两点，那么；
④；
⑤对于任意实数m，都有，
其中正确结论的序号是________．
【答案】②④⑤
【解析】
【分析】本题以二次函数为背景考查了二次函数图象与系数的关系，运用待定系数法，二次函数图象与轴的交点，利用图象求出的范围即可判断①，根据图象和二次函数的对称轴可以判断②，根据开口方向和离对称轴的距离判断③，利用时的函数值和的取值范围判断④根据抛物线的最值可以判断⑤是解决问题关键．
【详解】①根据图象可知：，
∵对称轴是直线x=1，
即，
，
，故①错误；
②方程，即为二次函数与轴的交点，
根据图象已知一个交点，关于x=1对称，
∴另一个交点，故②正确；
③∵对称轴是直线，
∴点离对称轴更近，
∴，故③错误.
④，
∴，
，
根据图象，令
，
∴
，
，故④正确；
⑤∵对称轴是直线，
∴当时，y值最小，即为，
∴当时，，
即，
∴，故⑤正确；
综上②④⑤正确，
故答案为：②④⑤．
三、作图题（4分，用圆规和直尺作图，不写作法，保留痕迹）
17. 已知线段a，b，求作矩形ABCD，使对角线AC＝a，边BC＝b．
【答案】见解析
【解析】
【分析】首先作BC=b，过点B作BC的垂线BM，然后以C为圆心，a长为半径作弧，交BM的于点A，再过点A作BM的垂线AN，在AN上截取AD=BC=b，连接CD，即可得出所求作的矩形；
【详解】解：如图，矩形ABCD即为求作的图形；
【点睛】此题主要考查了作图-复杂作图，矩形的判定，熟练掌握用尺规作图过一点作已知直线的垂直线的方法是解题的关键．
四、解答题（本题满分68分）
18. （1）解方程：
（2）在平面直角坐标系中，将抛物线的图象向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴有且只有一个交点，求n的值．
【答案】（1）， （2）
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的解法和二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图象的平移；掌握二次函数图像与x轴有一个交点时是解题的关键．
（1）利用配方法解一元二次方程即可；
（2）设平移后的解析式为，利用列方程解题即可．
【详解】解：（1），
，
，
，
∴，；
（2）解：设平移后的解析式为，
∵平移后的图象与x轴有且只有一个交点，
∴，
解得．
19. 从甲、乙、丙、丁4名学生中选2名学生参加一次乒乓球单打比赛，求下列事件发生的概率．
（1）甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中丙的概率是 ；
（2）任意选取2名学生参加比赛，求一定有乙的概率．（用树状图或列表的方法求解）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用例举法例举所有的等可能的情况数，再利用概率公式进行计算即可；
（2）先列表得到所有等可能的情况数以及符合条件的情况数，再利用概率公式进行计算即可．
【小问1详解】
解：由甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，共有甲、乙，甲、丙，甲、丁三种等可能，符合条件的情况数有1种，
∴甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中丙的概率是
【小问2详解】
列表如下：
所有所有等可能的情况数有12种，符合条件的情况数有6种，
所以一定有乙的概率为：
【点睛】本题考查的是利用例举法，列表的方法求解简单随机事件的概率，概率公式的应用，掌握“例举法与列表法求解概率”是解本题的关键．
20. 在一次数学课外实践活动中，某小组要测量一幢大楼的高度，如图，在山坡的坡脚A处测得大楼顶部M的仰角是，沿着山坡向上走75米到达B处．在B处测得大楼顶部M的仰角是，已知斜坡的坡度（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）求大楼的高度．（图中的点A，B，M，N，C均在同一平面内，N，A，C在同一水平线上，参考数据：）
【答案】大楼的高度为92米
【解析】
【分析】过点B分别作BE⊥AC，BF⊥MN，垂足分别为E、F，通过解直角三角形表示出BF、AN、AE的长度，利用BF=NE进行求解即可．
【详解】
过点B分别作BE⊥AC，BF⊥MN，垂足分别为E、F，
四边形BENF为矩形，
设，
在中，
斜坡的坡度，即，
在中，
在中，
解得，
所以，大楼的高度为92米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，准确理解题意，能添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．
21. 如图，一次函数与反比例函数相交于A、B两点，与x轴，y轴分别交于D、C两点，已知，的面积为1．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）请直接写出使的x的取值范围．
【答案】（1），
（2）或 x>2
【解析】
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
（1）解直角三角形求出点坐标，再利用三角形的面积公式求出点坐标即可解决问题；
（2）解析式联立成方程组，解方程组求得点的坐标，然后根据图象即可求得．
【小问1详解】
解：由题意点，
在中, ，
，
，
，
，
，
把 代入得到 ，
∴一次函数的解析式为，
的面积为，设，
，
，
∴，
，
∵点在反比例函数图象上，
，
∴反比例函数的解析式为；
【小问2详解】
解 ，得 或 ，
∴，
观察图象，使 的的取值范围是或
22. 如图1，点P在正方形的对角线上，正方形的边长是a，的两条直角边，分别交边，于点M，N．
（1）操作发现：如图2，固定点P，使绕点P旋转．
①当，时，四边形的边长是________；
②当，（n是正实数）时，四边形的面积是________．
（2）猜想论证：如图3，将四边形的形状改变为矩形，，，点P在矩形的对角线上，的两条直角边，分别交边，于点M、N，固定点P，使绕点P旋转，则________．
【答案】（1）① ②
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用以及平行线分线段成比例定理，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，并根据两角对应相等判定两个三角形相似．
（1）①先判定，再根据相似三角形的对应边成比例进行求解；
②先用①中的方法求得正方形的边长，再计算其面积；
（2）过作于，作于，判定，再根据相似三角形的性质以及平行线分线段成比例定理进行推导计算即可．
【小问1详解】
①如图2，
，
，
，
又，
， 即 ，
，
即正方形的边长是 ，
故答案为： ；
②当时(是正实数), ，
，
∴四边形的面积，
故答案为：；
【小问2详解】
如图，过作于，作于，
则 ，
中, ，
，
，
∴
∵，，
，
∵
即 ，
，
故答案为：．
23. 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．
（1）求证：四边形ADBF是菱形；
（2）若AB＝8，菱形ADBF的面积为40，求AC的长．
【答案】（1）见解析 （2）10
【解析】
【分析】（1）证△AEF≌△DEC（AAS），得△AEF≌△DEC（AAS），再证四边形ADBF是平行四边形，然后由直角三角形斜边中线等于斜边的一半得证AD=BD=BC，即可由菱形判定定理得出结论；
（2）连接DF交AB于O，由菱形面积公式S菱形ADBF==40，求得OD长，再由菱形性质得OA=OB，证得OD是三角形的中位线，由中位线性质求解可．
【小问1详解】
证明：∵E是AD的中点，
∴AE=DE
∵AFBC，
∴∠AFE=∠DCE，
在△AEF和△DEB中，
，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF=CD，
∵D是BC的中点，
∴CD=BD，
∴AF=BD，
∴四边形ADBF是平行四边形，
∵∠BAC=90°，
∵D是BC的中点，
∴AD=BD=BC，
∴四边形ADBF是菱形；
【小问2详解】
解：连接DF交AB于O，如图
由（1）知：四边形ADBF是菱形，
∴AB⊥DF，OA=AB=×8=4， S菱形ADBF==40，
∴=40，
∴DF=10，
∴OD=5，
∵四边形ADBF是菱形，
∴O是AB的中点,
∵D是BC的中点，
∴OD是△BAC的中位线，
∴AC=2OD=2×5=10．
答：AC的长为10．
【点睛】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线的性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
24. 如图，为了绿化小区，某物业公司要在形如五边形的草坪上建一个矩形花坛．已知，，，，，．以所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，坐标原点为O．

（1）求直线AB表达式；
（2）若设点P的横坐标为x，矩形的面积为S．
①用x表示S；
②当x为何值时，S取得最大值？
【答案】（1）
（2）① ②当 时，矩形面积的最大值为：
【解析】
【分析】本题主要考查函数模型的建立和应用，主要涉及了用解析法解决平面问题，矩形面积公式，二次函数法求最值，以及数形结合的思想．
（1）依据题意, 由的坐标为，再利用待定系数法可以求得直线AB的解析式；
（2）①点的坐标可以表示为, 则 ，所以根据矩形的面积公式可以求得函数解析式为:
②利用①中的二次函数的性质来求的最大值．
【小问1详解】
由题意, ，
，
∴的坐标为、，
设直线AB的解析式为 则
，解得 ，
∴直线AB的解析式为 ；
【小问2详解】
①由题意, 设点的坐标为，
∵点在直线AB上，所以点的坐标可以表示为，
，，
；
②由
∴当 时，矩形面积的最大值为：
25. 小林同学是一名羽毛球运动爱好者，下面是他对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网AB与y轴的水平距离，，米，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系；若选择吊球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系，此时当羽毛球飞行的水平距离是1米时，达到最大高度3.2米．
（1）求吊球时羽毛球满足的二次函数的表达式；
（2）请通过计算说明两种击球方式是否过网；
（3）要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应该选择哪种击球方式．
【答案】（1）
（2）两种击球方式均能过网
（3）吊球的落地点距离点更近
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，合理理解二次函数在实际情况中的意义是本题解题的关键.
（1）依据题意, 二次函数的顶点为，从而可设二次函数的表达式为，又由一次函数关系，故令x=0得，，进而可得，求出可以得解；
（2）依据题意, 令 时，分别求出一次函数、二次函数上对应的函数值，结合球网AB的高度为米，可以判断得解；
（3）依据题意, 令，一次函数，从而 ， 再由二次函数 ，从而或 (舍去)，结合，进而计算可以得解.
【小问1详解】
由题意得, 二次函数的顶点为，
∴可设二次函数的表达式
又由一次函数关系 ，
∴令 x=0得, ，
∴，
，
，
∴吊球时羽毛球满足的二次函数的表达式为；
【小问2详解】
由题意，令 时，
一次函数 ，
二次函数 ，
又球网AB的高度为米，
∴两种击球方式均能过网；
【小问3详解】
令，一次函数 ，解得 ，
二次函数，解得或 (舍去)。
，
，，
，
，
∴吊球的落地点距离点更近．
26. 如图①，四边形中，，，，，．动点M在CB上运动，从C点出发到B点，速度为每秒；动点N在上运动，从B点出发到A点，速度为每秒．两个动点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t（秒）．
（1）当t为何值时，是直角三角形？
（2）设的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（3）如图②，连接BD，是否存在某一时刻t，使与BD互相垂直？若存在，求出这时的t值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）或
（2）
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）分两种情况：和，作于，根据直角梯形的性质和勾股定理求出AB的长； 然后运用的余弦求出时间即可；
（2）根据，代入数据整理即可；
（3）假设存在，经过推理求出时间．
【小问1详解】
分两种情况:①作于，
根据题意得，，
在 中，由勾股定理可得，
若
∴，
即，解得：；
②当 时,
，
解得：；
综上为 或 时，是直角三角形；
【小问2详解】
，
又∵从点运动到点的时间为秒，点从点运动到点所需的时间为10秒，依题意，两者取小值秒，
；
【小问3详解】
存某一时刻，使与BD互相垂直；理由如下：
当时，，
∴，
如图②, 过点作于,
依题意得：，，
，
解得： 秒，符合题意.，
∴存在，使与BD互相垂直．
【点睛】本题是四边形综合题，解答时用到锐角三角函数、二次函数、勾股定理．掌握分类讨论的数学思想是解题的关键．甲
乙
丙
丁
甲
甲、乙
甲、丙
甲、丁
乙
乙、甲
乙、丙
乙、丁
丙
丙、甲
丙、乙
丙、丁
丁
丁、甲
丁、乙
丁、丙