辽宁省沈阳市第一二六中学2024-2025学年八年级下学期3月考试 数学试卷（含解析）

这是一份辽宁省沈阳市第一二六中学2024-2025学年八年级下学期3月考试 数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）
1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了最简二次根式“1、被开方数的因数是整数，字母因式是整式；2、被开方数不含能开得尽方的因数或因式”，熟记最简二次根式的定义是解题关键．根据最简二次根式的定义逐项判断即可得．
【详解】解：A、是最简二次根式，则此项符合题意；
B、，则此项不是最简二次根式，不符合题意；
C、，则此项不是最简二次根式，不符合题意；
D、，则此项不是最简二次根式，不符合题意；
故选：A．
2. 在中、，，的对边分别为，，，下列条件不能判定为直角三角形的是（ ）
A. B. ，，
C. ，，D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理．理解和掌握勾股定理的逆定理是解题的关键，注意：如果一个三角形的两边、平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
根据三角形内角和定理可判断A，根据勾股定理的逆定理即可判断选项B，C，D．
【详解】解：A、∵，，
∴，
∴是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵，，，
∴，
∴，
∴以，，为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意；
C、∵，，
∴，
∴以，，边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵，
∴，
∴以，，为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意，
故选：B．
3. 在某校“人工智能与人类未来”的演讲比赛中，前6名同学的成绩（分）依次为：98、96、96、96、95、93，这组数据的众数、中位数依次为（ ）
A. 98、93B. 96、96C. 96、95D. 95，96
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查中位数，众数的定义，掌握相关定义是解题的关键．根据众数，中位数的定义求解．
【详解】解：将各数从大到小排列后得：98、96、96、96、95、93，其中96出现次数最多，众数为96，处于中间的两个数为96、96，中位数为．
故选：B．
4. 已知点关于x轴的对称点为点，则的值为（ ）
A. 8B. 7C. 6D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得m、n的值．
【详解】解：∵点关于x轴的对称点为点，
∴，
∴．
故选C．
5. 我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每人坐一辆车，那么有辆车空；如果每人坐一辆车，那么有人需要步行，问人与车各多少？设共有人，辆车．则可列方程组（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设共有人，辆车，根据题意可得，找准等量关系，正确列出方程组是解题的关键．
【详解】解：设共有人，辆车，
根据题意得：，
故选：．
6. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A. 的三条中线的交点B. 三条角平分线的交点
C. 三条高所在直线的交点D. 三边的中垂线的交点
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质，注意区分三角形中线的交点、高的交点、垂直平分线的交点以及角平分线的交点之间的区别是解题的关键．角平分线上的点到角的两边的距离相等，由此可解．
【详解】解：∵三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等，
∴要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在三条角平分线的交点．
故选：B．
7. 已知关于x的不等式是一元一次不等式，则m的值是（ ）
A. 1B. C. D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查一元一次不等式的定义，解题关键是掌握一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
根据一元一次不等式的定义，未知数的次数是1且系数不为0，得出，且，求解即可．
【详解】解：由题意，得，且，
∴，
故选：C．
8. 若，且是任意实数，则下列不等式总成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质进行计算，逐一判断即可解答．熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
【详解】解：A、∵，
∴当时，，
故A不符合题意；
B、∵，
∴当时，，
故B不符合题意；
C、∵，
∴，
故C符合题意；
D、∵，
∴当时，，
故D不符合题意；
故选：C．
9. 若点在第四象限，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 无解
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了点的坐标．根据第四项限内点的横坐标大于零，纵坐标小于零，可得不等式组，根据解不等式组，可得答案．
【详解】解：由在第四象限，得，
解得．
故选：C．
10. 在中，与的角平分线交于点，过点作交于点，交于点，且，，，下列结论：①和是等腰三角形；②；③的周长是；④，其中正确结论有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质，可得，，从而证得和是等腰三角形，得到①正确；根据题意，无法得到，得到②错误，根据等腰三角形的性质，可得，，故从而得到的周长，得到③正确；再根据角平分线的定义，三角形的内角和定理，可判断④正确，即可求解．
【详解】解：平分，平分，
，，
，
，，
，，
和是等腰三角形；故①符合题意；
，，故②不符合题意；
又，，
的周长为；故③符合题意；
，
，
，
；故④符合题意；
故选项①③④正确，符合题意，②错误，不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
二、填空题（共5小题，每题3分，共15分）
11. 16的算术平方根是___________．
【答案】4
【解析】
【详解】解：∵
∴16的平方根为4和-4，
∴16的算术平方根为4，
故答案为：4
12. 如图，，的垂直平分线交于点D，那么_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、三角形外角的性质、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
如图：记的垂直平分线交于点E．由等腰三角形的性质可得，由垂直平分线的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，最后根据三角形外角的性质即可解答．
【详解】解：如图：记的垂直平分线交于点E．
，
．
垂直平分，
，
，
．
故答案为：．
13. 如图，平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则不等式的解集为________．

【答案】
【解析】
【分析】不等式的解集就是图象的图象在的图象的下边的部分对应的自变量的取值范围．
【详解】直线与直线相交于点，
不等式的解集为．
故答案：．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与一元一次不等式，正确理解不等式的解集与对应的函数图象的关系是解题的关键．
14. 如果不等式组有且仅有4个整数解，那么m的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式组、不等式组的整数解，得到关于m的不等式组是解答的关键．先求得已知不等式组的解集，进而得到关于m的不等式组，然后解不等式组即可求解．
【详解】解：解不等式组，得，
∵已知不等式组有且仅有4个整数解，
∴，解得，
故答案为：．
15. 如图，在，，，，点D在线段上，点E在线段的延长线上，且，则的最小值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了轴对称求最短路径，勾股定理，含30度的直角三角形，等边三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，利用轴对称的性质坐辅助线，将求的最小值转化为求线段的长是解题关键．作点关于的对称点，连接、、，以和为邻边作平行四边形，由直角三角形，得出，，根据轴对称的性质，得到是等边三角形，再结合平行四边形的性质推出当、、三点共线时，有最小值，为的长，利用勾股定理求出的长即可．
【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接、、，以和为邻边作平行四边形，
在，，，
，
，
，，
由轴对称的性质可知，，，，，
，
是等边三角形，
，
四边形平行四边形，
，，，
，，
，
，
当、、三点共线时，有最小值，为的长，
，，
，
，
即的最小值为，
故答案为：．
三、解答题（共8小题，共75分，解答题应写明文字说明，演算步骤或推理说明）
16. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）4
【解析】
【分析】本题考查二次根式的混合运算、负整数指数幂，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解答的关键．
（1）利用二次根式的乘法、绝对值性质和负整数指数幂的运算法则求解即可；
（2）根据二次根式的运算法则求解即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
17. 解方程组：．
【答案】
【解析】
【分析】利用代入消元法求解即可．
【详解】解：
将代入，得，
解得，
将代入，得，
则方程组的解为．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，掌握消元的方法是解答本题的关键．
18. 解不等式组并写出不等式组的非负整数解．
【答案】，非负整数解为，，
【解析】
【分析】先解不等式组求出其解集，再结合解集可得答案．
【详解】解：
由①得：，
由②得：，
把它们的解集在数轴上表示，如图所示：
不等式组的解集为．
则其非负整数解为，，．
【点精】本题主要考查一元一次不等式组的非负整数解，解题的关键是准确求出不等式组的解集．
19. 如图，，，E是上的一点，且，．
（1）求证： ；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）6
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，理解并掌握全等三角形的判定与性质是解题关键．
（1）根据已知可得到从而利用判定两三角形全等；
（2）由三角形全等可得到对应角相等，对应边相等，由求得的长即可得到答案．
【小问1详解】
∵，，
，
，
．
【小问2详解】
由，
得，
又∵，，
．
20. 某中学为选拔“校园形象代言人”，先后进行了笔试和面试，在笔试中，甲、乙、丙三位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分为100分）分别是87，85，90．在面试中，十位评委对甲、乙、丙三位同学的表现进行打分，每位评委最高打10分，面试成绩等于各位评委打分之和．对三位同学的面试数据进行整理、描述和分析，并给出了相关信息．
c.甲、乙、丙三位同学面试情况统计表
根据以上信息，回答下列问题：
（1）_______，_______；
（2）求丙同学的面试成绩；
（3）通过比较方差，可判断评委对学生面试表现评价的一致性程度．据此推断评委对______同学的评价更一致（填“甲”、“乙”或“丙”）；
（4）按笔试成绩占，面试成绩占选出综合成绩最高的同学是_____（填“甲”、“乙”或“丙”）．
【答案】（1）9，8 （2）丙同学的面试成绩为83分
（3）乙 （4）乙
【解析】
【分析】本题考查折线统计图，中位数、方差以及加权平均数，理解中位数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提．
（1）根据中位数的定义可得m的值， 根据众数的定义可得 n的值；
（2）把十位评委的打分相加即可得丙的得分；
（3）先求出乙的方差，根据方差的意义解答即可；
（4）根据加权平均数公式计算即可得出结论．
【小问1详解】
解∶由折线统计图得，甲的得分是7，10，10，7，9，9，8，9，10，6，
把甲的得分从小到大排列，排在中间的两个数分别是9，9，故中位数，
乙的得分是8，8，9，10，8，10，9，8，9，8，
其中8出现次数最多，故众数．
故答案为：9，8；
【小问2详解】
解∶ 丙同学的面试成绩（分），
答∶丙同学的面试成绩为83分；
小问3详解】
解∶乙的平均得分为（分），
乙的方差为，
，可知，乙的得分的波动比甲和丙小，
所以甲、乙、丙三位同学中，评委对乙的评价更一致，
故答案为∶乙．
【小问4详解】
解∶ 甲的综合成绩为∶ (分)，
乙的综合成绩为∶ (分)，
丙的综合成绩为∶ (分)，
．
所以综合成绩最高的是乙．
故答案为∶乙．
21. 某中学为落实教育部出台的《关于全面加强和改进新时代学校卫生与健康教育工作的意见》，保障学生每天在校内，校外各有1个小时的体育活动时间，决定购买一定数量的篮球和足球供学生使用．已知购买1个篮球和2个足球需花费260元，购买3个篮球和5个足球需花费700元．
（1）购买一个篮球和一个足球各需花费多少元？
（2）如果学校购买篮球和足球的总费用不超过2000元，且购买足球15个，那么最多可以购买多少个篮球？
【答案】（1）100元，80元
（2）8个
【解析】
【分析】本题主要考查二元一次方程组，一元一次不等式的运用，理解数量关系，正确列式是解题的关键．
（1）设购买一个篮球元，购买一个足球元，由此列方程组即可求解；
（2）设最多可以购买个篮球，由此列不等式求解即可．
【小问1详解】
解：设购买一个篮球元，购买一个足球元，
∴，
解得，，
∴购买一个篮球元，购买一个足球元．
【小问2详解】
解：设最多可以购买个篮球，
∴，
解得，，
∴最多可以购买个篮球．
22. 已知直线与直线交于点．
（1）求点的坐标；
（2）如图，直线的图象交轴于点，交轴于点，点在线段上运动，过点作轴的垂线交直线于点，交直线于点．
①当点的坐标是，则的面积为 ；
②以为直角边作等腰直角三角形，点在第一象限内，直接写出点的坐标．
【答案】（1）
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）联立方程组求解即可；
（2）①根据题意可得，，点到的距离为，由三角形面积公式即可求解；②根据题意得到∴，分类讨论：当，，，点在第一象限内时, 是以为直角边作等腰直角三角形，如图所示，，过点作轴于点，过点作轴于点，可证，得到，可得点的坐标；当，，，点在第一象限内时,是以为边的等腰直角三角形，如图所示，，过点作轴于点，过点作延长线于点，可证，得，，再证四边形是矩形，得，可得点的坐标．
【小问1详解】
解：直线与直线交于点，
∴，
解得，，
∴，
∴点的坐标；
【小问2详解】
解：①∵点在线段上运动，过点作轴的垂线交直线于点，交直线于点，点的坐标是，
∴当时，，，
∴，，
∴，且，
∴点到的距离为，
∴的面积；
②直线的图象交轴于点，交轴于点，
∴当时，，当时，，
∴，
当，，，点在第一象限内时, 是以为直角边作等腰直角三角形，如图所示，，过点作轴于点，过点作轴于点，
∴，，
∴，
又，
∴，
∴，
∴；
当，，，点在第一象限内时,是以为边的等腰直角三角形，如图所示，，过点作轴于点，过点作延长线于点，
∴，，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴与轴交于点，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴；
综上所述，点的坐标为．
【点睛】本题主要考查两直线交点与二元一次方程组，一次函数与几何图形面积的计算，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握一次函数图象的性质，数学结合，分类讨论思想是解题的关键．
23. 在中，分别为边上的两动点，
（1）如图1，过点作分别交于点，当时，求证：；
（2）如图2，过点作交的延长线于点，是边上的一动点，且，以为斜边向左作等腰，连接，求证：；
（3）如图3，以为边向左作等边，连接，当时，且点在直线上运动时，直接写出的最小值．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余及等腰三角形的性质证明，再由得，再根据 ，即可证明；
（2）过点作交于点，连接，先证明，可得，，可得，最后证明，利用全等三角形的性质即可证明；
（3）如图，先证明，可得，从而是直线上的一个动点，根矩垂线段最短可得有最小值为，最后结合勾股定理及直角三角形中角所对直角边等于斜边的一半即可求解．
【小问1详解】
证明：，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
．
【小问2详解】
证明：如图，过点作交于点，连接，
，
，
又，
，
又，
，
，
，，
，
，
，，
，
，，
，
，
．
【小问3详解】
解：如图，以作等边三角形，则为定点，且，
作交延长线于点，连接，过点作交的延长线于点，
，均为等边三角形，
，，，
，
，
，
是直线上的一个动点，
由垂线段最短可知，当点与点重合时，有最小值为，
在中，，
，，
，
，，
，
，
，
即的最小值为．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形的内角和定理及外角性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，垂线段最短等知识，作出辅助线，得到点P的运动路线是解答的关键是解决本题的关键．同学
评委打分的中位数
评委打分的众数
面试成绩
方差
甲
9和10
85
乙
8
87
丙
8