广东省广州市天河区广州中学2024-2025学年九年级下学期2月月考 数学试卷（含解析）

这是一份广东省广州市天河区广州中学2024-2025学年九年级下学期2月月考 数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．窗花是中国传统民间艺术之一，下列四个窗花作品既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列诗句所描述的事件中，是不可能事件的是（ ）
A．手可摘星辰B．黄河入海流C．大漠孤烟直D．鱼戏莲叶东
3．函数的图象经过点（－4，6），则下列个点中在图象上的是（ ）
A．（3，8 ）B．（－3，8）C．（－8，－3）D．（－4，－6）
4．关于x的一元二次方程有一个根是0，则a值为（ ）
A．0B．1或C．D．1
5．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为和，另一个三角形的最长边长为，则它的最短边为（ ）
A．B．C．D．
6．把抛物线y＝2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为（ ）
A．y＝2（x+3）2+4B．y＝2（x+3）2﹣4C．y＝2（x﹣3）2﹣4D．y＝2（x﹣3）2+4
7．如图已知扇形的半径为，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个圆锥的侧面，则围成的圆锥的底面积为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，将绕B点顺时针方向旋转一个角α到，点A的对应点D恰好落在上，且．若，则α的度数为（ ）
A．30°B．40°C．45°D．36°
9．在等腰三角形ABC中，AC=BC=2，D是AB边上一点，以AD为直径的⊙O恰好与BC相切于点C，则BD的长为（ ）
A．1B．C．2D．
10．定义：由a，b构造的二次函数叫做一次函数的“滋生函数”．若一次函数的“滋生函数”是，t是关于x的方程的根，且，则的值为（ ）
A．0B．1C．D．
二、填空题（本大题共6小题）
11．已知点与关于原点对称，则 ．
12．在一个不透明的袋子里装有红球黄球共10个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.3左右，则袋子中红球的个数可能是 个．
13．已知方程的一个根为1，则方程的另一个根为 ．
14．如图，一名男生将实心球从A处掷出，球所经过的路线是抛物线的一部分，则这个男生将球掷出的水平距离为 m．
15．过坐标原点，与轴、轴相交于点A、B，且，反比例函数的图象经过圆点，作射线，则图中阴影部分面积为 ．
16．如图，直角三角形中，，，长为4，射线，点为射线上一点，过点作于点，连接，点为中点，则的最小值为 ．
三、解答题（本大题共9小题）
17．解方程：．
18．如图，在边长为1的小方格中建立直角坐标系，点，，将绕点逆时针旋转，得到（点对应点，点对应点）．
(1)在图中作出，并直接写出点的坐标：
(2)连接，求的度数．
19．中国古代有着辉煌的数学成就，《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》等是我国古代数学的重要文献．
(1)小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，则他选中《九章算术》的概率为 ；
(2)某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，求恰好选中《九章算术》和《孙子算经》的概率．
20．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若为正整数，且该方程的根都是整数，求的值．
21．如图，一次函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于和两点，与轴交于点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)若点在轴上，且的面积为6，求点的坐标．
22．综合与实践
【问题背景】以函数的角度来看待和解决问题．
（1）通过观察以下一位数的积：，，…，，．其中每个式子中的两数之和为10，推测在这些式子中，乘积最大的算式是________．（只需填符合的算式，不需要算出结果）
（2）通过观察以下两位数的积：，，…，，．其中每个式子中的两数之和为30，推测在这些式子中，乘积最大的算式是________．（只需填符合的算式，不需要算出结果）
【初步探讨】以问题（2）为例，设第一个数为x，写出你对问题（2）的猜想（包括条件和结论）．尝试用二次函数的知识证明你对问题（2）的猜想；
【实践应用】（3）物理电路理论知识中有以下几个结论：串联电路的总电阻等于各串联电阻之和；并联电路总电阻的倒数等于各并联电阻的倒数之和；电压一定的情况下，电流与电阻成反比关系．在如图1所示的电路中，Ω，Ω，滑动变阻器的最大电阻Ω，其等效电路图如图2所示，其中，在滑片从a端滑到b端的过程中，设Ω，请你结合电路知识以及函数知识来说明，当两支路的电阻相等时，电流表示数最小，并求出电流表示数的最小值．
23．如图，是的直径，是上一点，是的中点，过点作的垂线，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径长．
24．已知抛物线，（）．
(1)求该二次函数的顶点坐标（用含式子表示）；
(2)若的值为1时，该二次函数的图象与轴交于、两点（点在点左边），与轴交于点，在对称轴上是否存在点，使得为，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由；
(3)若的值为1时，把该二次函数的图象往上平移个单位长度后，当时，该二次函数上存在两个点其纵坐标都为横坐标的两倍，求的取值范围．
25．如图四边形是边长为2为正方形，该正方形绕点顺时针旋转一个角度（）得正方形，连接、相交于点．
(1)若旋转角为，求大小；
(2)在旋转过程中，
①求证：；
②连接，探究、、之间的数量关系，并说明理由．
参考答案
1．【答案】D
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．该图是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D．该图既是中心对称图形也是轴对称图形，故本选项符合题意．
故此题答案为D．
2．【答案】A
【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【详解】解：A、手可摘星辰是不可能事件，故本选项符合题意；
B、黄河入海流是必然事件，故本选项不符合题意；
C、大漠孤烟直是随机事件，故本选项符合题意；
D、鱼戏莲叶东是随机事件，故本选项不符合题意；
故此题答案为A
3．【答案】B
【详解】根据题意得：k=，即两坐标之积为-24.则B选项符合：.
故此题答案为B.
4．【答案】D
【分析】根据一元二次方程的定义可得，再把代入方程，解关于a的方程即可．
【详解】∵关于x的一元二次方程有一个根是0，
∴，
解得：．
故此题答案为D
5．【答案】C
【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解即可．
【详解】解：设另一个三角形的最短边长为，
根据题意得：，
解得：，
∴另一个三角形的最短边长为，
故此题答案为C．
6．【答案】A
【详解】解：把抛物线y=2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数解析式为y=2（x+3）2+4．
故此题答案为A．
7．【答案】A
【分析】根据弧长公式即可求出圆锥的底面周长，从而求出圆锥的底面半径，根据圆的面积公式即可求出结论．
【详解】解：圆锥的底面周长为，
设圆锥的底面半径为r，则，
解得，r=2，
∴圆锥的底面积为 .
故此题答案为A．
8．【答案】B
【分析】首先利用旋转的性质和等腰三角形的性质得到，，然后利用已知条件可以求出，然后利用三角形内角和定理列式计算即可求解．
【详解】解：∵将绕点B顺时针旋转到，，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得，
故此题答案为B．
9．【答案】B
【分析】连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠B，∠A＝∠ACO，推出∠COB＝2∠B，根据切线的性质得到∠OCB＝90°，求得∠B＝30°，根据直角三角形的性质得到结论．
【详解】解：如图，连接OC，
∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∵∠COB＝∠A+∠ACO＝2∠A，
∴∠COB＝2∠B，
∵⊙O与BC相切于点C，
∴∠OCB＝90°，
∴∠COB+∠B＝2∠B+∠B＝90°，
∴∠B＝30°，
∴OC＝BC＝，
∴OB＝2OC＝，
∴BD＝OB﹣OD＝，
故此题答案为B．
10．【答案】A
【分析】根据“滋生函数”的定义找出等量关系．根据“滋生函数”的定义可得，从而可得关于，的二元一次方程组，求出，的值，进而求解．
【详解】解：的“滋生函数”是，
，即，
解得，
是关于的方程的根，
，即，
．
故此题答案为A．
11．【答案】
【分析】根据平面直角坐标系中，关于原点对称的点横、纵坐标都互为相反数，求出a，b的值即可．
【详解】解：∵点与关于原点对称，
∴，，
∴．
12．【答案】
【分析】根据红球出现的频率和球的总数，即可求出红球的个数．
【详解】解：∵摸出红球的频率稳定在左右，
∴摸出红球的概率为，
∴袋子中红球的个数为（个）
13．【答案】
【分析】如果一元二次方程的两根为，，则+．
根据一元二次方程根与系数的关系得到，再代入求解即可．
【详解】解：由题意得，
∵一个根为1，
∴另一个根为
14．【答案】13
【分析】球的落地点为，解一元二次方程即可．
【详解】时，，
解得（舍去），
∴，
∴，
∴，
∴球掷出的水平距离OB为
15．【答案】
【分析】连接，易得是直径，根据勾股定理，可求出半径，再求出的面积和扇形的面积即是阴影部分的面积．
【详解】连接，如图所示，

，
是直径，
，
根据勾股定理，得，
半径为，
根据图形的对称性可将阴影部分转换为一个等腰直角三角形和一个四分之一圆，则：
．
16．【答案】
【分析】延长交于点N，连接，易得四边形是平行四边形，进而得到三点共线，再利用直角三角形的性质得到，当时，有最小值，即有最小值，求出，即可求出，利用勾股定理即可求出，即可解答．
【详解】解：延长交于点N，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵点为中点，
∴三点共线，
∵，
∴，
当时，有最小值，即有最小值，
∵中，，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为
17．【答案】，
【分析】根据因式分解法解答即可．
【详解】解：，
，
或，
，．
【知识归纳】因式分解‌：把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式.‌
18．【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据旋转的性质作图即可；由图形即可得到点的坐标；
（2）连接，由旋转的性质得到，推出是等腰直角三角形，即可解答．
【详解】（1）解：如图，即为所求，
由图形可得点的坐标为：；
（2）解：如图，连接，
由旋转的性质得到，
∴是等腰直角三角形，
∴．
19．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据小聪选择的数学名著有四种可能，而他选中《九章算术》只有一种情况，再根据概率公式详解即可；
（2）此题需要两步完成，所以可采用树状图法或者采用列表法求解．
【详解】（1）解：小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，则他选中《九章算术》的概率为．
（2）将四部名著《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《孙子算经》分别记为A，B，C，D，记恰好选中《九章算术》和《孙子算经》为事件M．
根据题意可以画出如下的树状图：
由树状图可以看出，所有可能的结果有12种，并且这12种结果出现的可能性相等，所有可能的结果中，满足事件M的结果有2种，即，，
∴
20．【答案】（1）k＜；（2）2
【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围；
（2）找出k范围中的整数解确定出k的值，经检验即可得到满足题意k的值．
【详解】解：（1）∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴．
解得：k＜；
（2）∵k为正整数，
∴k=1或2．
当k=1时，方程为，两根为，非整数，不合题意；
当k=2时，方程为，两根为或，都是整数，符合题意．
∴k的值为2．
21．【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）先把代入中求出，得到，然后把代入中求出的值得到反比例函数的表达式即可；
（2）求得点的坐标，设点，则，根据三角形的面积公式求得的值，进而可得到点的坐标．
【详解】（1）解：把代入得，，
，
点坐标为，
把代入得，，
解得：，
反比例函数的解析式为：；
（2）解：在直线中，令，则，
解得：，
点坐标为，
设点，则，
的面积为6，
，
解得：或，
坐标为或．
22．【答案】（1）；（2）；【初步探讨】猜想：若两数和为30，当这两数相等时，它们的乘积最大．证明见解析；（3）2A
【分析】（1）分别计算即可发现规律；
（2）分别计算即可发现规律；
由题意，建立数学模型，利用二次函数知识解答即可；
（3）设Ω，利用物理知识和分式加减知识，求出总电流为I，与x的函数关系式，再利用二次函数知识求最值即可．
【详解】解：（1）由，，…，，可知，当的值最大，
故答案为：；
（2）由，，，，，…，，，
可知，当的值最大，
故答案为：；
【初步探讨】猜想：若两数和为30，当这两数相等时，它们的乘积最大．
证明：设第一个数为x，则另一个数为，它们的积为y，
则有．
∵，则抛物线开口向下，
∴当时，y取最大值，为225，
此时这两数分别为15及，两数相等，
∴当这两数相等时，它们的乘积最大．
（3）设Ω，则Ω，，设总电流为I，则
．
由分式的性质可知，若分子为不变的正数，则分母最大时，分式最小．
设．
∵，则抛物线W开口向下，且，
∴当时，W取最大值为25，此时I取最小值为（A），两支路电阻分别为（Ω）和（Ω），两支路电阻相等，
∴当两支路的电阻相等时，电流表示数最小，最小值为2A．
23．【答案】(1)见解析
(2)的半径长为
【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，得到，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理得到是的切线；
（2）连接，，根据垂直的定义得到，根据勾股定理求出的长，得到，根据相似三角形的性质即可得到结论
【详解】（1）解：连接，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的切线，
∴是的切线，
（2）解：连接，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：的半径长为．
24．【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式即可得出结果；
（2）根据题意得到抛物线的解析式，先求出点C的坐标，设设，再求出直线的解析式，过点A作交于点Q，分别过点作轴的垂线，垂足分别为，证明，求出点Q的坐标，即可求出的值，金额得到点P的坐标；
（3）根据题意得到抛物线的解析式，求出平移后的解析式，当时，该二次函数上存在两个点其纵坐标都为横坐标的两倍，即当时，方程有两个不相等的实数根，利用判别式即不等式组求解即可．
【详解】（1）解：，
则该二次函数的顶点坐标为；
（2）解：存在点坐标为或时，为，理由如下：
由题意得：抛物线解析式为：，
则抛物线图象的对称轴为，
根据题意，设，直线的解析式为，
将代入，则，
∴，
当时，解得
∴
将代入，
则，解得，
∴直线的解析式为，
过点A作交于点Q，分别过点作轴的垂线，垂足分别为，
当点在x轴上方时，如图，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
将代入，则，
解得：或（舍去）；
当点在x轴下方时，如图，
同理得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
将代入，则，
解得：或（舍去）；
综上，当点坐标为或时，为；
（3）解：由题意得：抛物线解析式为：，
则二次函数的图象往上平移个单位长度后，抛物线解析式为：，
当时，该二次函数上存在两个点其纵坐标都为横坐标的两倍，
则当时，方程有两个不相等的实数根，
即当时，方程有两个不相等的实数根，
∴，即，
∴；
解方程的
解得：或，
∴，即；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
解得：，
综上，的取值范围为．
25．【答案】(1)
(2)①见解析；②
【分析】（1）由旋转的性质结合等腰三角形的性质，利用三角形内角和定理求出，由补角的定义即可求解；
（2）①过点作交延长线于点，过点作垂足为，证明，推出，再证明，即可证明结论；②在①的基础上，过点作于点K，连接，易证是等腰三角形，推出，证明，是等腰三角形，利用等腰三角形三线合一求出，求出，再证明，推出，即可得出结论．
【详解】（1）解：由旋转的性质得：，，
∴，
∴，
∴；
（2）①证明：如图，过点作交延长线于点，过点作垂足为，
由（1）知，
∵，
∴，
由旋转的性质得：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②如图，在①的基础上，过点作于点K，连接，
由旋转的性质得：四边形，四边形都是边长为2的正方形，
∴，，
∴是等腰三角形，
∴，
∴，即，
由①知：，
∵，
∴，
∴，
∵是等腰三角形，，
∴，，
∴，
由旋转的性质得：，
∴是等腰三角形，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，即，
∴，即，
由①知，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即．