初中数学苏科版（2024）八年级下册矩形、菱形、正方形说课课件ppt

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理解正方形的概念、性质
探索并证明正方形的判定定理：有一组邻边相等的矩形是正方形
有一个角是直角的菱形是正方形
正方形的概念、性质与判定
正方形： 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 如图，四边形ABCD是正方形，即正方形ABCD。
正方形的判定定理： 于是，我们得到如下定理： 有一组邻边相等的矩形是正方形； 有一个角是直角的菱形是正方形。
符号语言：∵四边形ABCD是矩形，AB = BC，∴矩形ABCD是正方形；
符号语言：∵四边形ABCD是菱形，AC⊥BD，∴菱形ABCD是正方形。
平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系如图。
正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质。
正方形的边、角和对角线各具有什么性质？
① 正方形的边、角：四条边相等，四个角都是直角；② 正方形的对角线：对角线相等且互相垂直平分， 每一条对角线平分一组对角。
正方形是中心对称图形吗？是轴对称图形吗？
正方形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点；
正方形是轴对称图形，有四条对称轴，分别是两条对角线所在的直线，每组对边中点连线所在的直线。
例5 已知：如图，在正方形ABCD中，点A'、B'、C'、D'分别在AB、BC、CD、DA上，且AA' = BB' = CC' = DD'。求证：四边形A'B'C'D'是正方形。
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90° (正方形的四个角都是直角)， AB = BC = CD = DA (正方形的四条边相等)。∵AA' = BB' = CC' = DD'，∴D'A = A'B = B'C = C'D。∴△AA'D'≌△BB'A'≌△CC'B'≌△DD'C'。∴D'A' = A'B' = B'C' = C'D'。 ∴四边形A'B'C'D'是菱形 (四边相等的四边形是菱形)。
由△AA'D'≌△BB'A'，可得∠2 = ∠3。∵∠A = 90°， ∴∠1 + ∠2 = 90°。 ∴∠1 + ∠3= 90°。 ∴∠D'A'B' = 90°。∴菱形A'B'C'D'是正方形 (有一个角是直角的菱形是正方形)。
还有其他方法证明例5的结论吗？
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90° (正方形的四个角都是直角)， AB = BC = CD = DA (正方形的四条边相等)。∵AA' = BB' = CC' = DD'，∴D'A = A'B = B'C = C'D。∴△AA'D'≌△BB'A'≌△CC'B'≌△DD'C'。∴∠2 = ∠3。
∵∠A = 90°， ∴∠1 + ∠2 = 90°。 ∴∠1 + ∠3= 90°。 ∴∠D'A'B' = 90°。同理：∠A'B'C' = ∠B'C'D' = 90°。∴四边形A'B'C'D'是矩形 (三个角是直角的四边形是矩形)。由△AA'D'≌△BB'A'，可得D'A' = A'B'。∴矩形A'B'C'D'是正方形 (有一组邻边相等的矩形是正方形)。
1.根据图形所具有的性质，在下表相应的空格中打“ √”。
2.一个矩形的两条对角线互相垂直，证明这个矩形是正方形。
3.一个菱形的两条对角线相等，证明这个菱形是正方形。
下列关于特殊平行四边形的判定说法中，正确的是（　　）A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形C．对角线相等的四边形为矩形D．四个内角相等的四边形为矩形
解：A、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，原说法×；B、反例：等腰梯形，原说法×；C、对角线相等的平行四边形为矩形，原说法×；D、四个内角相等的四边形为矩形，√。
如图，已知在△ABC中，∠ACB = 90°，∠CAB和∠ABC的平分线相交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，求证：四边形CEDF正方形。
解：如图，过D作DG⊥AB，交AB于点G，∵∠ACB = 90°，DE⊥BC，DF⊥AC，∴∠ACB = ∠DEC = ∠DFC = 90°，∴四边形CEDF为矩形，∵AD平分∠CAB，DF⊥AC，DG⊥AB，∴DF = DG，∵BD平分∠ABC，DG⊥AB，DE⊥BC，∴DE = DG，∴DE = DF，∴矩形CEDF是正方形 (有一组邻边相等的矩形是正方形)。
如图，四边形ABCD是平行四边形，AE // BD，AE与CB的延长线交于点E，DE交AB于F。( 1 ) 求证：BC = BE；( 2 ) 连接CF，若∠ADF = ∠BCF且AD = 2AF，求证：四边形ABCD是正方形。
证明：( 1 ) ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD // BC，AD = BC，∵AE // BD，∴四边形AEBD是平行四边形，∴AD = EB，∴BC = BE；
如图，四边形ABCD是平行四边形，AE // BD，AE与CB的延长线交于点E，DE交AB于F。( 2 ) 连接CF，若∠ADF = ∠BCF且AD = 2AF，求证：四边形ABCD是正方形。
∴EF = CF = FD，∴∠FDC = ∠FCD，∴∠ADF + ∠FDC = ∠BCF + ∠FCD， 即∠ADC = ∠BCD，∵AD // BC，∴∠ADC + ∠BCD = 180°，∴∠BCD = 90°，∴平行四边形ABCD是正方形 (有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形-定义)。
正方形： 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 如图，四边形ABCD是正方形，即正方形ABCD。
正方形的判定定理： 于是，我们得到如下定理： (一)有一组邻边相等的矩形是正方形； (二)有一个角是直角的菱形是正方形。
正方形的性质： ① 正方形的边、角：四条边相等，四个角都是直角； ② 正方形的对角线：对角线相等且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。
正方形的对称性： ① 正方形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点； ② 正方形是轴对称图形，有四条对称轴， 分别是两条对角线所在的直线，每组对边中点连线所在的直线。