广东省广州华南师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

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这是一份广东省广州华南师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题: 本题共8小题, 每小题5分, 共40分．在每小题给出的四个选项中, 只有一个是符合要求的．
1．已知集合，则（）
A．B．C．D．
2．函数是定义在上的奇函数，当时，，则（）
A．B．C．D．
3．直线的倾斜角为（）
A．B．C．D．
4．已知直线平分圆的周长，则（）
A．2B．4C．6D．8
5．双曲线的一条渐近线为，则的离心率为（）
A．B．C．2D．4
6．若是第二象限角，且，则（）
A．B．C．D．
7．如图，在正三棱柱中，为棱的中点，为棱上靠近点的一个三等分点，若记正三棱柱的体积为，则四棱锥的体积为（）
A．B．C．D．
8．已知是椭圆的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
二、选择题: 本题共3小题, 每小题6分, 共18分．在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求．全部选对的得6分, 部分选对的得部分分, 有选错的得0分．
9．已知向量，，则（）
A．若，则B．若，共线，则
C．不可能是单位向量D．若，则
10．已知，为正实数，，则（）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最小值 D．的最小值为
11．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积. 如下图，已知椭圆的左、右焦点分别为，上、下顶点分别为，左、右顶点分别为，，，设的离心率为，则（）
A．若，则
B．四边形的面积与的面积之比为
C．四边形的内切圆方程为
D．设椭圆外阴影部分的面积为，椭圆内阴影部分的面积为，则
三、填空题: 本题共3小题, 每小题5分, 共15分．
12．直线恒过的定点坐标为 .
13．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为 .
14．已知椭圆的一个焦点为，短轴的长为，，为上异于，的两点. 设，，且，则的周长的最大值为 .
四、解答题: 本题共6小题, 共70分．解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤．
15. （本题满分 13分）
记的内角，，所对的边分别为，，，且.
（1）求；
（2）若为边上一点，，，，求.
16. （本题满分15分）
已知直线经过点与点，圆与轴相切于点，且圆心在直线上.
（1）求圆的方程；
（2）圆与圆相交于，两点，求两圆的公共弦的长.
17. （本题满分15分）
（本题不能使用空间向量）
如图，在三棱柱中，底面中角为直角，，侧面底面，，直线与平面所成角为.
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的正弦值.
18. （本题满分17分）
已知椭圆的焦点为，，左、右顶点分别为，点为椭圆上异于的动点，的周长为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线交直线于点，连接交椭圆于点，直线，的斜率分别为，.
（i）求证：为定值；
（ii）设直线，证明：直线过定点.
19. （本题满分17分）
若坐标平面内的曲线与某正方形四条边的所在直线均相切，则称曲线为正方形的一条“切曲线”，正方形为曲线的一个“切立方”.
（1）试写出圆的一个切立方的四条边所在直线的方程；
（2）已知正方形的方程为，且正方形为双曲线的一个“切立方”，求双曲线的离心率的取值范围；
（3）已知为函数的图像上任一点，则函数在点处的切线方程为. 若奇函数的定义域为，且在时，设函数的图像为曲线，试问曲线是否存在切立方，并说明理由.