（艺考）新高考数学一轮复习考点题型突破练习专题38 圆锥曲线常规解答题（2份，原卷版+解析版）

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一、直线与圆锥曲线的位置关系的判断
判断直线与圆锥曲线的位置关系时，通常将直线的方程
代入圆锥曲线的方程，消去（也可以消去）得到关系一个变量的
一元二次方程，，即，消去后得
（1）当时，即得到一个一元一次方程，则与相交，且只有一个交点，此时，
若为双曲线，则直线与双曲线的渐近线平行；若为抛物线，则直线与抛物线
的对称轴平行
（2）当时，，直线与曲线有两个不同的交点；，直线与曲
线相切，即有唯一的公共点（切点）；，直线与曲线
二、圆锥曲线的弦
连接圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦
直线，曲线为与的两个不同的交点，坐标分别为，则是方程组的两组解，
方程组消元后化为关于的一元二次方程（），判别式
，应有，所以是方程的根，由根与系数关
系（韦达定理）求出，所以两点间的距离为
，即弦长公式，弦长
公式也可以写成关于的形式
三、定值问题
解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决．证明过程可总结为“变量—函数—定值”，具体操作程序如下：
（1）变量----选择适当的量为变量．
（2）函数----把要证明为定值的量表示成变量的函数．
（3）定值----化简得到的函数解析式，消去变量得到定值．
求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值．
四、求最值问题常用的两种方法
（1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形性质来解决，这是几何法．
（2）代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求该函数的最值．求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等，这就是代数法．
五、求定值、最值等圆锥曲线综合问题的“三重视”
（1）重视定义在解题中的作用（把定义作为解题的着眼点）．
（2）重视曲线的几何特征特别是平面几何性质与方程的代数特征在解题中的作用．
（3）重视根与系数的关系在解题中的作用（涉及弦长、中点要用根与系数的关系）．
【典例例题】
例1．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点到一条渐近线的距离为1，点，且.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线 与双曲线交于两点（异于点），且直线的斜率之和为，求直线的方程.
【解析】（1）由双曲线的方程得渐近线方程为：，取其中一条，
则由点到一条渐近线的距离为1及有：
，
又，所以，
又，
在中，，由余弦定理得：
，
即
解得，所以，
所以双曲线的方程为：.
（2）设，
联立消去整理得：
，
则或，
则，
又
所以
，
整理得：，
解得（舍去）或，
所以直线的方程为：.
例2．（2023·宁夏吴忠·高三青铜峡市高级中学校考期末）已知椭圆的四个顶点构成的四边形的面积为，离心率为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过椭圆C右焦点且倾斜角为的直线l交椭圆C于M、N两点，求的值．
【解析】（1）由题得，解得，
∴椭圆C的标准方程为．
（2）由（1）知椭圆C的右焦点坐标为，
则直线l的方程为，
设，
联立，化简得，
，．
．
例3．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为，点在抛物线C上，且.
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)若直线与抛物线交于两点，求的面积.
【解析】（1）由抛物线的定义可得，
因为，所以，解得，
故抛物线的标准方程为.
（2）设，由（1）知.
由，得，,
则，，
所以,
所以
,
因为点到直线的距离,
所以的面积为.
例4．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为.
(1)求；
(2)斜率为的直线过点，且与抛物线交于两点，求线段的长.
【解析】（1）为抛物线的焦点，，解得：.
（2）由（1）知：抛物线；
直线，
由得：，
设，，则，
，.
例5．（2023·全国·高三专题练习）已知中心为坐标原点，焦点在坐标轴上的椭圆经过点，．
(1)求的方程；
(2)已知点，直线与交于两点，且直线的斜率之和为，证明：点在一条定抛物线上．
【解析】（1）依题意设的方程为，
因为经过点，，
所以，解得，
故的方程为．
（2）证明：设直线的斜率分别为，，，．
将代入，得．
由题设可知，，，
所以
，
所以，
所以．
因为，
所以，
所以，
故点在抛物线上，即点在一条定抛物线上．
例6．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点，为坐标原点，、是抛物线上异于的两点．
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线、的斜率之积为，求证：直线过轴上一定点．
【解析】（1）根据题意，，则，故抛物线方程为：.
（2）显然直线的斜率不为零，且不过原点，故设其方程为，
联立抛物线方程可得：，时，
设两点的坐标分别为，则，，
由题可知，，即，解得，此时满足，
故直线恒过轴上的定点.
例7．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知点A，B在抛物线：上，抛物线C在A，B处的切线分别为，，且，交于点P.
(1)若点，求的长；
(2)从下面①②中选取一个作为条件，证明另外一个成立.
①直线AB过抛物线C的焦点；②点P在抛物线C的准线上.
【解析】（1）抛物线：的焦点，准线，
设，，
∵，即，所以，
∴抛物线C在A处的切线斜率，切线方程是，即.
同理可得：抛物线在B处的切线方程是.
联立方程，解得，即，
又∵，则，即，可得，
∴.
（2）①→②：
∵，，
∴，，
因为，则，可得：，
由于，即，
所以，即，由（1）可得：，
故点P在抛物线C的准线上.
②→①：
，，
因为点P在抛物线C的准线上，则，即，
所以，则，
又因为F是公共点，所以A，B，F三点共线，
所以直线AB过抛物线C的焦点.
例8．（2023·陕西西安·高三西北工业大学附属中学校考期末）已知抛物线，点，为抛物线上的动点，直线为抛物线的准线，点到直线的距离为，的最小值为5．
(1)求抛物线的方程；
(2)直线与抛物线相交于，两点，与轴相交于点，当直线，的斜率存在，设直线，，的斜率分别为，，，是否存在实数，使得，若存在，求出；若不存在，说明理由．
【解析】（1）设抛物线的焦点为，根据抛物线的定义得，，由于，解得，
则拋物线的方程为
（2）设，将代入抛物线的方程，
整理得所以
，同理，
则,所以 ，
例9．（2023春·广东揭阳·高三校考开学考试）已知抛物线C：与直线相切．
(1)求C的方程；
(2)过C的焦点F的直线l与C交于A，B两点，AB的中垂线与C的准线交于点P，若，求l的方程．
【解析】（1）联立方程，消去x得，
∵抛物线C与直线相切，则，解得或（舍去）
故抛物线的方程C：.
（2）设l的方程为，则线段AB的中点，
过作抛物线的准线的垂线，垂足为N，则，即，
∵，则，即，
∴，
联立方程，消去x得，
，
则，AB的中垂线的方程为，
∴，则，
即，解得，
故l的方程为或.
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知动点 M 到两定点的距离之和为4()，且动点 M的轨迹曲线 C 过点.
(1)求m的值；
(2)若直线与曲线 C 有两个不同的交点A，B，求 k 的取值范围.
【解析】（1）由，得，
又动点M到两定点的距离之和为4，
所以曲线C是以两定点为焦点，长半轴长为2的椭圆，
设曲线C的方程为，
则得，
解得，由，
解得，
所以；
（2）由题可知曲线C的方程为，
由，可得，
则有，
解得或，
所以k的取值范围为.
例11．（2023·陕西西安·高三西北工业大学附属中学校考期末）已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)直线与抛物线交于，两点，若线段的中点为，求直线的方程．
【解析】（1）因为点在抛物线上，所以
又因为，解得，故抛物线的标准方程为；
（2）设，则
，所以，化为
又因为的中点为，所以，
则 ，故直线的斜率为，所以直线的方程为
整理得．
【技能提升训练】
1．（2023·全国·高三专题练习）椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆经过点且长轴长为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点且斜率为1的直线与椭圆交于，两点，求弦长.
【解析】（1）由题意设椭圆的方程为，
因为椭圆经过点且长轴长为，
所以，
所以椭圆方程为，
（2）因为直线过点且斜率为1，
所以直线的方程为，
设，
将代入，得，
整理得，
所以，
所以
2．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C：的焦点与椭圆：的一个焦点重合．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线l：交抛物线C于，两点，O为原点，求证：．
【解析】（1）∵椭圆：的焦点坐标为，
∴，即．
∴抛物线C的方程为：．
（2）联立方程组消去x，整理得．
∴．
∴，即,
∴,
∴．
3．（2023·全国·高三专题练习）设､分别为双曲线的左右焦点，且也为抛物线的的焦点，若点，，是等腰直角三角形的三个顶点.
(1)双曲线C的方程；
(2)若直线l：与双曲线C相交于A､B两点，求.
【解析】（1）抛物线的焦点为，
所以，即，，又点，，是等腰直角三角形的三个顶点，
所以，即，又，所以，
所以双曲线方程为.
（2）依题意设，，
由消去整理得，
由，所以，，
所以
.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知点在抛物线上.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点的直线l交抛物线C于A，B两点，设直线，的斜率分别为，，O为坐标原点，求证：为定值.
【解析】（1）∵点在抛物线C上，
∴，解得，
∴抛物线C的方程为.
（2）证明：设直线，，，
联立，消去y可得，，
由韦达定理有，，
∴，即得证.
5．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C：的左右顶点分别为，，右焦点为，点在椭圆上.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)为椭圆上不与重合的任意一点，直线分别与直线相交于点，求证：.
【解析】（1）由题知：，
将点代入方程得：，解得，
椭圆C的标准方程为.
（2）由(1)知，.
设，则，
直线的方程为，
令，则，即，
直线的方程为，
令，则，即
，即.
6．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的左焦点，右顶点．
(1)求的方程
(2)设为上一点（异于左、右顶点），为线段的中点，为坐标原点，直线与直线交于点，求证：．
【解析】（1）设椭圆的半焦距为．
因为椭圆的左焦点，右顶点，
所以，．
所以，
故C的方程为：；
（2）设点，且，
因为为线段的中点，所以，
所以直线的方程为：，
令，得，所以点，
此时，，，
所以
，
所以，所以．
7．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆经过点.
(1)求椭圆的方程及其离心率；
(2)若为椭圆上第一象限的点，直线交轴于点，直线交轴于点，且有，求点的坐标.
【解析】（1）依题知：，所以.
所以椭圆方程为，离心率.
（2）如图：
设，第一象限有，①；
由得：，
又，，
因此②，
联立①②解得，故.
8．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于两点，当时，为坐标原点）是等边三角形.
(1)求抛物线的方程.
(2)延长交抛物线于点，试问直线是否恒过点？若是，求出点的坐标；若不是，请说明理由.
【解析】（1）由题意可得，
则，解得.
故抛物线的方程为.
（2）由（1）可知，设.
因为三点共线，所以，
即，即，
整理得.
因为，所以.
由题意可知直线的斜率不为0，设直线的方程为.
联立整理得，
则.
因为关于轴对称，所以，则，解得.
故直线的方程为，即直线恒过点.
9．（2023·全国·高三专题练习）已知，是过点的两条互相垂直的直线，且与椭圆相交于A，B两点，与椭圆相交于C，D两点．
(1)求直线的斜率k的取值范围；
(2)若线段，的中点分别为M，N，证明直线经过一个定点，并求出此定点的坐标．
【解析】（1）根据题意直线，的斜率均存在且不为0
直线，分别为，，
联立得，
由得，则或，
同理，则，
所以k的取值范围为．
（2）设，，由（1）得，
所以，则，
所以，则，
同理，
则直线的方程为，
化简整理得
因此直线经过一个定点．
10．（2023·全国·高三专题练习）已知，分别是双曲线的左、右焦点，A为双曲线在第一象限的点，的内切圆与x轴交于点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)设圆上任意一点Q处的切线l，若l与双曲线C左、右两支分别交于点M、N，问：是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由．
【解析】（1）如图，设，与的内切圆分别交于G，H两点，
则
，
所以，则，
则双曲线C的方程为．
（2）由题意得，切线l的斜率存在．
设切线l的方程为，，．
因为l与圆相切，所以，即．
联立消去y并整理得，
所以，．
又
．
又
，
将代入上式得．
综上所述，为定值，且．
11．（2023·全国·高三专题练习）已知点与点的距离比它到直线的距离小，若记点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)若直线与曲线相交于两点，且．求证直线过定点，并求出该定点的坐标．
【解析】（1）点与点的距离比它到直线的距离小，
点与点的距离和点到直线的距离相等，
由抛物线定义知：点轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
即曲线的方程为：.
（2）设，，，
由得：，则，即；
，，
，；
，，即；
当时，，恒过定点.
12．（2023·全国·高三专题练习）已知P(1，2)在抛物线C：y2＝2px上．
(1)求抛物线C的方程；
(2)A，B是抛物线C上的两个动点，如果直线PA的斜率与直线PB的斜率之和为2，证明：直线AB过定点．
【解析】（1）P点坐标代入抛物线方程得4＝2p，
∴p＝2，
∴抛物线方程为y2＝4x．
（2）证明：设AB：x＝my+t，将AB的方程与y2＝4x联立得y2﹣4my﹣4t＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4t，
所以Δ＞0⇒16m2+16t＞0⇒m2+t＞0，
，同理：，
由题意：，
∴4(y1+y2+4)＝2(y1y2+2y1+2y2+4)，
∴y1y2＝4，
∴﹣4t＝4，
∴t＝﹣1，
故直线AB恒过定点(﹣1，0)．
13．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，M为直线y＝x－2上一动点，过点M作抛物线C：x2＝y的两条切线MA，MB，切点分别为A，B，N为AB的中点．
(1)证明：MN⊥x轴．
(2)直线AB是否恒过定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．
【解析】（1）设，由，
所以切线MA的斜率为， 因此切线MA的方程为： ，
M为直线y＝x－2上一动点，设，
因此有，
同理可得：，因此是方程的两个根，
所以，
因为N为AB的中点，所以，因此MN⊥x轴；
（2）因为，
所以，
所以直线AB：y－(2t2－t＋2)＝2t(x－t)，
即y－2＝2t，
所以直线AB过定点．
14．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆：的离心率为，短轴长为2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆交于两点，若的面积为（为坐标原点），求直线的方程．
【解析】（1）由题意可得，解得：
故椭圆C的标准方程为.
（2）由题意可知直线的斜率不为0，则设直线的方程为
联立，整理得
,
则，故,
因为的面积为,所以，
设，则整理得，解得或（舍去），即.
故直线的方程为，即.
15．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的其中一个焦点为，一条渐近线方程为
（1）求双曲线的标准方程；
（2）已知倾斜角为的直线与双曲线交于两点，且线段的中点的纵坐标为4，求直线的方程.
【解析】（1）由焦点可知，
又一条渐近线方程为
所以，
由可得 ,解得，，
故双曲线的标准方程为
（2）设，AB中点的坐标为
则①，②，
②①得：，
即，又，
所以，
所以直线的方程为，即
16．（2023秋·天津北辰·高三校考期末）已知椭圆的短半轴长为1，离心率为.
（1）求的方程；
（2）设的上､下顶点分别为､，动点(横坐标不为0)在直线上，直线交于点，记直线，的斜率分别为，，求的值.
【解析】（1）依题意可知，，所以，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）依题意可知，，
设，则，直线：，令，得，即，
，，
所以.
17．（2023秋·云南楚雄·高三统考期末）已知是抛物线的焦点，是抛物线的焦点，点在上，且．
(1)求的方程；
(2)若是坐标原点，直线与交于，两点，求的面积．
【解析】（1）由题可知，
，
．
因为
，，所以
，
解得
，故的方程为
；
（2）根据对称性，不妨令
，即
，直线
的方程为
，设
，
．
联立方程组
，整理得
，
则
，
，则
．
点到直线
的距离
，
故
的面积为
．
18．（2023秋·河南·高三期末）已知点P在椭圆C：上.
(1)P与椭圆的顶点不重合，过P作圆的两条切线，切点分别为E，F，直线EF与x轴、y轴分别交于点M，N.求证：为定值；
(2)若，过P的两条直线交C于A，B两点，两直线PA，PB的斜率之和为0，求直线AB的斜率.
【解析】（1）设，，，设切线上任意一点，
因为,所以,
且，所以整理得，
所以切线PE的方程为，
同理PF的方程为：，因为P在切线PE，PF上，
所以，，
所以直线EF的方程为：.
于是得，，所以.
因为P在椭圆上，所以，故.
（2）据题意可知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为：
，，.
，化简整理得，
于是：，
，.
，.
据题意：.
即，
即，
即，
即，
于是有：或.
当，直线AB：，恒过，
不合要求，舍去.
所以直线AB的斜率为.
19．（2023秋·北京·高三北理工附中校考阶段练习）已知椭圆C的两个焦点分别为，，短轴长为2.
(1)求椭圆C的标准方程及离心率；
(2)M，D分别为椭圆C的左､右顶点，过M点作两条互相垂直的直线MA，MB交椭圆于A，B两点，直线AB是否过定点？并求出面积的最大值.
【解析】（1）由题意得：
，
故可知
椭圆方程为：，离心率为：
（2）M，D分别为椭圆C的左､右顶点
又由（1）可知： 设直线AB的方程为：，，
联立方程可得：
有韦达定理可知：，
又
又
展开后整理得：，解得：或（舍去）
直线恒过定点
令
则
由对勾函数的单调性可知：
所以，当且仅当，即时取等号
此时的最大值为：
20．（2023秋·江苏苏州·高三苏州中学校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点在抛物线上，圆
(1)若，为圆上的动点，求线段长度的最小值；
(2)若点的纵坐标为4，过的直线与圆相切，分别交抛物线于（异于点），求证：直线过定点．
【解析】（1）设，则，
当，Q为线段与圆的交点时，
（2）题意可知，过P点直线与圆相切，
则，即，①
设直线为：，则与抛物线C的交点方程可化为：
，
令，则：，②
题意有，①②方程同解，故有
，
即：，所以直线为：，
即，由，解得，
直线恒过．
21．（2023·陕西渭南·统考模拟预测）已知抛物线的顶点在原点，焦点坐标为.
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线与抛物线交于两点，求面积的最小值.
【解析】（1）由题意，得，抛物线的方程为.
（2）设，
联立，消去得，
，
，
易知，直线恒过定点，
故△的面积，
故△面积的最小值为.
22．（2023秋·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考阶段练习）已知椭圆C的焦点在x轴上，且短轴长为4，离心率．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过椭圆C的右焦点且斜率为2的直线交椭圆C于A、B两点，求弦AB的长．
【解析】（1）由题意设椭圆方程为，
由短轴长为4，得，得，
因为，，
所以解得，，
所以椭圆方程为；
（2）椭圆的右焦点，故直线的方程为
由解得：或，
故、
所以
23．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的顶点是坐标原点，而焦点是双曲线的右顶点．
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线与抛物线相交于、两点，求直线与的斜率之积．
【解析】（1）双曲线化为标准形式：，
所以，，右顶点.
设抛物线的方程为，焦点坐标为，
由于抛物线的焦点是双曲线的右顶点，所以，，
所以抛物线的方程.
（2）联立直线与抛物线的方程有，整理得，
.
设，，则，.
又，，
所以.
.
所以，直线与的斜率之积为-1.
24．（2023秋·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考阶段练习）已知双曲线的渐近线为，焦点到渐近线的距离是．
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线与双曲线交于不同的两点A、B，且线段的中点在圆上，求实数的值．
【解析】（1）由题知，，
设右焦点，取一条渐近线，
则焦点到渐近线的距离，
，从而，
所以双曲线的方程为.
（2）设，，
由，得，
则，，
所以，
则中点坐标为，
代入圆，得，
所以．
25．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的方程为，离心率为2，右顶点为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过的直线与双曲线的一支交于、两点，求的取值范围.
【解析】（1）由离心率又,所以，
又右顶点为，所以，所以，
故双曲线的标准方程为.
（2）设直线的方程为，设，
则由得，
因为直线与双曲线一支交于、两点，
所以 ，解得，
因此
，
因为，所以，
所以，所以，
故.
26．（2023秋·辽宁沈阳·高三沈阳市第十中学校考阶段练习）已知椭圆的方程为，圆与轴相切于点，与轴正半轴相交于两点，且，如图．
(1)求圆的方程；
(2)如图，过点的直线与椭圆相交于 两点，求证：射线平分．
【解析】（1）依题意，设圆心，，
，解得，
所以所求圆方程为：.
（2）代入圆方程，得或，
所以,
若过点的直线斜率不存在，此时在轴上，
,射线平分;
若过的直线斜率存在，设其方程为，
联立整理得
设
，
所以射线平分．
综上，射线平分.
27．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C：，，分别为其左､右焦点，短轴长为2，离心率，过作倾斜角为60°的直线 l ，直线 l 与椭圆交于A，B两点.
(1)求线段AB的长；
(2)求的周长和面积.
【解析】（1）∵椭圆的短轴长为2，
∴，又∵，
∴，
∴椭圆C的方程为：，，，
设，，直线 l 的方程为：，
由，可得，
所以，，
所以
；
（2）由于，分别为椭圆的左､右焦点，
所以的周长为，
因为到直线l：的距离为，
所以的面积.
28．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知椭圆，过椭圆上第一象限的点作椭圆的切线与轴相交于点，是坐标原点，作于，证明：为定值.
【解析】证明：不妨设切线方程为，，
联立切线方程和椭圆方程，
消去得，
所以，得，
解方程可得，所以，
又点坐标为，故为定值．
29．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点与双曲线的右顶点重合，过点的直线与抛物线交于两点.
(1)求抛物线方程；
(2)若，且在轴的下方，在轴的上方，求的面积．
【解析】（1）由双曲线的右顶点为，
即可得抛物线的焦点，
所以抛物线的方程为．
（2）过点的直线与抛物线交于两点，设，，
由，有，即 ，
由 ，解得，有，，
直线的斜率，则直线的方程为，直线与轴相交于点，
所以的面积
30．（2023·全国·高三专题练习）已知两个定点，，动点满足．
(1)求动点的轨迹方程；
(2)若过点作曲线的切线，记其中的一个切点为，求线段的长．
【解析】（1）由题，设点的坐标为，
因为，所以，
即，
整理得，
所以所求曲线的轨迹方程为；
（2）由（1）知，圆心，半径，
点，则，
则切线．