2025年上海市徐汇区中考数学一模试卷

这是一份2025年上海市徐汇区中考数学一模试卷，共28页。试卷主要包含了填空题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）抛物线y＝2（x﹣1）2+3的对称轴是直线（ ）
A．x＝﹣1B．x＝1C．x＝2D．x＝3
2．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，那么tanA的值是（ ）
A．35B．34C．43D．53
3．（4分）下列两个图形一定相似的是（ ）
A．两个矩形B．两个菱形
C．两个等腰三角形D．两个正方形
4．（4分）已知：在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC上的点，那么下列条件中，不能判断DE∥BC的是（ ）
A．ADAB=DEBCB．ADBD=AECEC．BDAB=CEACD．BDAD=CEAE
5．（4分）如果一传送带和地面所成斜坡的坡度为1：3，它把物体从传送带最低A处送到离地面3米高的B处，那么物体从A到B所经过的路程是（ ）
A．9米B．10米C．210米D．310米
6．（4分）“数形结合”是研究函数的重要思想方法，如果抛物线y＝x2+2x+m+5只经过两个象限，那么m的取值范围是（ ）
A．m≥﹣4B．m＜﹣4C．m＜﹣5D．m≥﹣5
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）已知△ABC∽△DEF，它们对应中线的比AM：DN＝2：3，那么它们的周长比是 ．
8．（4分）如图，在△ODC中，点A、B分别在边CO、DO延长线上，AB∥CD，如果DO＝6，AO：CO＝2：3，那么BO的长是 ．
9．（4分）已知点A（0，m）和B（﹣1，n）都在抛物线y＝x2﹣4x+c（c是常数）上，那么m n（填“＞”、“＝”、“＜”）．
10．（4分）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），如果AB＝1，那么BP的长是 ．
11．（4分）上海与杭州的实际距离约200千米，在比例尺为1：5000000的地图上，上海与杭州的图上距离约 厘米．
12．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于D，如果ctA=43，那么cs∠CBD的值是 ．
13．（4分）如图，AB∥CD∥EF，如果ACEC=32，AB＝7，EF＝9，那么CD的长是 ．
14．（4分）如图，货船A在灯塔P的北偏西60°方向，客船B在灯塔P的东北方向，客船B在货船A的正东方向，如果货船A与客船B相距50千米，那么客船B与灯塔P的距离约是 千米（结果保留根号）．
15．（4分）如图，热气球探测器显示，从热气球A处测得一栋楼顶部C处的仰角是37°，测得这栋楼的底部B处的俯角是60°，热气球与这栋楼的水平距离是30米，那么这栋楼的高度是 米（精确到0.1米）．（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，3≈1.7）
16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，sinB=35，点E、D分别在边AB、BC上，BECD=43，如果∠CAD＝∠B，那么BE的长是 ．
17．（4分）如图，l1∥l2∥l3，且l1和l2之间的距离是1，l2和l3之间的距离是2，△ABC的三个顶点分别在l1、l2、l3上，AC与l2交于点D，如果BC⊥AC，tan∠BAC=13，那么BD的长是 ．
18．（4分）如图，四边形ABCD中，AC⊥AB，BD⊥CD，BD＝CD，如果AB＝m，AC＝n，且m＜n，那么AD的长是 （用含m、n的式子表示）．
三、（本大题共7题，第19-22题每题10分：第23、24题每题12分：第25题14分；满分78分）
19．（10分）已知：a2=b3=c5．
（1）求代数式2a+3b−5ca−2b+3c的值；
（2）当2a+b+3c＝44时，求a、b、c的值．
20．（10分）“2022年北京冬奥会”的召开，冰雪运动在中国大地蓬勃发展、滑雪爱好者小楠从山坡滑下，为了得出滑行距离s（单位：米）与滑行时间t（单位：秒）之间的关系式，测得一些数据（如表）：
为观察s与t的之间的关系，以t为横轴，s为纵轴建立坐标系，描出与上表中数据对应的5个点，并用平滑的曲线连接它们（如图所示），小楠观察发现这条曲线近似抛物线的一部分．
（1）由上述信息，设这条曲线的表达式为s＝at2+bt+c（a≠0），求s与t的函数关系式；
（2）若将抛物线s＝at2+bt+c（a≠0）先向右平移2个单位，再向上平移20个单位，求平移后所得抛物线的表达式．
21．（10分）如图，AD与BE相交于点C，DE∥AB，点F在线段BC上，且EC2＝CF•BC，联结DF、EA．
（1）求证：DF∥EA；
（2）设AB→=a→，BC→=b→，当BC＝2EC时，求向量CD→（用向量a→、b→表示）．
22．（10分）小杰在学习了“特殊锐角的三角比”后，认为30°、45°、60°的三角比不必死记硬背，只需利用一副三角板就可推导出30°、45°、60°的三角比，相信大家都有这个共识；小杰在这个认识的基础上，他利用一副特制的三角板，研究推导出了15°、75°的三角比．
（1）计算：ct30°−ct45°tan60°+2sin30°；
（2）小杰的一副特制的三角板，如图1，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠B＝∠E＝90°，∠A＝30°，∠D＝45°，DE＝AC＝2；小杰的想法是：将Rt△ABC和Rt△DEF的边DE和AC重合，拼接成如图2所示的四边形ABCF．请利用图2，求sin15°和tan75°的值．
23．（12分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD是梯形ABCD对角线，BD2＝AD•BC．
（1）求证：AD•CD＝AB•BD；
（2）以CD为一边作∠CDE＝∠ADB，DE交边BC于点E，求证：CD2BD2=CEAD．
24．（12分）通过二次函数的学习，小杰知道形如y＝ax2（a≠0）的函数，其图象始终经过点（0，0），也即抛物线y＝ax2（a≠0）经过定点（0，0）．于是他进一步探究了形如y＝ax2﹣ax+2（a≠0）的函数图象，发现抛物线y＝ax2﹣ax+2（a≠0）经过定点（0，2）与（1，2）．他探究的思路是：设法找到x的某些取值，使表达式中含a的各项之和为0．
具体的解法如下：
含a的各项之和：ax2﹣ax＝a（x2﹣x），令x2﹣x＝0，解得x1＝0，x2＝1．
当x＝0时，y＝2，得到定点（0，2）；当x＝1时，y＝2，得到定点（1，2）．
小杰还探究了抛物线y＝ax2+（1﹣a）x﹣2a+1（a≠0），发现它也经过两个定点，其中一个位于x轴上，可记作点A，另一个位于第一象限内，可记作点B．
（1）求点A、B的坐标；
（2）当a＜0时（如图），抛物线y＝ax2+（1﹣a）x﹣2a+1的顶点为D，与x轴的另一个交点为C．
①如果∠ABC＝90°，求a的值；
②当∠ADB＝90°时，求a的值．
25．（14分）如图，在△ABC中，AB＝AC=5，BC＝2，点D是边AC的中点，点M、N是射线BD上的动点（点M在左边），以CM为一边作∠MCN＝∠ABC．
（1）求BD的长；
（2）当点M是△ABC的重心时，求CN：BN的值；
（3）如果△MCN是以MN为腰的等腰三角形，求BM的长．
2025年上海市徐汇区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】
1．（4分）抛物线y＝2（x﹣1）2+3的对称轴是直线（ ）
A．x＝﹣1B．x＝1C．x＝2D．x＝3
【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可确定抛物线对称轴．
【解答】解：由抛物线y＝2（x﹣1）2+3的解析式可知，抛物线对称轴为直线x＝1，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握抛物线顶点式的特点是关键．
2．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，那么tanA的值是（ ）
A．35B．34C．43D．53
【分析】先根据勾股定理求出BC，再根据锐角三角函数定义得出tanA=BCAC，代入求出即可．
【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，
∴由勾股定理得：BC=52−32=4，
∴tanA=BCAC=43．
故选：C．
【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
3．（4分）下列两个图形一定相似的是（ ）
A．两个矩形B．两个菱形
C．两个等腰三角形D．两个正方形
【分析】根据相似图形的定义解答即可．
【解答】解：A、两个矩形不一定相似，不符合题意；
B、两个菱形不一定相似，不符合题意；
C、两个等腰三角形不一定相似，不符合题意；
D、两个正方形对应边成比例，各角都相等，一定相似，符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查的是相似图形，熟知我们把形状相同的图形称为相似图形是解题的关键．
4．（4分）已知：在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC上的点，那么下列条件中，不能判断DE∥BC的是（ ）
A．ADAB=DEBCB．ADBD=AECEC．BDAB=CEACD．BDAD=CEAE
【分析】若使DE∥BC，则其对应边必成比例，进而依据对应边成比例即可判定DE∥BC．
【解答】解：如图，
若使线段DE∥BC，则其对应边必成比例，
即ADBD=AECE，BDAB=CEAC，BDAD=CEAE，
选项A不能判断DE∥BC，
故选项A符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了由平行线分线段成比例判定线段平行的问题，能够掌握其性质，并能够通过其性质判定两直线平行．
5．（4分）如果一传送带和地面所成斜坡的坡度为1：3，它把物体从传送带最低A处送到离地面3米高的B处，那么物体从A到B所经过的路程是（ ）
A．9米B．10米C．210米D．310米
【分析】根据坡度的概念求出物体的水平距离，再根据勾股定理求出物体从A到B所经过的路程．
【解答】解：由题意可知：物体的铅直高度为3米，
∵斜坡的坡度为1：3，
∴物体的水平距离为：3×3＝9米，
由勾股定理得：物体从A到B所经过的路程为：32+92=310（米），
故选：D．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角物体，熟记坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键．
6．（4分）“数形结合”是研究函数的重要思想方法，如果抛物线y＝x2+2x+m+5只经过两个象限，那么m的取值范围是（ ）
A．m≥﹣4B．m＜﹣4C．m＜﹣5D．m≥﹣5
【分析】根据抛物线抛物线y＝x2+2x+m+5只经过两个象限，且抛物线开口向上，得出最小值大于等于0，得出结论．
【解答】解：∵y＝x2+2x+m+5＝（x+1）2+m+4，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，m+4），
∵抛物线y＝x2+2x+m+5只经过两个象限，
∴m+4≥0，
∴m≥﹣4，
故选：A．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，关键是利用数形结合的思想解答．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）已知△ABC∽△DEF，它们对应中线的比AM：DN＝2：3，那么它们的周长比是 2：3． ．
【分析】利用相似三角形的对应中线的比等于相似比即可确定正确的答案．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，它们对应中线的比AM：DN＝2：3，
∴它们的周长比是2：3，
故答案为：2：3．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键是了解相似三角形的对应线段的比等于相似比，难度不大．
8．（4分）如图，在△ODC中，点A、B分别在边CO、DO延长线上，AB∥CD，如果DO＝6，AO：CO＝2：3，那么BO的长是 4 ．
【分析】根据AB∥CD可得AOCO=BODO=23，根据DO＝6求出BO即可．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴AOCO=BODO=23，
∵DO＝6，
∴BO6=23，
∴BO＝4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．
9．（4分）已知点A（0，m）和B（﹣1，n）都在抛物线y＝x2﹣4x+c（c是常数）上，那么m ＜ n（填“＞”、“＝”、“＜”）．
【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征解答即可．
【解答】解：抛物线y＝x2﹣4x+c的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，当x＜2时．y随x的增大而减小．
∵0＞﹣1，
∴m＜n．
故答案为：＜．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的增减性是关键．
10．（4分）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），如果AB＝1，那么BP的长是 3−52 ．
【分析】根据黄金分割的定义求出AP的长，即可解决问题．
【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），AB＝1，
∴AP=5−12AB=5−12，
∴BP＝AB﹣AP＝1−5−12=3−52，
故答案为：3−52．
【点评】本题考查了黄金分割．熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
11．（4分）上海与杭州的实际距离约200千米，在比例尺为1：5000000的地图上，上海与杭州的图上距离约 4 厘米．
【分析】设上海与杭州的图上距离为x厘米，根据比例尺的意义列出方程x：20000000＝1：5000000，解方程即可．
【解答】解：设上海与杭州的图上距离为x厘米．
200千米＝20000000厘米，
x：20000000＝1：5000000，
解得x＝4．
故答案为4．
【点评】本题考查了比例线段，掌握比例尺的定义是解题的关键．注意单位要统一．
12．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于D，如果ctA=43，那么cs∠CBD的值是 45 ．
【分析】根据直角三角形的性质求出∠A＝∠CBD，则csA＝cs∠CBD，再根据锐角三角函数定义求解即可．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，BD⊥AC于D，
∴∠ABD+∠CBD＝90°，∠A+∠ABD＝90°，
∴∠A＝∠CBD，
∴csA＝cs∠CBD，
∵ctA=ADBD=43，
∴AD=43BD，
∴AB=AD2+BD2=53BD，
∴csA=ADAB=43BD53BD=45，
∴cs∠CBD=45，
故答案为：45．
【点评】此题考查了解直角三角形，熟记锐角三角函数定义是解题的关键．
13．（4分）如图，AB∥CD∥EF，如果ACEC=32，AB＝7，EF＝9，那么CD的长是 415 ．
【分析】连接AF交CD于点M，根据平行线分线段成比例找准对应关系，列出比例式，计算即可得出答案．
【解答】解：如图，连接AF交CD于点M，
∵AB∥CD∥EF，ACEC=32，
∴ACEC=AMMF=BDDF=32，
∴CMEF=ACAE=35，DMAB=DFBF=25，
∵AB＝7，EF＝9，
∴CM9=35，DM7=25，
∴CM=275，DM=145，
∴CD＝CM+DM=275+145=415．
故答案为：415．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，用到的知识点是平行线分线段成比例定理，关键是找准对应关系，列出比例式．
14．（4分）如图，货船A在灯塔P的北偏西60°方向，客船B在灯塔P的东北方向，客船B在货船A的正东方向，如果货船A与客船B相距50千米，那么客船B与灯塔P的距离约是 (256−252) 千米（结果保留根号）．
【分析】过点P作PC⊥AB于点C，则∠PCB＝∠PCA＝90°，由题意得∠CPB＝45°，∠CPA＝60°，在Rt△ACP和Rt△BCP中解直角三角形即可解答．
【解答】解：过点P作PC⊥AB于点C，
则∠PCB＝∠PCA＝90°，
由题意得∠CPB＝45°，∠CPA＝60°，
∴∠B＝∠CPB＝45°，
∴CP＝CB，
设CP＝CB＝x km，则AC＝（50﹣x）km，
在Rt△ACP中，tan∠CPA=ACCP，
即50−xx=3，
解得x＝253−25，
∴BP=2x=2×(253−25)=256−252（km）．
故答案为：(256−252)．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，解题的关键是正确添加辅助线构造直角三角形并利用解直角三角形的知识求解．
15．（4分）如图，热气球探测器显示，从热气球A处测得一栋楼顶部C处的仰角是37°，测得这栋楼的底部B处的俯角是60°，热气球与这栋楼的水平距离是30米，那么这栋楼的高度是 73.5 米（精确到0.1米）．（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，3≈1.7）
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，则AD＝30米，在Rt△ADB中和Rt△ACD中，根据锐角三角函数中的正切可以分别求得BD和CD的长，从而可以求得BC的长，本题得以解决．
【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，
由题意可得，∠CAD＝37°，∠BAD＝60°，AD＝30米，∠ADC＝∠ADB＝90°，
在Rt△ADC中，tan∠CAD=CDAD，
∴CD＝AD•tan37°≈30×0.75＝22.5（米），
在Rt△ADB中，tan∠BAD=BDAD，
∴BD＝AD•tan60°＝30×3=303，
∴BC＝BD+CD＝22.5+303≈73.5（米），
即这栋楼的高度BC是73.5米．
故答案为：73.5．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、锐角三角函数，解答此类问题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答．
16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，sinB=35，点E、D分别在边AB、BC上，BECD=43，如果∠CAD＝∠B，那么BE的长是 3 ．
【分析】解直角三角形求出AC＝3，BC＝4，再根据tan∠CAD＝tanB，推出CDAC=ACBC，由此求出CD可得结论．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，sinB=35，
∴ACAB=35，
∴AC＝3，BC＝4，
∵∠CAD＝∠B，
∴tan∠CAD＝tanB，
∴CDAC=ACBC，
∴CD3=34，
∴CD=94，
∵BECD=43，
∴BE=43CD＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
17．（4分）如图，l1∥l2∥l3，且l1和l2之间的距离是1，l2和l3之间的距离是2，△ABC的三个顶点分别在l1、l2、l3上，AC与l2交于点D，如果BC⊥AC，tan∠BAC=13，那么BD的长是 5 ．
【分析】如图，过点A作AH⊥直线l2于点H，交直线l3于点J，过点B作BT⊥直线l3于点T．证明△BTC≌△DHA（AAS），推出TC＝AH＝1，再利用勾股定理求解．
【解答】解：如图，过点A作AH⊥直线l2于点H，交直线l3于点J，过点B作BT⊥直线l3于点T．
∵l1∥l2∥l3，且l1和l2之间的距离是1，l2和l3之间的距离是2，
∴AD：DC＝AH：HJ＝1：2，
∵tanA=13=BCAC，
∴AD＝BC，
∵∠BTC＝∠AHD＝∠ACB＝∠AJC＝90°，
∴∠BCT+∠ACJ＝90°，∠ACJ+∠CAJ＝90°，
∴∠BCT＝∠DAH，
在△BTC和△DHA中，
∠BTC=∠DHA∠BCT=∠DAHBC=DA，
∴△BTC≌△DHA（AAS），
∴TC＝AH＝1，
∴BC=12+22=5，
∵CD＝2AD＝2BC＝25，
∴BD=BC2+CD2=(5)2+(25)2=5．
故答案为：5．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，平行线分线段成比例定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
18．（4分）如图，四边形ABCD中，AC⊥AB，BD⊥CD，BD＝CD，如果AB＝m，AC＝n，且m＜n，那么AD的长是 2n−2m2 （用含m、n的式子表示）．
【分析】作△ABC的外接圆，过点D作DH⊥BA交BA的延长线于点H，则点D在△ABC的外接圆上，根据BD＝CD，BD⊥CD得∠DBC＝∠DCB＝45°，则∠HAD＝∠DCB＝45°，由此得△ADH是等腰直角三角形，设AH＝DH＝a，则AD＝√2a，BD2=12（m2+n2），然后在Rt△BDH中，由勾股定理求出a=12（n﹣m），进而可得AD的长．
【解答】解：作△ABC的外接圆，过点D作DH⊥BA交BA的延长线于点H，如图所示：
∵AC⊥AB，
∴∠BAC＝90°，
∴BC是△ABC外接圆的直径，
∵BD⊥CD，
∴∠BAD＝90°，
∴点D在△ABC的外接圆上，
∵BD＝CD，
∴∠DBC＝∠DCB＝45°，
∴∠HAD＝∠DCB＝45°，
∴△ADH是等腰直角三角形，
∴设AH＝DH＝a，
由勾股定理得：AD=AH2+DH2=2a，
在Rt△ABC中，AB＝m，AC＝n，且m＜n，
由勾股定理得：BC2＝AB2+AC2＝m2+n2，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD2+CD2＝BC2，
∴BD2=12BC2=12（m2+n2），
在Rt△BDH中，BH＝AB+AH＝a+m，HD＝a，
由勾股定理得：BH2+HD2＝BD2，
∴（a+m）2+a2=12（m2+n2），
整理得：a2+ma+14m2=14n2，
∴(a+m2)2=n24，
∴a+m2=n2，a+m2=−n2（不合题意，舍去），
∴a=12（n﹣m），
∴AD=2a=2n−2m2．
故答案为：2n−2m2．
【点评】此题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质是解决问题的关键．
三、（本大题共7题，第19-22题每题10分：第23、24题每题12分：第25题14分；满分78分）
19．（10分）已知：a2=b3=c5．
（1）求代数式2a+3b−5ca−2b+3c的值；
（2）当2a+b+3c＝44时，求a、b、c的值．
【分析】（1）设a2=b3=c5=k，利用比例性质得到a＝2k，b＝3k，c＝5k，然后把它们分别代入所求的代数式值，然后进行分式的化简计算；
（2）把a＝2k，b＝3k，c＝5k代入2a+b+3c＝44中得到关于k的方程，然后求出k，从而得到a、b、c的值．
【解答】解：（1）设a2=b3=c5=k，则a＝2k，b＝3k，c＝5k，
所以原式=4k+9k−25k2k−6k+15k=−12k11k=−1211；
（2）把a＝2k，b＝3k，c＝5k代入2a+b+3c＝44得4k+3k+15k＝44，
解得k＝2，
所以a＝4，b＝6，c＝10．
【点评】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质）是解决问题的关键．
20．（10分）“2022年北京冬奥会”的召开，冰雪运动在中国大地蓬勃发展、滑雪爱好者小楠从山坡滑下，为了得出滑行距离s（单位：米）与滑行时间t（单位：秒）之间的关系式，测得一些数据（如表）：
为观察s与t的之间的关系，以t为横轴，s为纵轴建立坐标系，描出与上表中数据对应的5个点，并用平滑的曲线连接它们（如图所示），小楠观察发现这条曲线近似抛物线的一部分．
（1）由上述信息，设这条曲线的表达式为s＝at2+bt+c（a≠0），求s与t的函数关系式；
（2）若将抛物线s＝at2+bt+c（a≠0）先向右平移2个单位，再向上平移20个单位，求平移后所得抛物线的表达式．
【分析】（1）依据题意，由图象过（0，0），（1，4.5），（2，14），从而c=0a+b+c=4.54a+2b+c=14，可得a=2.5b=2c=0，进而可以判断得解；
（2）依据题意，根据（1）s＝2.5t2+2t，从而可得s＝2.5t2+2t＝2.5（t+0.4）2﹣0.4，再结合“左加右减，上加下减”的平移规律，即可判断得解．
【解答】解：（1）由题意，∵图象过（0，0），（1，4.5），（2，14），
∴c=0a+b+c=4.54a+2b+c=14．
∴a=2.5b=2c=0．
∴s＝2.5t2+2t．
（2）由题意，根据（1）s＝2.5t2+2t，
∴s＝2.5t2+2t＝2.5（t+0.4）2﹣0.4．
又将抛物线向右平移2个单位，再向上平移20个单位，
∴平移后所得抛物线的表达式为s＝2.5（t+0.4﹣2）2﹣0.4+20，即s＝2.5（t﹣1.6）2+19.6．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
21．（10分）如图，AD与BE相交于点C，DE∥AB，点F在线段BC上，且EC2＝CF•BC，联结DF、EA．
（1）求证：DF∥EA；
（2）设AB→=a→，BC→=b→，当BC＝2EC时，求向量CD→（用向量a→、b→表示）．
【分析】（1）根据平行线分线段成比例性质可得CDAC=ECBC，再由EC2＝CF•BC可得ECBC=CFEC，从而得出CDAC=CFEC，再证△ACE∽△DCF，可得∠CAE＝∠CDF，再由平行线的判定即可得出结论；
（2）由BC＝2EC得出ECBC=12，可得出CDAC=ECBC=12，再由AC→=a→+b→可得CD→=12a→+12b→，进而可得答案．
【解答】（1）证明：∵DE∥AB，
∴CDAC=ECBC，
∵EC2＝CF•BC，
∴ECBC=CFEC，
∴CDAC=CFEC，
∵∠ACE＝∠DCF，
∴△ACE∽△DCF，
∴∠CAE＝∠CDF，
∴DF∥EA；
（2）解：∵BC＝2EC，
∴ECBC=12，
∴CDAC=ECBC=12，
∵AC→=a→+b→，
∴CD→=12a→+12b→．
【点评】本题考查平面向量、相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22．（10分）小杰在学习了“特殊锐角的三角比”后，认为30°、45°、60°的三角比不必死记硬背，只需利用一副三角板就可推导出30°、45°、60°的三角比，相信大家都有这个共识；小杰在这个认识的基础上，他利用一副特制的三角板，研究推导出了15°、75°的三角比．
（1）计算：ct30°−ct45°tan60°+2sin30°；
（2）小杰的一副特制的三角板，如图1，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠B＝∠E＝90°，∠A＝30°，∠D＝45°，DE＝AC＝2；小杰的想法是：将Rt△ABC和Rt△DEF的边DE和AC重合，拼接成如图2所示的四边形ABCF．请利用图2，求sin15°和tan75°的值．
【分析】（1）根据特殊角的三角函数值求解即可；
（2）如图2中，过点B作BH⊥AF于点H，过点F作FG⊥BC交BC的延长线于点G．连接BF．利用面积法求出BH，利用勾股定理求出AH，在Rt△ABH中，根据三角函数的定义求解．
【解答】解：（1）原式=3−13+1=(3−1)22=2−3；
（2）如图2中，过点B作BH⊥AF于点H，过点F作FG⊥BC交BC的延长线于点G．连接BF．
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝2，∠BAC＝30°，
∴BC=12AC＝1，AB=3BC=3，
∴△ABC的面积=12×1×3=32，
在Rt△DEF中，∠DEF＝90°，DE＝DF＝2，
∴AF＝22，△DEF的面积=12×2×2＝2，
∵∠ACB＝90°﹣30°＝60°，∠ACG＝90°，
∴∠FCG＝30°，
∴FG=12CF＝1，
∵四边形ABCF的面积＝S△ABF+S△BCF，
∴32+2=12•AF•BH+12•BC•FG，
∴32+2=12×22×BH+12×1×1，
∴BH=6+324，
∴AH=AB2−BH2=(3)2−(6+324)2=32−64，
∵∠BAC＝30°，∠CAF＝45°，
∴∠BAH＝75°，∠ABH＝15°，
∴sin15°=AHAB=32−643=6−24，tan75°=BHAH=6+32432−64=2+3．
【点评】本题考查解直角三角形，含30度角的直角三角形，勾股定理，等腰直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
23．（12分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD是梯形ABCD对角线，BD2＝AD•BC．
（1）求证：AD•CD＝AB•BD；
（2）以CD为一边作∠CDE＝∠ADB，DE交边BC于点E，求证：CD2BD2=CEAD．
【分析】（1）由BD2＝AD•BC，得BDBC=ADBD，由AD∥BC，得∠ADB＝∠DBC，即可证明△ADB∽△DBC，得ADBD=ABCD，则AD•CD＝AB•BD；
（2）由∠CDE＝∠ADB，且∠ADB＝∠CBD，得∠CDE＝∠CBD，而∠C＝∠C，所以△CDE∽△CBD，则CDBC=CECD，所以CD2＝CE•BC，因为BD2＝AD•BC，所以CD2BD2=CEAD．
【解答】证明：（1）∵BD2＝AD•BC，
∴BDBC=ADBD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∴△ADB∽△DBC，
∴ADBD=ABCD，
∴AD•CD＝AB•BD．
（2）如图，作∠CDE＝∠ADB，DE交BC于点E，
∵AD∥BC，
∵∠ADB＝∠CBD，
∴∠CDE＝∠CBD，
∵∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CBD，
∴CDBC=CECD，
∴CD2＝CE•BC，
∵BD2＝AD•BC，
∴CD2BD2=CE⋅BCAD⋅BC=CEAD．
【点评】此题重点考查平行线的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明△ADB∽△DBC及△CDE∽△CBD是解题的关键．
24．（12分）通过二次函数的学习，小杰知道形如y＝ax2（a≠0）的函数，其图象始终经过点（0，0），也即抛物线y＝ax2（a≠0）经过定点（0，0）．于是他进一步探究了形如y＝ax2﹣ax+2（a≠0）的函数图象，发现抛物线y＝ax2﹣ax+2（a≠0）经过定点（0，2）与（1，2）．他探究的思路是：设法找到x的某些取值，使表达式中含a的各项之和为0．
具体的解法如下：
含a的各项之和：ax2﹣ax＝a（x2﹣x），令x2﹣x＝0，解得x1＝0，x2＝1．
当x＝0时，y＝2，得到定点（0，2）；当x＝1时，y＝2，得到定点（1，2）．
小杰还探究了抛物线y＝ax2+（1﹣a）x﹣2a+1（a≠0），发现它也经过两个定点，其中一个位于x轴上，可记作点A，另一个位于第一象限内，可记作点B．
（1）求点A、B的坐标；
（2）当a＜0时（如图），抛物线y＝ax2+（1﹣a）x﹣2a+1的顶点为D，与x轴的另一个交点为C．
①如果∠ABC＝90°，求a的值；
②当∠ADB＝90°时，求a的值．
【分析】（1）y＝ax2+（1﹣a）x﹣2a+1＝a（x2﹣x﹣2）+x+1，当x＝﹣1时，y＝0，当x＝2时，y＝3，即可求解；
（2）由点A、D的坐标得，直线AD表达式中的k值为12（﹣3a+1），同理可得：AB表达式中的k值为：1，BC表达式中的k值为3a，BD表达式中的k值为12（3a+1），即可求解．
【解答】解：（1）y＝ax2+（1﹣a）x﹣2a+1＝a（x2﹣x﹣2）+x+1，
当x＝﹣1时，y＝0，当x＝2时，y＝3，
即点A、B的坐标分别为：（﹣1，0）、（2，3）；
（2）由抛物线的表达式知点D的横坐标为：a−12a，点C的横坐标为：2a−1a，
设D（t，at2+（1﹣a）t﹣2a+1），
由点A、D的坐标得，直线AD表达式中的k值为：12（﹣3a+1），
同理可得：AB表达式中的k值为：1，BC表达式中的k值为3a，BD表达式中的k值为：12（3a+1），
①如果∠ABC＝90°，则1×3a＝﹣1，则a=−13，
②当∠ADB＝90°时，12（﹣3a+1）×12（3a+1）＝﹣1，则a=−33（不合题意的值已舍去）．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，一次函数的图象和性质，正确理解题意和处理数据是解题的关键．
25．（14分）如图，在△ABC中，AB＝AC=5，BC＝2，点D是边AC的中点，点M、N是射线BD上的动点（点M在左边），以CM为一边作∠MCN＝∠ABC．
（1）求BD的长；
（2）当点M是△ABC的重心时，求CN：BN的值；
（3）如果△MCN是以MN为腰的等腰三角形，求BM的长．
【分析】（1）过A、D作BC的垂线，垂足分别为E、F，通过解直角三角形求出CF，BF，利用勾股定理求出DF，即可解答；
（2）连接AM并延长交BC于点H，根据题意得到AM是BC的垂直平分线，证明△NCD∽△NBC，列出比例式即可解答；
（3）若△MCN是以MN为腰的等腰三角形，分以下两种情况，①当MN＝NC时，证明△DMC∽△DCB，求出DM，即可解答；②当MN＝MC时，证明△BCD∽△BNC，求得BN=81313，NC=26513，过M作MH⊥NC，垂足为H，求出MN=51313，即可解答．
【解答】解：（1）如图，过A、D作BC的垂线，垂足分别为E、F，
∵AB＝AC，AE⊥BC，AB＝AC=5，BC＝2，
∴CE=12BC＝1，csC=CEAC=15=55，
∵点D是边AC的中点，
∴CD=52，
在Rt△CFD中，cs=55，CD=52，
∴CF=12，
∴BF＝BC﹣CF＝2−12=32，
∴DF=CD2−CF2=(52)2−(12)2=1，
在Rt△BDF中，BD=BF2+DF2=(32)2+1=132；
（2）如图，连接AM并延长交BC于点H，
∵点M是△ABC的重心，
∴点M是△ABC的三条中线的交点，
∴AH是△ABC的中线，
∵AB＝AC，
∴AM是BC的垂直平分线，
∴BM＝CM，
∴∠1＝∠4，
∵∠1+∠2＝∠2+∠3，
∴∠1＝∠3，
∴∠3＝∠4，
∵∠N＝∠N，
∴△NCD∽△NBC，
∴CNBN=CDBC=522=54，
∴CN：BN=54；
（3）若△MCN是以MN为腰的等腰三角形，分以下两种情况，
①当MN＝NC时，如图，
∵∠1+∠2＝∠3+∠2，
∴∠1＝∠3，
∵MN＝NC，
∴∠NMC＝∠2+∠3，
∵∠NMC＝∠1+∠4，
∴∠2＝∠4，
∵∠MDC＝∠CDB，
∴△DMC∽△DCB，
∴DMDC=DCBD，
∴DM52=52132，
∴DM=51326，
∴BM＝BD﹣DM=132−51326=41313；
②当MN＝MC时，如图，
∴∠MCN＝∠MNC，
∵∠ACB＝∠MCN，
∴∠ACB＝∠MNC，
∵∠BCD＝∠BCN，
∴△BCD∽△BNC，
∴BCBN=BDBC=CDCN，
即2BN=1322=52NC，
∴BN=81313，NC=26513，
过M作MH⊥NC，垂足为H，
∵MC＝MN，
∴NH=12NC=6513，
∵csN＝cs∠MCN＝cs∠ACB=55=NHMN，
∴MN=51313，
∴BM＝BN﹣MN=81313−51313=31313；
综上，BM为41313或31313．
【点评】本题考查三角形的综合应用，主要考查勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．滑行时间（秒）
0
1
2
3
4
滑行距离（米）
0
4.5
14
28.5
48
题号
1
2
3
4
5
6
答案
B
C
D
A
D
A
滑行时间（秒）
0
1
2
3
4
滑行距离（米）
0
4.5
14
28.5
48