2024-2025学年黑龙江省绥化市绥棱县高一上册9月月考数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年黑龙江省绥化市绥棱县高一上册9月月考数学检测试题（含解析），共14页。试卷主要包含了选择题的作答，填空题和解答题的作答， 集合，，则， 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 下面给出四类对象中，能构成集合的是（ ）
A. 某班视力较好的同学B. 某小区长寿的人
C. 的近似值D. 方程的实数根
2. 已知，，若集合，则值为（ ）
A. B. C. 1D. 2
3. 已知命题“，”的否定是（ ）
A ，B. ，
C. ，D. ，
4. 已知， ， ，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D. 
5. 集合，，则（ ）
A. B. C. D.
6. 若，且，则在下列四个选项中，最大的是（ ）
A B. C. D.
7. 明——罗贯中《三国演义》第49回“欲破曹公，宜用火攻;万事倶备，只欠东风”，比喻一切都准备好了，只差最后一个重要的条件.你认为“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
8. 下列“若, 则”形式的命题中，是的必要条件的有（ ）个
① 若是偶数, 则是偶数
②若，则方程有实根
③若四边形的对角线互相垂直, 则这个四边形是菱形
④若，则
A. 0B. 1C. 2D. 3
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，，则
C. 若，则
D. 若，则
10. 命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A. B. C. D.
11. 若，均为正数，且，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最大值为B. 的最小值为9
C. 的最小值为D. 的最小值为4
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，则的取值范围为___________.
13. 设，则的最小值为______.
14. 若一个集合是另一个集合子集，则称两个集合构成“全食”；若两个集合有公共元素，但互不为对方的子集，则称两个集合构成“偏食”.对于集合，，若这两个集合构成“全食”或“偏食”，则实数a的值为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）比较与的大小；
（2）证明不等式：
16. 设，其中，如果，求实数的取值范围.
17. 已知非空集合，．
（1）若，求；
（2）若“”是“”的充分而不必要条件，求实数a的取值范围．
18. 已知ab≠0，求证：a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件．
19. 在只剩一面墙的破屋基础上要求修建新屋（修四面墙），旧墙长12米，新屋的面积预定为112平方米，且保留一部分旧墙作为一面墙来修建新屋.已知这项工程的费用要求是：①新料砌墙的费用为元/米；②修理旧墙的费用相当于砌新墙的25%；③拆旧墙的一部分，利用旧料来砌同样长度的新墙，这费用相当于用新料砌墙的50%.在这种情况下旧墙保留约多少米最为合算？（，结果精确到0.1）
2024-2025学年黑龙江省绥化市绥棱县高一上学期9月月考数学
检测试题
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 下面给出的四类对象中，能构成集合的是（ ）
A. 某班视力较好的同学B. 某小区长寿的人
C. 的近似值D. 方程的实数根
【正确答案】D
【分析】根据集合的特征，即可判断各选项是否能组成集合.
【详解】对于A，描述的对象“视力较好”不确定，不能构成集合，A不是；
对于B，描述的对象“长寿”不确定，不能构成集合，B不是；
对于C，没有给出精确度，描述的对象“π 的近似值”不确定，不能构成集合，C不是；
对于D，方程的实数根是和1，明确可知，能构成集合，D是.
故选：D
2. 已知，，若集合，则的值为（ ）
A. B. C. 1D. 2
【正确答案】B
【分析】利用集合相等，求出，再求出，检验代入求值即可.
详解】根据题意，故，则，
故，则，即，
当时，与集合互异性相矛盾，故舍去，
当，时，，符合题意，
所以，
故选：B.
3. 已知命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【正确答案】C
【分析】利用存在量词命题的否定直接写出结论即得.
【详解】命题是存在量词命题，其否定是全称量词命题，
所以命题“，”的否定是，.
故选：C
4. 已知， ， ，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D. 
【正确答案】B
【分析】将集合特征相关表达式变形，可得集合间关系，即可得答案.
【详解】， ，故；
当时，，当时，，则.
故选：B．
5. 集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据题意得到解方程组，最后将解答写成点集即可.
【详解】 集合 ，，
，解方程组得，故
故选：C.
6. 若，且，则在下列四个选项中，最大的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】（1）先判断，可得，所以，排除A、D，再用作差法比较B、C的大小，可得答案.
（2）也可以令，取特殊值进行验证排除.
【详解】方法一：∵且，∴，可排除A；又，排除D；
∵，
即，排除B.
故选：C.
方法二：因为且，可取，.
则：，，因为.
故选：C.
7. 明——罗贯中《三国演义》第49回“欲破曹公，宜用火攻;万事倶备，只欠东风”，比喻一切都准备好了，只差最后一个重要的条件.你认为“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【正确答案】B
【分析】根据充分条件、必要条件的定义，结合题意即可下结论.
【详解】“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的必要条件，但不是充分条件.
故选：B.
8. 下列“若, 则”形式的命题中，是的必要条件的有（ ）个
① 若是偶数, 则是偶数
②若，则方程有实根
③若四边形的对角线互相垂直, 则这个四边形是菱形
④若，则
A. 0B. 1C. 2D. 3
【正确答案】D
【分析】根据必要条件的概念找出符合要求的选项即可.
【详解】对于①，是偶数，不能保证，均是偶数，也有可能都是奇数，故①不符合题意；
对于②，若方程，则需满足，即，可推出，故②符合题意；
对于③，若四边形是菱形，则四边形对角线互相垂直，故③符合题意；
对于④，若，则，故④符合题意.
故选：D.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，，则
C. 若，则
D. 若，则
【正确答案】BD
【分析】举例说明判断AC；利用不等式性质推理判断BD.
【详解】对于AC，取，满足，而，，AC错误；
对于B，由，得，而，则，B正确；
对于D，由，得，则，D正确.
故选：BD
10. 命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】AD
【分析】先根据题意化简：命题“，”为真命题；为，然后利用充分性和必要性的判断方式来判断即可.
【详解】若命题“，”为真命题，
则当时，恒成立，
即，
故该题可以转变为“”的一个必要不充分条件，
由必要不充分条件的判断可知，
“”的一个必要不充分条件是“”
所以AD符合题意.
故选：AD
11. 若，均为正数，且，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最大值为B. 的最小值为9
C. 的最小值为D. 的最小值为4
【正确答案】BC
【分析】根据基本不等式“1”的妙用与逐项判断即可.
【详解】因为，均为正数，且，所以，所以，
当且仅当，即，时，等号成立，所以A错误；
，
当且仅当，即时，等号成立，所以B正确；
，
当且仅当，即，时，等号成立，所以C正确；
，
当且仅当，即，时，等号成立，
而，均为正数，故等号不成立，所以D错误.
故选：BC.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，则的取值范围为___________.
【正确答案】
【分析】根据不等式的性质计算可得.
【详解】解：因为，即，所以，，
所以，即
故
13. 设，则的最小值为______.
【正确答案】
【分析】利用换元法，令将所给的代数式进行变形，然后利用均值不等式即可求得最小值.
【详解】由，可得.
可令，即，则，
当且仅当，时，等号成立.
故答案为．
本题主要考查基本不等式求最值的方法，换元法及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
14. 若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“全食”；若两个集合有公共元素，但互不为对方的子集，则称两个集合构成“偏食”.对于集合，，若这两个集合构成“全食”或“偏食”，则实数a的值为__________.
【正确答案】0或1或4
【分析】分和两种情况讨论，再结合“全食”和“偏食”的定义即可得解.
【详解】若，则，满足为的子集，此时A与B构成“全食”；
若，则，
由与构成“全食”或“偏食”，得或，解得或，
综上，实数的值为0或1或4.
故0或1或4.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）比较与的大小；
（2）证明不等式：
【正确答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）利用作差法，判断差正负比较大小即得.
（2）利用基本不等式证明不等式即可.
【详解】（1），所以.
（2），当且仅当时取等号，所以.
16. 设，其中，如果，求实数的取值范围.
【正确答案】或
【分析】由，然后利用集合元素个数分别讨论，求出的取值范围即可.
【详解】由，而，
对于集合有：
当，即时，，符合；
当，即时，，符合；
当，即时，中有两个元素，而；
∴得；
综上，或.
17. 已知非空集合，．
（1）若，求；
（2）若“”是“”的充分而不必要条件，求实数a的取值范围．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）将代入集合求解，利用集合间的关系可求；
（2）利用充分不必要条件的定义，分类讨论集合可求实数的取值范围．
【小问1详解】
已知集合，．
当时，，或
又，
；
【小问2详解】
因为“”是“”充分不必要条件，所以是的真子集，
又，，
所以，
所以；
当时，是的真子集；
当时，也满足是的真子集，
综上所述：．
18. 已知ab≠0，求证：a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件．
【正确答案】证明见解析
【分析】先证明充分性，再证明必要性.
【详解】①充分性：∵a＋b＝1，
∴b＝1－a，
∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0，
即a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
②必要性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，
∴(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，
∴(a2－ab＋b2)(a＋b－1)＝0.
∵ab≠0，
∴a≠0且b≠0，
∴a2－ab＋b2≠0.
∴a＋b－1＝0，
∴a＋b＝1.
综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件．
19. 在只剩一面墙的破屋基础上要求修建新屋（修四面墙），旧墙长12米，新屋的面积预定为112平方米，且保留一部分旧墙作为一面墙来修建新屋.已知这项工程的费用要求是：①新料砌墙的费用为元/米；②修理旧墙的费用相当于砌新墙的25%；③拆旧墙的一部分，利用旧料来砌同样长度的新墙，这费用相当于用新料砌墙的50%.在这种情况下旧墙保留约多少米最为合算？（，结果精确到0.1）
【正确答案】保留约11.3米最为合算
【分析】先设预留的旧墙的长度为，然后利用面积为112平方米计算出剩下的墙长度，利用旧墙材料砌的墙的长度，剩下的新墙长度，然后计算所需费用，最后用基本不等式求解取最值的条件.
【详解】设保留的旧墙的长度为，
则另外三面墙长度之和为，
另外三面墙中利用旧墙材料修建的长度为，
所以新墙的长度为，
所以总费用为
，
当且仅当，即时等号成立，
故保留约11.3米最为合算.