2024-2025学年河南省南阳市邓州市高一上册9月联考数学检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年河南省南阳市邓州市高一上册9月联考数学检测试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正确命题的个数为（ ）
A. 4B. 2C. 3D. 5
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
3. 若集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知集合，，若，则（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
5. 已知集合，若中有且仅有一个元素，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
6 设集合，集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
7. 命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
8. 杭州第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日举行，经调查，亚运会中球类、田径类、游泳类比赛深受学生喜爱．小明统计了其所在班级50名同学观看球类、田径类、游泳类比赛情况，每人至少观看过其中一类比赛，有15人观看过这3类比赛，18人没观看过球类比赛，20人没观看过田径类比赛，16人没观看过游泳类比赛，因不慎将观看过其中两类比赛的人的数据丢失，记为，则由上述可推断出（ ）
A. 16B. 17C. 18D. 19
二、多选题
9. 下列结论正确的是（ ）
A. “”是“”的充分不必要条件
B. “”是“”的必要不充分条件
C. “，有”的否定是“，使”
D. “是方程的实数根”的充要条件是“”
10. 若关于的方程至多有一个实数根，则它成立的必要条件可以是（ ）
A B.
C. D.
11. 非空集合A具有如下性质：①若，则；②若，则下列判断中，正确有（ ）
A. B.
C. 若，则D. 若，则
三、填空题
12. 设集合，则集合的子集个数为________
13. 已知，，且，则a的取值范围为_________．
14. 已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数a的取值范围为______.
四、解答题
15. 已知集合，，且.
（1）写出集合的所有子集；
（2）求实数的值组成的集合.
16. 已知全集，集合，.
（1）当时，求和；
（2）若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
17. 已知命题：方程有两个不等的负实根；命题：方程无实根.
（1）若命题为真，求实数的取值范围；
（2）若命题，中有且仅有一个为真一个为假，求实数的取值范围.
18. 已知命题，，命题，.
（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若命题q为真命题，求实数m的取值范围；
（3）若命题p，q至少有一个为真命题，求实数m的取值范围.
19. 已知是非空数集，如果对任意，都有，则称是封闭集.
（1）判断集合是否为封闭集，并说明理由；
（2）判断以下两个命题的真假，并说明理由；
命题：若非空集合封闭集，则也是封闭集；
命题：若非空集合是封闭集，且，则也是封闭集；
（3）若非空集合封闭集合，且为全体实数集，求证：不是封闭集.
2024-2025学年河南省南阳市邓州市高一上学期9月联考数学检测试卷
一、单选题
1. 给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正确命题的个数为（ ）
A. 4B. 2C. 3D. 5
【正确答案】A
【分析】根据R，，，，，这几个常用数集的含义判断即可.
【详解】对于①，因为为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确；
对于②，因为是无理数，所以，所以②错误；
对于③，因为不是正整数，所以，所以③正确；
对于④，因为，所以④正确；
对于⑤，因为是无理数，所以，所以⑤正确；
对于⑥，因为，所以⑥错误.
故选：A.
2. 命题“，”的否定是（ ）
A ，B. ，
C. ，D. ，
【正确答案】D
【分析】根据特称命题的否定直接得出答案.
【详解】因为特称命题的否定是全称命题，
所以命题“，”的否定是为：，，
故选：D.
3. 若集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】首先求出集合，再根据交集的定义计算可得.
【详解】由，则，
所以，
又，
所以.
故选：C
4. 已知集合，，若，则（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【正确答案】A
【分析】由两集合相等列方程求出，再检验集合元素的互异性即可得答案.
【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或，
又根据集合互异性，可知，解得舍去，
所以解得，
所以，
故选：A
5. 已知集合，若中有且仅有一个元素，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】由交集的概念即可求解.
【详解】因为，要使得中有且仅有一个元素，则或，即实数的取值范围为.
故选：B.
6. 设集合，集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为即可.
【详解】由题意可得，则，选项A正确；
，则，选项B错误；
，则或x≥1，选项C错误；
或，则或，选项D错误；
故选：A.
7. 命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】求解命题“”为真命题时，即可根据真子集求解.
【详解】命题“”为真命题,则对恒成立，所以，故，
所以命题“”为真命题的充分不必要条件需要满足是的真子集即可，由于是的真子集，故符合，
故选：D
8. 杭州第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日举行，经调查，亚运会中球类、田径类、游泳类比赛深受学生喜爱．小明统计了其所在班级50名同学观看球类、田径类、游泳类比赛情况，每人至少观看过其中一类比赛，有15人观看过这3类比赛，18人没观看过球类比赛，20人没观看过田径类比赛，16人没观看过游泳类比赛，因不慎将观看过其中两类比赛的人的数据丢失，记为，则由上述可推断出（ ）
A. 16B. 17C. 18D. 19
【正确答案】A
【分析】不妨设观看过球类与田径类比赛的有人，观看过球类与游泳类比赛的有人，观看过田径类与游泳类比赛的有人，只观看过球类、田径类、游泳类比赛的人数分别为，，，画出图结合题意求解即可.
【详解】不妨设观看过球类与田径类比赛有人，观看过球类与游泳类比赛的有人，
观看过田径类与游泳类比赛的有人，则，
只观看过球类、田径类、游泳类比赛的人数分别为，，，如图，则①，
因为有18人没看过球类比赛，所以，
因为20人没观看过田径类比赛，16人没观看过游泳类比赛，所以，，
所以②，由①②得，则．
故选：A．
二、多选题
9. 下列结论正确的是（ ）
A. “”是“”的充分不必要条件
B. “”是“”的必要不充分条件
C. “，有”的否定是“，使”
D. “是方程的实数根”的充要条件是“”
【正确答案】ACD
【分析】根据不等式的范围判断A；根据交集的概念判断B；全称量词命题的否定是存在量词命题判断C；将1代入方程求解判断D.
【详解】对于A，因为，所以或，所以“当”时，“”成立，反之不成立，
故“”是“”充分不必要条件，正确；
对于B，“”一定有“”成立，反之不成立，
故“”是“”的充分不必要条件，错误；
对于C，命题“，有”是全称量词命题，
其否定是存在量词命题，即“，使”，正确；
对于D，当时，1为方程的一个根，故充分；
当方程有一个根为1时，代入得，故必要，正确；
故选：ACD
10. 若关于的方程至多有一个实数根，则它成立的必要条件可以是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】BC
【分析】利用的判别式，求出的范围，再利用必要条件的定义即可求得.
【详解】因为方程至多有一个实数根，
所以方程的判别式，
即：，解得，
利用必要条件的定义，结合选项可知，成立的必要条件可以是选项B和选项C.
故选：BC.
11. 非空集合A具有如下性质：①若，则；②若，则下列判断中，正确的有（ ）
A B.
C. 若，则D. 若，则
【正确答案】ABC
【分析】根据元素与集合的关系进行分析，从而确定正确答案.
【详解】对于A，假设，则令，则，
令，则，
令，不存在，即，矛盾，
∴，故A对；
对于B，由题，，则
∴，故B对；
对于C，∵，，，
∵故C对；
对于D，∵，，若，则，故D错误．
故选：ABC．
三、填空题
12. 设集合，则集合的子集个数为________
【正确答案】16
【分析】先化简集合A，再利用子集的定义求解.
【详解】解：，
故A的子集个数为，
故16
13. 已知，，且，则a的取值范围为_________．
【正确答案】
【分析】求得集合，根据，分和两种情况讨论，即可求解.
【详解】由题意，集合，
当时，即，解得，此时满足，
当时，要使得，则或，
当时，可得，即，此时，满足；
当时，可得，即，此时，不满足，
综上可知，实数的取值范围为.
故答案为.
14. 已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数a取值范围为______.
【正确答案】####
【分析】先由题意得到“，”为真命题，讨论和两种情况，即可求出结果.
【详解】命题“，”为假命题，则其否定“，”为真命题.
当时，集合，符合.
当时，因为，
所以由，，得对于任意恒成立，
又，所以.
综上，实数a的取值范围为.
故答案为.
四、解答题
15. 已知集合，，且.
（1）写出集合的所有子集；
（2）求实数的值组成的集合.
【正确答案】（1），，，
（2）
【分析】（1）先解一元二次方程求集合A，然后由子集定义即可得答案；
（2）分和讨论，当时求出集合B，根据集合关系即可求解.
【小问1详解】
由解得或，
所以，
所以集合的所有子集为，，，.
【小问2详解】
由得，
①当时，，满足条件.
②当时，，因为，
所以或，解得或.
综上，实数的值组成集合为.
16. 已知全集，集合，.
（1）当时，求和；
（2）若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
【正确答案】（1），
（2）
【分析】（1）根据集合并集、交集、补集运算求解即可；
（2）根据充分不必要条件转化为集合的包含关系求解即可
【小问1详解】
当时，集合，
因为，所以.
所以，
【小问2详解】
因为“”是“”成立的充分不必要条件，
所以是的真子集，而不为空集，
所以，因此.
17. 已知命题：方程有两个不等的负实根；命题：方程无实根.
（1）若命题为真，求实数的取值范围；
（2）若命题，中有且仅有一个为真一个为假，求实数的取值范围.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）由二次函数的性质得出命题为真时，实数的取值范围，进而由命题为真求解；
（2）由判别式得出为真时，实数的取值范围，再讨论真假或假真，得出实数的取值范围.
【小问1详解】
若方程有两个不等的负根，则，解得；
因为命题为真，所以实数的取值范围为.
【小问2详解】
若方程无实根，则，解得.
若真假时，，解得；
若假真时，，解得.
综上，得.
18. 已知命题，，命题，.
（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
（2）若命题q为真命题，求实数m的取值范围；
（3）若命题p，q至少有一个为真命题，求实数m的取值范围.
【正确答案】（1）
（2）或
（3）
【分析】（1），可转化个；
（2），可转化成方程有两不等实根；
（3），即p或q为真命题，结合（1）（2）即可得到答案
【小问1详解】
若命题p为真命题，则对恒成立，
即，因此，解得.
因此，实数m的取值范围是.
【小问2详解】
若命题q为真命题，则方程有两不等实根，
所以，则，解得或.
因此，实数m的取值范围是或.
【小问3详解】
若命题p，q至少有一个为真命题，即p或q为真命题，
则结合（1）（2）得或，
因此，实数m的取值范围是
19. 已知是非空数集，如果对任意，都有，则称是封闭集.
（1）判断集合是否为封闭集，并说明理由；
（2）判断以下两个命题的真假，并说明理由；
命题：若非空集合是封闭集，则也是封闭集；
命题：若非空集合是封闭集，且，则也是封闭集；
（3）若非空集合是封闭集合，且为全体实数集，求证：不是封闭集.
【正确答案】（1）集合是封闭集，不是封闭集，理由见解析；
（2）命题为假命题，命题q为真命题，理由见解析；
（3）见解析.
【分析】(1)根据封闭集的定义判断即可；
(2) 对命题举反例说明即可；
对于命题：设，由是封闭集，可得，从而判断为正确；
(3)根据题意，令，只需证明不是封闭集即可，取中的即可证明.
【小问1详解】
解：对于集合 因为，
所以是封闭集；
对于集合，因为，，
所以集合不是封闭集；
【小问2详解】
解：对命题：令，
则集合是封闭集，但不是封闭集，故错误；
对于命题：设，则有，又因为集合是封闭集，
所以，
同理可得，
所以，
所以是封闭集，故正确；
【小问3详解】
证明：假设结论成立，设，
若，矛盾，所以，所以有，
设且，否则，
所以有，矛盾，故假设不成立，原结论成立，证毕.