2024-2025学年甘肃省天水市秦州一中高二（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年甘肃省天水市秦州一中高二（上）期末数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.小亦从2本不同的人教A版必修系列书籍和3本不同的人教A版选择性必修系列书籍中各选1本进行复习，则不同的选择方案共有( )
A. 5种B. 6种C. 8种D. 9种
2.在等差数列{an}中，a1+a39=10，则a20=( )
A. 20B. 10C. 10D. 5
3.下列双曲线，焦点在y轴上且渐近线方程为y=±12x的是( )
A. x24−y2=1B. x22−y28=1C. y23−x212=1D. y24−x2=1
4.已知C16x=C162x+1，则x=( )
A. 4B. 3C. 5D. 1
5.如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，且BD=3BC，则AD=( )
A. 4AC−3AB
B. 3AC−2AB
C. 43AC−13AB
D. 13AC−23AB
6.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，若g(x)=f(x)+2，g(3)=1，则g(−3)=( )
A. 3B. −3C. 1D. −1
7.已知A(2,0)，B(−1,1)，动点H(x,y)满足 3|HA|= 2|HB|，记动点H的轨迹为曲线C，则曲线C的方程为( )
A. x2+y2+16x−4y+8=0B. x2+y2−8x+4y+8=0
C. x2+y2−16x+4y+8=0D. x2+y2+16x−4y−8=0
8.元旦假期，某旅游公司安排6名导游分别前往沈阳故宫、本溪水洞、鞍山千山、盘锦红海滩四个景区承担义务讲解任务，要求每个景区都要有导游前往，且每名导游都只安排去一个景区，则不同的安排方法种数为( )
A. 1280B. 300C. 1880D. 1560
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知虚数z满足z−=−12+ 32i，则( )
A. z的实部为−12B. z的虚部为 32
C. |z|=1D. z在复平面内对应的点在第三象限
10.已知(2−x)11=a0+a1x+a2x2+⋯+a11x11，则( )
A. a0=211
B. a0+a1+a2+⋯+a11=0
C. a1+a3+a5+a7+a9+a11=1−3112
D. a1+21×a2+22×a3+⋯+210×a11=−210
11.数学中有许多形状优美的曲线，曲线E：3x2+3y2−2|xy|=8就是其中之一，则下列四个结论中正确的是( )
A. 曲线E关于原点对称，且关于直线y=x对称
B. 曲线E上任意一点到原点的距离都不超过2
C. 若M(x,y)是曲线E上的任意一点，则3y−x的最大值为 35
D. 已知P(1,1)，直线y=kx(k>0)与曲线E交于A，B两点，则|PA|+|PB|为定值
三、填空题：本题共3小题，共20分。
12.小沉从5瓶不同香味的香水中选择2瓶进行试香，则小沉共有______种选择．
13.已知F为抛物线C：y2=8x的焦点，A为抛物线C上一点.若|AF|=11，则点F的坐标为______，点A的横坐标为______．
14.已知ω∈N+，函数f(x)=sin(ωx+π6)在[π4,π3]上单调递减，则ω的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知O为坐标原点，抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点F到准线的距离为1．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)M，N为抛物线C上的两点，若直线MN与y轴垂直，且△OMN为等腰直角三角形，求△OMN的面积．
16.(本小题12分)
已知(x+2x)n的展开式中共有9项．
(1)求n的值；
(2)求展开式中x4的系数；
(3)求二项式系数最大的项．
17.(本小题12分)
在2名指导老师的带领下，4名大学生(男生2名，女生2名)志愿者深入乡村，开启了支教之旅.他们为乡村的孩子们精心设计了阅读、绘画、心理辅导等多元化课程，并组织了丰富多彩的文体游戏.支教结束后，现让这6名师生站成一排进行合影，在下列情况下，各有多少种不同的站法？
(1)2名指导老师相邻且站正中间，2名女大学生相邻；
(2)2名男大学生互不相邻，且男大学生甲不站最左侧；
(3)2名指导老师之间恰有1名女大学生和1名男大学生．
18.(本小题12分)
已知双曲线C：x2a2−y212=1(a>0)经过点H(2,0)，直线L与双曲线C相交于A，B两点．
(1)求双曲线C的离心率；
(2)若线段AB的中点坐标为(3,3)，求直线l的斜率；
(3)直线l经过双曲线C的右焦点，若以线段AB为直径的圆经过坐标原点O，求直线l的方程．
19.(本小题12分)
若椭圆Γ：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，B1(0,b)，B2(0,−b)，P为椭圆Γ上异于点B1，B2的任一点，且|PB1|0)，cb+bc=52，四边形B1F1B2F2的面积为4．
(1)求椭圆Γ的标准方程；
(2)若椭圆Γ为“内含椭圆”，求椭圆Γ的标准方程；
(3)若椭圆Γ为“内含椭圆”，H为椭圆Γ上一点M( 510,0)，且存在实数λ，使得|HF1|+|HF2|=λ|HM|，求λ的取值范围．
参考答案
1.B
2.D
3.C
4.C
5.B
6.A
7.C
8.D
9.ACD
10.ACD
11.ABD
12.10
13.(2,0) 9
14.10
15.解：(1)由题意得 p=1，
∴抛物线C的标准方程为x2=2y；
(2)不妨设M(m,n)(m>0,n>0)，
由已知结合对称性可得N(−m,n)，
又△OMN为等腰直角三角形，
∴m=nm2=2n，解得m=n=2．
∴△OMN的面积为S=12×2m×n=mn=4．
16.解：(1)由题意得n十1=9，解得n=8．
(2)由(1)可知(x+2x)8展开式的通项为 Tr+1=∁8r⋅x8−r⋅(2x)r =2r⋅∁8r⋅x8−2r，
令8−2r=4，解得r=2，
则T3=22∁82x4 =112x4．
故展开式中x4的系数为112．
(3)根据题意可得二项式系数最大的项为T5 =24∁84x0=1120．
17.解：(1)这6名师生站成一排进行合影，2名指导老师相邻且站正中间，2名女大学生相邻，
先排2名指导老师，有A22种站法，
再排2名女大学生，有C21A22种站法，
最后排剩余的2名男大学生，有A22种站法，
所以共有A22C21A22A22=2×2×2×2=16种不同的站法．
(2)先排2名指导老师和2名女大学生，有A44种站法，
再用插空法排男大学生甲，除去最左侧有C41种站法，
最后继续用插空法，排剩余的1名男大学生，有C41种站法，
所以2名男大学生互不相邻，且男大学生甲不站最左侧，共有A44C41C41=24×4×4=384种不同的站法．
(3)先选1名女大学生和1名男大学生站2名指导老师中间，有C21C21A22种站法，
再排2名指导老师，有A22种站法，
最后将选中的1名女大学生，1名男大学生及2名指导老师视为一个整体，
利用捆绑法与剩余的2名大学生全排列，有A33种站法，
所以2名指导老师之间恰有1名女大学生和1名男大学生，共有C21C21A22A22A33=2×2×2×2×6=96种不同的站法．
18.解：(1)因为双曲线C经过点H(2,0)，
所以4a2=1，
解得a=2，
则双曲线C的离心率e= 1+b2a2= 1+124=2；
(2)易知直线l的斜率存在，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
因为A，B两点均在双曲线上，
所以x124−y1212=1x224−y2212=1，
两式相减得x12−x224−y12−y2212=0，
整理得y1−y2x1−x2=124×x1+x2y1+y2，
因为线段AB的中点坐标为(3,3)，
所以x1+x2=6，y1+y2=6，
所以直线l的斜率k=y1−y2x1−x2=124×x1+x2y1+y2=3×66=3，
则直线l的方程为y−3=3(x−3)，
即3x−y−6=0，
经检验，直线l与双曲线C相交，
所以直线1的斜率为3；
(3)易知双曲线C的右焦点为F(4,0)，
若以线段AB为直径的圆经过坐标原点O，
此时OA⋅OB=0，
当直线l的斜率不存在时，
直线l的方程为x=4，
设A(4,6)，B(4,−6)，
此时OA=(4,6)，OB=(4,−6)，
因为OA⋅OB=0，
所以直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y=k(x−4)(k≠± 3)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立y=k(x−4)x24−y212=1，消去y并整理得(3−k2)x2+8k2x−(16k2+12)=0，
此时Δ>0，
由韦达定理得x1+x2=8k2k2−3，x1x2=16k2+12k2−3，
因为OA=(x1,y1)，OB=(x2,y2)，
所以OA⋅OB=x1x2+y1y2=x1x2+k2(x1−4)(x2−4)
=(1+k2)x1x2−4k2(x1+x2)+16k2，
因为x1+x2=8k2k2−3，x1x2=16k2+12k2−3，
所以OA⋅OB=(1+k2)⋅16k2+12k2−3−4k2⋅8k2k2−3+16k2=12−20k2k2−3=0，
解得k=± 155，
此时满足Δ>0．
则直线l的方程为y=± 155(x−4)．
19.解：(1)因为cb+bc=52，四边形B1F1B2F2的面积为4，
所以b2+c2bc=522×12×2bc=4a2=b2+c2，
解得a= 5b=2c=1或a= 5b=1c=2，
则椭圆Γ的标准方程为x25+y24=1或x25+y2=1；
(2)若椭圆Γ的标准方程为x25+y2=1，
此时B1(0,1)，B2(0,−1)，
设椭圆Γ的左顶点为A1(− 5,0)，
此时|A1B1|= 6，|B1B2|=2，
易知|A1B1|>|B1B2|，不符合题意；
若椭圆Γ的标准方程为x25+y24=1，
此时B1(0,2)，B2(0,−2)，
设P(x0,y0)(−2