2023-2024学年广东省广州中学少年部七年级（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年广东省广州中学少年部七年级（下）期中数学试卷（含答案），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共 10 小题，满分 32 分）
8
3 27
1．（3 分）在实数 7 ，0.57577577757777、、
11
、 2 、0、| 3|中无理数的个数是()
A．2 个B．3 个C．4 个D．5 个
2．（3 分）如图，在海上有 A 、B 两座小岛，在 A 岛处看 B 岛在北偏东50 方向上，如果在 B 岛处看 A 岛，
A 岛在( )
A．北偏东50 方向上
B．东偏北 40 方向上
C．南偏西50 方向上
3．（3 分）下列说法中，正确的是(
)
D．北偏南 40 方向上
81
①8 的立方根是 2；②
的平方根是3 ；③4 的算术平方根是2 ；④立方根等于1 的实数是1 ．
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④
4．（3 分）如图， E 是直线CA 上一点， FEA  40 ，射线 EB 平分CEF ， GE  EF ．则GEB  ( )
A．10B． 20C． 30D． 40
5．（3 分）下列说法中：
①若 mn  0 ，则点 A(m, n) 在原点处；
②已知点 A 的坐标是(a,b) ，若 a  b  0 、 ab  0 ，则点 A 在第三象限；
③已知点 A(m, n) 与点 B(m, n) ， m ， n 均不为 0，则直线 AB 平行 x 轴；
④已知点 A(2, 3) ， AB / / y 轴，且 AB  5 ，则点 B 的坐标一定为(2, 2) ； 其中正确的有()
个B．2 个C．3 个D．4 个
6．（3 分）如图，把ABC 纸片沿 DE 折叠，当点 A 落在四边形 BCED 的外部时，则A 与1 和2 之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是( )
A． 2A  1  2
B． 3A  2(1  2)
C． 3A  21  2
D． A  1  2
7．（3 分）下列说法中不正确的个数为( )
①在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和垂直．
②有且只有一条直线垂直于已知直线．
③如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离．
⑤过一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
个B．3 个C．4 个D．5 个
8．（3 分）如图，在直角坐标系 xOy 中，一个质点从 A(a1 ，a2 ) 出发沿图中路线依次经过 B(a3 ，a4 ) ，C(a5 ，
a6 ) ， D(a7 ， a8 ) ， ，按此规律一直运动下去，则 a2019  a2020  a2021  ( )
A．1009B．1010C．1011D．1012
9．（4 分）（多选）下列说法不正确的是( ) A．点 P(3, 2) 到 x 轴的距离是 3
点 P( | a | 1, a2  1) 一定在第二象限
若点 P(x, y) 在第一、第三象限角平分线上，则 x  y
若 x2  64 ，则 x 的立方根是 2
10．（4 分）（多选）如图，在直角三角形 ABC 中，BAC  90 ，将三角形 ABC 沿直线 BC 向右平移2cm 得到三角形 DEF ，连接 AE ，有以下结论：① AD / / BE ；② B  AED ；③ DE  AC ；④ BE  AD ，其中正确的有( )
A．①B．②C．③D．④
二、填空题（本大题共 6 小题，满分 18 分）
11．（3 分）如图，正方形卡片 A 类，B 类和长方形卡片C 类若干张，如果要拼一个长为(a  2b) ，宽为(3a  b)
的大长方形，则需要C 类卡片 张．
12．（3 分）用一个 a 的值说明命题“若 a2  1 ，则 a  1”是假命题，这个值可以是 a  ．
13．（3 分）如图，A ，B ，C 在数轴上对应的点分别为 a ，1 ， 2 ，其中 a  1 ，且 AB  BC ，则| a | ．
( y  3)2  1
14．（3 分）已知实数 a 的整数部分是 x ，小数部分是 y ，且 x ，y 使(1 x  3)2 与
2
互为相反数，
则实数 a  ．
15．（3 分）在同一平面内，A 与B 的一组边平行，另一组边垂直，且A 比B 的 3 倍少10 ，则
B  ．
16．（3 分）如图，将三个相同的三角尺60 角的顶点重合放置，如果1  22 ， 2  26 ，那么3 的度数是 ．
三、解答题（本大题共 9 小题，满分 70 分）
3 8
1
4
3
(2)2
17．（6 分）计算：
0.04
（1）
；（2） (1)2  3 64  |
 2 | ．
18．（8 分）把下列各数的序号分别填入相应的集合内：
4
0.4
①  11 ，② 3 2 ，③1 ，④0，⑤，⑥
12
依次多 1 个0) ，⑨ 0.2 3 ，⑩3.14．
整数集合：
分数集合：
无理数集合：
，⑦   ，⑧ 0.13030030003 （相邻的两个 3 之间
3 125
4
19．（8 分）推理填空：如图，直线 AB / /CD ，并且被直线 EF 所截，交 AB 和CD 于点 M ，N ，MP 平分AME ，
NQ 平分CNE ，试证明 MP / / NQ ．（请在横线上填上推理内容或依据）
证明： AB / /CD ，
AME  CNE( ) ，
 MP 平分AME ， NQ 平分CNE ．
 1  1 AME ， 2  ( ) ，
2
AME  CNE ，
 ( ) ，
 MP / / NQ( ) ．
20．（8 分）如图，每个小正方形的边长为 1，利用网格点画图和无刻度的直尺画图（保留画图痕迹）:
在方格纸内将三角形 ABC 经过一次平移后得到三角形 ABC ，图中标出了点 B 的对应点 B ，画出三角形 ABC ；
过点 A 画线段 AD 使 AD / / BC 且 AD  BC ；
图中 AD 与CB 的关系是 ；
点 E 在线段 AD 上， CE  4 ，点 H 是直线CE 上一动点，线段 BH 的最小值为 ．
21．（8 分）先阅读然后解答提出的问题：
设 a 、b 是有理数，且满足 a 
2b  3  2
，求ba 的值．
2
2
2
解：由题意得(a  3)  (b  2) 0 ，因为 a 、b 都是有理数，所以 a  3 ，b  2 也是有理数，由于是无
5
理数，所以 a  3  0 ， b  2  0 ，所以 a  3 ， b  2 ，所以ba  (2)3  8 ．
问题：设 x 、 y 都是有理数，且满足 x2  2 y 
5 y  10  3
，求 x  y 的值．
22．（8 分）已知点 A(3a  2, 2a  4) ，试分别根据下列条件，求出点 A 的坐标．
（1）经过点 A(3a  2, 2a  4) ， B(3, 4) 的直线，与 x 轴平行；
（2）点 A 到两坐标轴的距离相等．
23 ．（ 8 分） 如图在平面直角坐标系中， 点 A ， B 的坐标分别为 A(a, 0) ， B(b, 0) ．且 a ， b 满足
| a  3 | (a  2b  7)2  0 ，现同时将点 A ，B 分别向左平移 2 个单位，再向上平移 2 个单位，分别得到点 A 、
B 的对应点C 、 D ，连接 AC ， BD ， CA 的延长线交 y 轴于点 K ．
点 P 是线段CK 上的一个动点，点Q 是线段CD 的中点，连接 PQ ， PO ，当点 P 在线段CK 上移动时（不与 A ， C 重合），请找出PQD ， OPQ ， POB 的数量关系，并证明你的结论．
连接 AD ，在坐标轴上是否存在点 M ，使MAD 的面积与ACD 的面积相等？若存在，直接写出点 M
的坐标；若不存在，试说明理由．
24．（8 分）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“平行中的数量关系”为主题开展数学活动．已知 AB / /CD ，BF 为ABE
的平分线， DF 为CDE 的平分线， BF 和 DF 相交于点 F ． 探究问题
在图 1 中， BFD ， ABF ， CDF 之间的数量的关系为 ．
BFD ， ABE ， CDE 之间的数量关系为： ． 知识迁移
如图 2，若E  8M  360 ， ABM  1 EBF ，试猜想CDM 和MDF 间的数量关系，并加以
4
证明．
25．（8 分）如图 1 在平面直角坐标系中，大正方形OABC 的边长为 m 厘米，小正方形ODEF 的边长为 n 厘
n  2
米，且| m  4|  0 ．
求点 B 、点 D 的坐标．
起始状态如图 1 所示，将大正方形固定不动，小正方形以 1 厘米/ 秒的速度沿 x 轴向右平移，如图 2． 设平移的时间为t 秒，在平移过程中两个正方形重叠部分的面积为 S 平方厘米．
①当t  1.5 时， S  平方厘米；
②在 2t4 这段时间内，小正方形的一条对角线扫过的图形的面积为 平方厘米；
③在小正方形平移过程中，若 S  2 ，则小正方形平移的时间t 为 秒．
将大正方形固定不动，小正方形从图 1 中起始状态沿 x 轴向右平移，在平移过程中，连接 AD ，过 D 点作 DM  AD 交直线 BC 于 M ，DAx 的角平分线所在直线和CMD 的角平分线所在直线交于 N （不考虑 N 点与 A 点重合的情形），求ANM 的大小并说明理由．
2023-2024 学年广东省广州中学少年部七年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共 10 小题，满分 32 分）
8
3 27
1．（3 分）在实数 7 ，0.57577577757777、、
11
、 2 、0、| 3|中无理数的个数是( )
8
A．2 个B．3 个C．4 个D．5 个
8
【解答】解： 7 ，0.57577577757777、
11
、 3 27  3 、2 、0、| 3 | 3 中，无理数有：
， 2 ，共 2
个．
故选： A ．
2．（3 分）如图，在海上有 A 、B 两座小岛，在 A 岛处看 B 岛在北偏东50 方向上，如果在 B 岛处看 A 岛，
A 岛在( )
北偏东50 方向上B．东偏北 40 方向上
C．南偏西50 方向上D．北偏南 40 方向上
【解答】解：如图：
在海上有 A 、B 两座小岛，在 A 岛处看 B 岛在北偏东50 方向上，如果在 B 岛处看 A 岛，A 岛在南偏西50
方向上． 故选： C ．
3．（3 分）下列说法中，正确的是( )
81
①8 的立方根是 2；②
的平方根是3 ；③4 的算术平方根是2 ；④立方根等于1 的实数是1 ．
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④
【解答】解：8 的立方根是 2，
①的结论正确；
81
 9 ，9 的平方根是3 ，
②的结论正确；
 4 的算术平方根是 2，
③的结论不正确；
立方根等于1 的实数是1 ，
④的结论正确．
综上，结论正确的有：①②④， 故选： D ．
4．（3 分）如图， E 是直线 CA 上一点， FEA  40 ，射线 EB 平分CEF ， GE  EF ．则GEB  (
)
A．10B． 20C． 30D． 40
【解答】解：FEA  40 ， GE  EF ，
CEF  180  FEA  180  40  140 ， CEG  180  AEF  GEF  180  40  90  50 ，
射线 EB 平分CEF ，
 CEB  1 CEF  1 140 70 ，
22
GEB  CEB  CEG  70  50  20 ， 故选： B ．
5．（3 分）下列说法中：
①若 mn  0 ，则点 A(m, n) 在原点处；
②已知点 A 的坐标是(a,b) ，若 a  b  0 、 ab  0 ，则点 A 在第三象限；
③已知点 A(m, n) 与点 B(m, n) ， m ， n 均不为 0，则直线 AB 平行 x 轴；
④已知点 A(2, 3) ， AB / / y 轴，且 AB  5 ，则点 B 的坐标一定为(2, 2) ； 其中正确的有( )
个B．2 个C．3 个D．4 个
【解答】解：若 mn  0 ，则 m  0 或 n  0 ，所以点 A(m, n) 在坐标轴上，所以①错误；
因为 a  b  0 、 ab  0 ，所以 a 、b 同号， a  0 ， b  0 ，则点 A 一定在第三象限，所以②正确；
已知点 A(m, n) 与点 B(m, n) ， m ， n 均不为 0，即点 A 与点 B 的纵坐标相等，则直线 AB 平行 x 轴，所以
③正确；
已知点 A(2, 3) ， AB / / y 轴，且 AB  5 ，则 B 点的坐标为(2, 2) 或(2, 8) ，所以④错误． 故选： B ．
6．（3 分）如图，把ABC 纸片沿 DE 折叠，当点 A 落在四边形 BCED 的外部时，则A 与1 和2 之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是( )
A． 2A  1  2
B． 3A  2(1  2)
C． 3A  21  2
D． A  1  2
【解答】解：如图，由翻折的性质得， 3  ADE ， AED  AED ，
3  1 (180  1) ，
2
在ADE 中， AED  180  3  A ，
CED  3  A ，
AED  CED  2  3  A  2 ，
180  3  A  3  A  2 ， 整理得， 23  2A  2  180 ，
 2  1 (180  1)  2A  2  180 ，
2
 2A  1  2 ． 故选： A ．
7．（3 分）下列说法中不正确的个数为( )
①在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和垂直．
②有且只有一条直线垂直于已知直线．
③如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离．
⑤过一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
个B．3 个C．4 个D．5 个
【解答】解：因为在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行，故①不正确； 因为过一点有且只有一条直线垂直于已知直线．故②不正确；
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．故③正确；
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离．故④不正确；
⑤过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．故⑤不正确． 所以不正确的有①②④⑤四个．
故选： C ．
8．（3 分）如图，在直角坐标系 xOy 中，一个质点从 A(a1 ，a2 ) 出发沿图中路线依次经过 B(a3 ，a4 ) ，C(a5 ，
a6 ) ， D(a7 ， a8 ) ， ，按此规律一直运动下去，则 a2019  a2020  a2021  ( )
A．1009B．1010C．1011D．1012
【解答】解：由图可知 A(1,1) ， B(1, 2) ， C(2, 3) ， D(2, 4) ， E(3, 5) ， F (3, 6) ， 即 a1  1 ， a2  1， a3  1 ， a4  2 ， a5  2 ， a6  3 ， a7  2 ， a8  4 ， ，
由此可发现规律，所有数列偶数个都是从 1 开始逐渐递增的，且都等于所在的个数的一半，
 a2020  1010 ，
四个数为一组，每组的第一个数等于所在的组数，每组的第三个数等于所在的组数的相反数
 2020  4  505 ，
 a2017  505 ，
 a2019  a2017  505 ，
 a2021  506 ，
 a2019  a2020  a2021  505  1010  506  1011． 故选： C ．
9．（4 分）（多选）下列说法不正确的是( )
点 P(3, 2) 到 x 轴的距离是 3
点 P( | a | 1, a2  1) 一定在第二象限
若点 P(x, y) 在第一、第三象限角平分线上，则 x  y
若 x2  64 ，则 x 的立方根是 2
【解答】解：点 P(3, 2) 到 x 轴的距离是| 2 | 2 ，该选项错误，则 A 符合题意；
点 P( | a | 1, a2  1) 中 | a | 1  0 ， a2  1  0 ，那么点 P 一定在第二象限，正确，则 B 不符合题意；
若点 P(x, y) 在第一、第三象限角平分线上，那么 x  y ，正确，则C 不符合题意；
若 x2  64 ，则 x  8 ，那么 x 的立方根是2 或 2，该选项错误，则 D 符合题意； 故选： AD ．
10．（4 分）（多选）如图，在直角三角形 ABC 中，BAC  90 ，将三角形 ABC 沿直线 BC 向右平移2cm 得到三角形 DEF ，连接 AE ，有以下结论：① AD / / BE ；② B  AED ；③ DE  AC ；④ BE  AD ，其中正确的有( )
A．①B．②C．③D．④
【解答】解：三角形 ABC 沿直线 BC 向右平移2cm 得到三角形 DEF ，
 AD / / BE ， AB / / DE ， AC / / DF ， BE  AD ， EDF  BAC ，故①④正确；
B  DEF ，
ADE  DEF ，
B  ADE ，故②正确；
BAC  90 ，
EDF  BAC  90 ，
 ED  DF ，
 AC / / DF ，
 DE  AC ，故③正确． 故选： ABCD ．
二、填空题（本大题共 6 小题，满分 18 分）
11．（3 分）如图，正方形卡片 A 类，B 类和长方形卡片C 类若干张，如果要拼一个长为(a  2b) ，宽为(3a  b)
的大长方形，则需要C 类卡片 7 张．
【解答】解： (a  2b)(3a  b)  3a2  7ab  2b2 ． 则需要C 类卡片 7 张．
故答案为：7．
12．（3 分）用一个 a 的值说明命题“若 a2  1 ，则 a  1”是假命题，这个值可以是 a  2（答案不唯一） ．
【解答】解：当 a  2 时， a2  4  1 ，而2  1 ，
命题“若 a2  1 ，则 a  1”是假命题，故答案为： 2 （答案不唯一）．
2
13．（3 分）如图， A ， B ， C 在数轴上对应的点分别为 a ， 1 ，
2
2 ．
2
【解答】解： A ， B ， C 在数轴上对应的点分别为 a ， 1 ，
2
1  a  (1) ，
2
1  a  1 ，
2
 a  2 ，
，其中 a  1 ，且 AB  BC ，则| a |
，其中 a  1 ，且 AB  BC ，
2
2
| a || 2 | 2 ，
2
故答案为： 2 ．
( y  3)2  1
14．（3 分）已知实数 a 的整数部分是 x ，小数部分是 y ，且 x ，y 使(1 x  3)2 与
2
互为相反数，
3
则实数 a  5 ．
( y  3)2  1
【解答】解：根据题意得： (1 x  3)2 
2
 0 ，
3
 1 x  3  0 ， y  1 ，
2
3
3
3
3
3
解得： x  6 ， y  1( y  1舍去），则实数 a  6  1  5 ．
故答案为：
 5 ．
15．（3 分）在同一平面内， A 与B 的一组边平行，另一组边垂直，且A 比B 的 3 倍少10 ，则B 
50 或 25 ．
【解答】解：如图1:
 AE / / BF ，
A  1  180 ，
1  180  A ，
A  3B  10 ，
1  180  (3B  10)  190  3B ，
 AC  BC ，
1  B  90 ，
190  3B  B  90 ，
B  50 ； 如图2:
 AE / / BF ，
A  1，
A  3B  10 ，
1  3B  10 ，
 AC  BC ，
1  B  90 ，
3B  10  B  90 ，
B  25 ；
综上， B 的度数为50 或 25
故答案为： 50 或 25 ．
16．（3 分）如图，将三个相同的三角尺60 角的顶点重合放置，如果1  22 ， 2  26 ，那么3 的度数是 12 ．
【解答】解：如图，
1  4  2  4  2  5  60 ，
5  1 ，
2  5  3  60 ，
3  60  1  2  12 ， 故答案为：12 ．
三、解答题（本大题共 9 小题，满分 70 分）
3 8
1
4
3
(2)2
17．（6 分）计算：
0.04
（1）
；（2） (1)2  3 64  |
 2 | ．
0.04
3 8
1
4
【解答】解：（1）
 0.2  (2)  1
2
 2.3 ；
3
（2） (1)2  3 64  |
 2 | 
(2)2
3
 1  4  2  2
3
 1 ．
18．（8 分）把下列各数的序号分别填入相应的集合内：
4
0.4
①  11 ，② 3 2 ，③1 ，④0，⑤，⑥
12
依次多 1 个0) ，⑨ 0.2 3 ，⑩3.14．
整数集合：{}:
分数集合：{}，
无理数集合：{}．
，⑦   ，⑧ 0.13030030003 （相邻的两个 3 之间
3 125
4
3 2
【解答】解：（1）①  11 是分数，②
12
是无理数，③1  1  2  1 是整数，④0 是整数，⑤是
4
0.4
无理数，⑥ 3 125  5 是整数，⑦   是无理数，⑧ 0.13030030003  （相邻的两个 3 之间依次多 1 个0) 是
4
无理数，⑨ 0.2 3 是分数，⑩3.14 是分数．整数集合：{ ③④⑥}:
（2）分数集合：{ ①⑨⑩}，
（3）无理数集合：{ ②⑤⑦⑧}．
19．（8 分）推理填空：如图，直线 AB / /CD ，并且被直线 EF 所截，交 AB 和CD 于点 M ，N ，MP 平分AME ，
NQ 平分CNE ，试证明 MP / / NQ ．（请在横线上填上推理内容或依据）
证明： AB / /CD ，
AME  CNE( 两直线平行，同位角相等 ) ，
 MP 平分AME ， NQ 平分CNE ．
 1  1 AME ， 2  ( ) ，
2
AME  CNE ，
 ( ) ，
 MP / / NQ( ) ．
【解答】解： AB / /CD ，
AME  CNE （两直线平行，同位角相等），
 MP 平分AME ， NQ 平分CNE ，
 1  1 AME ， 2  1 CNE （角平分线的定义），
22
AME  CNE ，
1  2 （等量代换），
 MP / / NQ （同位角相等，两直线平行）．
故答案为：两直线平行，同位角相等； 1 CNE ；角平分线的定义；等量代换；同位角相等，两直线平行．
2
20．（8 分）如图，每个小正方形的边长为 1，利用网格点画图和无刻度的直尺画图（保留画图痕迹）:
在方格纸内将三角形 ABC 经过一次平移后得到三角形 ABC ，图中标出了点 B 的对应点 B ，画出三角形 ABC ；
过点 A 画线段 AD 使 AD / / BC 且 AD  BC ；
图中 AD 与CB 的关系是 AD / / BC ， AD  BC ；
点 E 在线段 AD 上， CE  4 ，点 H 是直线CE 上一动点，线段 BH 的最小值为 ．
【解答】解：（1）如图，△ ABC 即为所求；
如图，线段 AD 即为所求；
由平移变换的性质可知 AD / / BC ， AD  BC ． 故答案为： AD / / BC ， AD  BC ．
当 BH  CE 时， BH 的值最小．
 SCBE
 SACB
 1  5  5  1 1 4  11  1 1 4  1  CE  BH ，
2222
 BH  15 ，
4
 BH 的最小值为15 ．
4
故答案为： 15 ．
4
2
21．（8 分）先阅读然后解答提出的问题：
设 a 、b 是有理数，且满足 a 
2b  3  2
，求ba 的值．
2
2
解：由题意得(a  3)  (b  2) 0 ，因为 a 、b 都是有理数，所以 a  3 ，b  2 也是有理数，由于是无
5
理数，所以 a  3  0 ， b  2  0 ，所以 a  3 ， b  2 ，所以ba  (2)3  8 ．
问题：设 x 、 y 都是有理数，且满足 x2  2 y 
5 y  10  3
，求 x  y 的值．
【解答】解：移项得： (x2  2 y  10)  5( y  3)  0 ，
5
是无理数，
 y  3  0 ， x2  2 y  10  0 ， 解得： y  3 ， x  4 ，
故 x  y  7 或1 ．
22．（8 分）已知点 A(3a  2, 2a  4) ，试分别根据下列条件，求出点 A 的坐标．
（1）经过点 A(3a  2, 2a  4) ， B(3, 4) 的直线，与 x 轴平行；
（2）点 A 到两坐标轴的距离相等．
【解答】解：（1）经过点 A(3a  2, 2a  4) ， B(3, 4) 的直线，与 x 轴平行，
点 A 和点 B 的纵坐标相同，
 2a  4  4 ，
 a  4 ，
3a  2  3  4  2  14 ，
点 A 的坐标为(14, 4) ；
（2）点 A(3a  2, 2a  4) 到两坐标轴的距离相等，
| 3a  2 || 2a  4| ，
3a  2  2a  4 或3a  2  2a  4  0 ， 解得 a  6 或 a  0.4 ，
当 a  6 时， 3a  2  3  (6)  2  16 ， 2a  4  2  (6)  4  16
当 a  0.4 时， 3a  2  3  0.4  2  3.2 ， 2a  4  3.2 ． 故点 A 的坐标为(16, 16) 或(3.2, 3.2) ．
23 ．（ 8 分） 如图在平面直角坐标系中， 点 A ， B 的坐标分别为 A(a, 0) ， B(b, 0) ．且 a ， b 满足
| a  3 | (a  2b  7)2  0 ，现同时将点 A ，B 分别向左平移 2 个单位，再向上平移 2 个单位，分别得到点 A 、
B 的对应点C 、 D ，连接 AC ， BD ， CA 的延长线交 y 轴于点 K ．
点 P 是线段CK 上的一个动点，点Q 是线段CD 的中点，连接 PQ ， PO ，当点 P 在线段CK 上移动时（不与 A ， C 重合），请找出PQD ， OPQ ， POB 的数量关系，并证明你的结论．
连接 AD ，在坐标轴上是否存在点 M ，使MAD 的面积与ACD 的面积相等？若存在，直接写出点 M
的坐标；若不存在，试说明理由．
【解答】解：（1） PQD  OPQ  POB  360 ，证明如下：证明：| a  3 | (a  2b  7)2  0
 a  3  0 ， a  2b  7  0 ，解得 a  3 ， b  2 ，
 A(3, 0) ， B(2, 0) ，
将点 A 、 B 分别向左平移 2 个单位，再向上平移 2 个单位，得到对应点C 、 D ，
C(5, 2) ， D(0, 2) ，
过点 P 作 PE / / AB ，由平移的性质可得 AB / /CD ，
 AB / / PE / /CD ，
PQD  EPQ  180 ， OPE  POB  180 ，
PQD  EPQ  OPE  POB  360 ， 即PQD  OPQ  POB  360 ．
（2）存在， M 点坐标为(8, 0) ， (2, 0) ， (0, 16) ， (0,  4) ．理由如下： ACD 的面积为 1  5  2  5 ，
332
① M 在 x 轴上，根据MAD 的高与ACD 相等的高，
 AM  CD  5 ，
点 M 坐标为(8, 0) ， (2, 0) ，
② M 在 y 轴上， MAD 的高为 AO  3 ， MAD 的面积为 5，
即 SMAD
 1 AO  MD  5 2
 MD  10
3
又 D(0, 2) ，
点 M 坐标为(0, 16) ， (0,  4) ．
33
故存在符合条件的 M 点坐标为(8, 0) ， (2, 0) ， (0, 16) ， (0,  4) ．
33
24．（8 分）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“平行中的数量关系”为主题开展数学活动．已知 AB / /CD ，BF 为ABE
的平分线， DF 为CDE 的平分线， BF 和 DF 相交于点 F ． 探究问题
在图 1 中， BFD ， ABF ， CDF 之间的数量的关系为 BFD  ABF  CDF ．
BFD ， ABE ， CDE 之间的数量关系为： ． 知识迁移
如图 2，若E  8M  360 ， ABM  1 EBF ，试猜想CDM 和MDF 间的数量关系，并加以
4
证明．
【解答】解：（1）如图所示，过点 F 作 FG / / AB ，
 AB / /CD ，
 AB / / FG / /CD ，
ABF  BFG ， CDF  DFG ，
BFG  DFG  BFD ，
BFD  ABF  CDF ；
由上述证明可知， BFD  ABF  CDF ，
 BF 为ABE 的平分线， DF 为CDE 的平分线，
 ABF  FBE  1 ABE ， CDF  FDE  1 CDE ，
22
 BFD  1 ABE  1 CDE ，
22
ABE  CDE  2BFD ；
故答案为： BFD  ABF  CDF ； ABE  CDE  2BFD ．
（2） MDF  3CDM ，理由如下：
如图所示，过点 E 作 EQ / / AB ，过点 M 作 MP / / AB ，
设CDM  x ， ABM  y ，
CD / / AB ，
 EQ / /MP / / AB / /CD ，
CDM  PMD  x ， ABM  PMB  y ，
ABE  QEB  180 ， CDE  QED  180 ，
ABE  QEB  CDE  QED  360 ，
ABE  CDE  BED  360 ，
BDE  360  (ABE  CDE) ，
E  8M  360 ，即BED  8BMD  360 ，
360  (ABE  CDE)  8BMD  360 ，
8BMD  ABE  CDE ，
BMD  PMD  PMB  x  y ，
8BMD  8x  8 y  ABE  CDE ，
 ABM  1 EBF  y ，
4
EBF  4 y ，
 BF 为ABE 的平分线， DF 为CDE 的平分线，
EBF  ABF  4 y ， CDF  EDF ，
ABE  8 y ，
ABE  CDE  8x  8 y ，
CDE  8x ，
CDF  EDF  4x ，
CDM  x ，
MDF  3x ，
MDF  3CDM ．
25．（8 分）如图 1 在平面直角坐标系中，大正方形OABC 的边长为 m 厘米，小正方形ODEF 的边长为 n 厘
n  2
米，且| m  4|  0 ．
求点 B 、点 D 的坐标．
起始状态如图 1 所示，将大正方形固定不动，小正方形以 1 厘米/ 秒的速度沿 x 轴向右平移，如图 2． 设平移的时间为t 秒，在平移过程中两个正方形重叠部分的面积为 S 平方厘米．
①当t  1.5 时， S  3 平方厘米；
②在 2t4 这段时间内，小正方形的一条对角线扫过的图形的面积为 平方厘米；
③在小正方形平移过程中，若 S  2 ，则小正方形平移的时间t 为 秒．
将大正方形固定不动，小正方形从图 1 中起始状态沿 x 轴向右平移，在平移过程中，连接 AD ，过 D 点作 DM  AD 交直线 BC 于 M ，DAx 的角平分线所在直线和CMD 的角平分线所在直线交于 N （不考虑 N 点与 A 点重合的情形），求ANM 的大小并说明理由．
n  2
【解答】解：（1）| m  4| 
 n  2 ， m  4 ，
 B(4, 4) ， D(0, 2) ，
 0 ．
①当t  1.5 时，小正方形向右移动1.5cm ，
S  2 1.5  3cm2 ；
②如图 1 所示，小正方形的一条对角线扫过的面积为红色平行四边形，
面积为2  2  4cm2 ；
③如图 2，小正方形平移距离为 4  1  5cm ，
小正方形平移的距离为1cm 或5cm ，
t  1或 5．
综上所述，小正方形平移的时间为 1 或 5 秒，
如图 3，当点 N 在射线 MG 的反向延长线上时， 过 D 作 DQ / / x 轴，过 N 作 NP / / x 轴，
 MN 平分CMD ，
设CMG  DMG  y ，则PNM  NMB  y ，
MDQ  CMD  2 y ，
 DM  AD ，
ADQ  OAD  90  2 y ，
DAx  180  OAD  180  (90  2 y)  90  2 y ，
 AN 平分DAx ，
NAx  1 DAx  45  y  PNA ，
2
ANM  PNA  PNM  45  y  y  45 ，
当点 N 在射线 MG 上时，
同理ANG  45 ，
ANM  135 ，
综上： ANM  135 或 45 ．