吉林省通化市梅河口市第五中学2024-2025学年高二下学期开学考试数学试题（原卷版+解析版）

这是一份吉林省通化市梅河口市第五中学2024-2025学年高二下学期开学考试数学试题（原卷版+解析版），共19页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知数列的前4项分别为，，，，则该数列的一个通项公式可以为（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知直线，直线.若，则（ ）
A. 4B. -2C. 4或-2D. 3
3. 已知等比数列的前项和为，若，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知椭圆的左、右焦点分别为，P为椭圆C上一点，的最小值为1，且的周长为34，则椭圆C的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知，均为等差数列，且，，，则（ ）
A. 2026B. 2025C. 2024D. 2023
6. 线段长度为4，其两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段中点的轨迹所围成图形的面积为（ ）
A. 2B. 4C. D.
7. 如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知M是椭圆上一点，椭圆的左、右顶点分别为A，B.垂直椭圆的长轴，垂足为N，若，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.有选错的得0分，部分选对的得2分，全部选对的得5分.
9. 已知直线与，则（ ）
A. 若，则两直线垂直B. 若两直线平行，则
C. 直线恒过定点D. 直线在两坐标轴上的截距相等
10. 已知圆与直线，下列选项正确的是（ ）
A. 直线与圆必相交
B. 直线与圆不一定相交
C. 直线与圆相交且所截最短弦长为
D 直线与圆可以相切
11. 已知点，，直线：，则下列结论正确的是（ ）
A. 当时，点，到直线距离相等
B. 当时，直线的斜率不存在
C. 当时，直线在轴上的截距为
D. 当时，直线与直线平行
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的长轴长为______.
13. 若点到抛物线的准线的距离为3，请写出一个的标准方程：__________.
14. 已知等差数列前项和为，若，则__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知等比数列前项和为，公比.
（1）求；
（2）若在与之间插入3个数，使这5个数组成一个等差数列，试问在这5个数中是否存在3个数可以构成等比数列？若存在，找出这3个数；若不存在，请说明理由.
16. 已知复数是虚数单位，，且，其中是的共轭复数，．
（1）证明：数列和均为等比数列．
（2）设数列的前项和为，求．
17. 如图，已知在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，其中是等腰直角三角形，，点在棱上，且三棱锥的体积为，点是棱的中点．
（1）判断是否为棱的中点，并说明理由；
（2）求平面与底面所成角的余弦值．
18. 一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线C．
（1）求C方程；
（2）若直线l与C交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，求l的方程．
19. 已知圆经过椭圆右焦点及右顶点.
（1）求的方程；
（2）过点的直线与交于两点，求线段的中点的轨迹方程；
（3）过点作与轴平行的直线与交于点，直线与轴交于点，证明：点共圆.
高二数学开学考
一、选择题：本大题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知数列的前4项分别为，，，，则该数列的一个通项公式可以为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定数列的前几项，利用观察法求出通项公式.
【详解】前4项的整数部分依次为，
则第项的整数部分为，分数部分的分子是正奇数，分母是2的项数次幂，
则第项的分数部分为，并且按减加相间将两项连结，
所以.
故选：D
2. 已知直线，直线.若，则（ ）
A. 4B. -2C. 4或-2D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】由直线平行的必要条件列出方程求解参数，并注意回代检验是否满足平行而不是重合.
【详解】因为，所以，即，得或.
当时，，，符合题意；
当时，，，，重合.
故.
故选：A.
3. 已知等比数列的前项和为，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，求得，结合等比数列的定义，得到，即可求解.
【详解】由，
当时，，可得，
当时，，
因为数列为等比数列，可得，解得.
故选：D.
4. 已知椭圆的左、右焦点分别为，P为椭圆C上一点，的最小值为1，且的周长为34，则椭圆C的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用焦点三角形的周长为，及，结合椭圆的知识求解出椭圆方程即可.
【详解】因为的最小值为1，所以．
因为的周长为34，所以，
所以．因为，
所以，所以椭圆C的标准方程为．
故选：C.
5. 已知，均为等差数列，且，，，则（ ）
A. 2026B. 2025C. 2024D. 2023
【答案】B
【解析】
【分析】根据等差数列的性质即可求解.
【详解】由于，均为等差数列，则为等差数列，
因此，，所以的公差为1，
故，
故选：B
6. 线段长度为4，其两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段中点轨迹所围成图形的面积为（ ）
A. 2B. 4C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用几何法直接求出轨迹方程，进而由圆的面积公式求解.
【详解】，设为线段中点，
，设，则，即．
则线段中点的轨迹是以坐标原点为圆心，2为半径的圆；
故线段中点轨迹所围成图形的面积为.
故选：D
7. 如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】取向量为空间向量的一组基底向量，表示出与，再借助空间向量运算即可计算作答.
【详解】在正三棱柱中，向量不共面，，，
令，则，而，，
于是得，
因此，，
所以与所成角的大小为.
故选：B
8. 已知M是椭圆上一点，椭圆的左、右顶点分别为A，B.垂直椭圆的长轴，垂足为N，若，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，根据点在椭圆上结合得到方程组，解出即可得到离心率.
【详解】设，则，，
，，
因为，即，
整理得，即，即，
由题可知，则，即，
则，则，则，
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是采用设点法，根据题意得到，再结合点在椭圆上即可得到离心率.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.有选错的得0分，部分选对的得2分，全部选对的得5分.
9. 已知直线与，则（ ）
A. 若，则两直线垂直B. 若两直线平行，则
C. 直线恒过定点D. 直线在两坐标轴上的截距相等
【答案】AC
【解析】
【分析】由，判断A；由平行关系求出，判定B；由直线的点斜式方程判断C；求出截距判断D.
【详解】当时，，
，则，所以两直线垂直，A正确；
若两直线平行，则，解得，
经检验，当时，两直线平行，B错误；
由，即，
所以直线恒过定点，C正确；
由，与两坐标轴的截距分别为，不相等，D错误.
故选：AC
10. 已知圆与直线，下列选项正确的是（ ）
A. 直线与圆必相交
B. 直线与圆不一定相交
C. 直线与圆相交且所截最短弦长为
D. 直线与圆可以相切
【答案】AC
【解析】
【分析】求出直线经过定点，根据定点与圆的位置关系即可判断直线与圆的位置关系，结合几何知识可知当直线与过定点和圆心的直线垂直时，弦长有最小值，由此可求出答案.
【详解】解：直线过定点，
又，所以点在圆内，所以直线与圆必相交，
所以A正确，B，D错误，
因为圆心与点间的距离为，圆半径为2.
所以最短弦长为，故C正确，

故选：AC.
11. 已知点，，直线：，则下列结论正确的是（ ）
A. 当时，点，到直线距离相等
B. 当时，直线的斜率不存在
C. 当时，直线在轴上的截距为
D. 当时，直线与直线平行
【答案】CD
【解析】
【分析】利用点线距离公式判断A，由直线方程得斜率判断B，取，则，从而判断C，计算得判断D，由此得解.
【详解】对于A：当时，直线为，
此时，，显然不满足题意，故A错误；
对于B：时，直线为，直线斜率为，故B错误；
对于C：时，直线为，取，则，故C正确；
对于D：时，直线为，，不过A点，
而，，所以直线与直线平行，故D正确；
故选：CD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的长轴长为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，求出椭圆的焦点坐标，再利用椭圆的定义求解即得.
【详解】椭圆的半焦距，其焦点坐标为，
由椭圆定义得所求长轴长
.
故答案为：
13. 若点到抛物线的准线的距离为3，请写出一个的标准方程：__________.
【答案】（本题答案不唯一，任选一个即可）
【解析】
【分析】由抛物线的定义即可得抛物线方程.
【详解】由题意得抛物线的准线可能为直线，
所以的标准方程可能为.
故答案为：（答案不唯一，中任选一个即可）.
14. 已知等差数列的前项和为，若，则__________.
【答案】46
【解析】
【分析】由等差数列性质构造等差数列，则由新数列前两项依次求解可得.
【详解】由等差数列的性质可知成等差数列，
即1，8，成等差数列，且公差为，
所以，
得.
故答案为：.
四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知等比数列的前项和为，公比.
（1）求；
（2）若在与之间插入3个数，使这5个数组成一个等差数列，试问在这5个数中是否存在3个数可以构成等比数列？若存在，找出这3个数；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）36 （2）存在，4，12，36
【解析】
【分析】（1）由等比数列的前n项和公式，计算，再求出；
（2）设该等差数列为，求出公差和插入的三个数，判断是否存在3个数成等比数列.
【小问1详解】
由，得，所以.
【小问2详解】
设这5个数组成的等差数列为，
则，，得该数列的公差，
所以，，.
因为，所以，，成等比数列，即这3个数为4，12，36.
16. 已知复数是虚数单位，，且，其中是的共轭复数，．
（1）证明：数列和均为等比数列．
（2）设数列的前项和为，求．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由复数相等可得，再由构造法可证得数列和均是公比为的等比数列；
（2）由，所以，由此可求出，再由分组求和法求解即可.
【小问1详解】
因为复数是虚数单位，，且，，所以，
所以，
所以，又可得
所以，
所以：数列和均是等比数列.
【小问2详解】
因为，所以，
所以，
.
17. 如图，已知在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，其中是等腰直角三角形，，点在棱上，且三棱锥的体积为，点是棱的中点．
（1）判断是否为棱的中点，并说明理由；
（2）求平面与底面所成角的余弦值．
【答案】（1）是棱的中点，理由见解析.
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意平面PBC，求得体积关系：，即可得出答案；
（2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量和底面的法向量，利用二面角的向量公式求解即可.
【小问1详解】
取的中点，连接，
因为，，所以，，.
又因为是菱形，，所以，，
因为，所以，平面，
所以平面，
因为，平面PBC，平面PBC，所以平面PBC，
所以.
因为，
所以点M到平面PBC的距离是点D到平面PBC的距离的，
所以，所以为棱的中点.
【小问2详解】
因为平面，平面ABCD，
所以，，又，
如图，以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，，
底面的法向量为，
设平面的法向量为，
则，即，
取，，得.
设平面与底面所成角为，
所以，
平面与底面所成角的余弦值为.
18. 一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线C．
（1）求C的方程；
（2）若直线l与C交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，求l的方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据圆的性质结合抛物线定义，即可求得答案；
（2）设，利用点差法求出直线l斜率，即可求得直线方程.
【小问1详解】
依题意，该动圆的圆心到点与到直线的距离相等．
又点不在直线上，根据抛物线的定义可知，
该动圆圆心的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，
所以曲线C的方程为．
【小问2详解】
设，由题意知直线l斜率存在，则，
则，

两式相减得，即．
因为线段AB的中点坐标为，
所以，则，即直线l的斜率为，
所以直线l的方程为，即．
19. 已知圆经过椭圆的右焦点及右顶点.
（1）求的方程；
（2）过点的直线与交于两点，求线段的中点的轨迹方程；
（3）过点作与轴平行的直线与交于点，直线与轴交于点，证明：点共圆.
【答案】（1）；
（2）；
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，求出点的坐标，进而求出即得的方程.
（2）直线的方程与椭圆方程联立，借助韦达定理求出点即可求出轨迹方程.
（3）利用弦长公式求出，再借助相似三角形及圆内四边形的判定推理得证.
【小问1详解】
在圆中，令，解得或，则，
因此椭圆的半焦距，长半轴长，短半轴长，
所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
点，当直线与轴不重合时，设直线方程为，
由消去得：，
设，则，，
联立得，即，
当直线与轴重合时，点满足方程，
所以线段的中点的轨迹方程是.
【小问3详解】
由，得，不妨令，
直线斜率，则，
，
因此，∽，则，
所以点共圆.
【点睛】易错点睛：求解轨迹方程问题，设出动点坐标，根据条件求列出方程，再化简整理求解，还应特别注意：补上在轨迹上而坐标不是方程解的点，剔出不在轨迹上而坐标是方程解的点.