海南省琼海市2023_2024学年高三数学下学期开学摸底联考试题含解析

这是一份海南省琼海市2023_2024学年高三数学下学期开学摸底联考试题含解析，共20页。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选择涂其他答案标号.回答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 集合，集合，则（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出集合A，即可求得，再求出集合B，根据集合的交集运算，即可求得答案.
【详解】解，得或，
故或，
则，而，
故，
故选：C
2. 复数，则在复平面中对应的点所在的象限为（）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四俰限
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数的除法运算求出复数z，可得，确定其对应点的坐标，即可确定答案.
【详解】由题意得，
则，其对应的点为，在第三象限，
故选：C
3. 海南省旅游和文化广电体育厅携手故宫博物院，于2024年1月31日至4月30日在海南省博物馆联合举办“千古风流不老东坡——苏赋主题文物展”，332件文物展品穿越千年在琼展出，诠释中华优秀传统文化的底蕴与内涵．因此博物馆需要从5名男生和3名女生中选取4名志愿者，则选出的志愿者中至少有2名女生的概率是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用组合应用问题求出试验的基本事件数及要求概率的事件所含基本事件数，再利用古典概率求解即得.
【详解】从5名男生和3名女生中选取4名志愿者的试验有个基本事件，它们等可能，
选出的志愿者中至少有2名女生的事件含有个基本事件，
所以选出的志愿者中至少有2名女生的概率.
故选：B
4. 函数的图象大致是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数奇偶性以及函数值的大小和符号分析判断.
【详解】因为的定义域为，关于原点对称，
且，可知为奇函数，故B错误；
又因为，且，故CD错误；
故选：A.
5. 已知向量满足，则（）
A. B. 4C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】平方得到，计算得到答案.
【详解】，则，故，
，故.
故选：D.
6. 若，则（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】计算得到，，得到大小关系.
【详解】，.
故.
故选：A
7. “夸父一号”是我国首颗综合性太阳探测卫星，于2022年10月9日在酒泉卫星发射中心成功发射．在北京时间2024年1月1日，“夸父一号”卫星的三台有效载荷成功地跟踪和记录了太阳耀斑的爆发．在探测的过程中，某信息的传递可以用函数来近似模拟信号，其中为常数，是自然对数的底数，当时，下列说法正确的是（）
A. 函数图象关于点对称
B. 函数是偶函数
C. 函数的最小正周期是
D. 函数的单调递减区间是
【答案】B
【解析】
【分析】确定，恒成立，不关于对称，A错误；计算周期得到C错误；举反例得到D错误；确定，B正确，得到答案.
【详解】当时，，
对选项A：恒成立，不关于对称，故错误；
对选项B：，是偶函数，故正确；
对选项C：函数的最小正周期是，故错误；
对选项D：，，不满足单调递减性质，故错误；
故选：B
8. 已知数列中，，若，则下列结论中正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据递推关系，即可判断A；由基本不等式即可判断B；根据累加法以及放缩法即可判断C；根据导数可证明，进而根据累加法以及放缩即可求解D.
【详解】数列中，，，显然，则，
对于A，，A错误；
对于B，，B错误；
对于C，
，C错误；
对于D，令，求导得，
因此在上单调递增，，于是当时，，
则有，当时，，
则
，
因此，，则，
显然，所以，D正确.
故选：D
【点睛】易错点睛：裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知，若，则（）
A. 的最大值为B. 的最小值为1
C. 的最小值为8D. 的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】AD选项，由基本不等式求出最值；B选项，化为，求出最小值；C选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】对于，由，即，
当且仅当，且，即时，取等号，所以A正确；
对于，因为，
当且仅当时，取到最小值，所以B错误；
对于C，因为，所以，
当且仅当，且，即，时，取等号，所以C正确；
对于，当且仅当，且，
即时，取等号，所以正确.
故选：ACD.
10. 已知定义域为的函数对任意实数都有，且，则下列说法正确的是（）
A.
B.
C. 函数的图象关于点对称
D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据给定条件，赋值计算判断ABC；推理确定函数的周期，再利用周期性求值判断D.
【详解】定义域为的函数对任意实数都有，
令，则，而，因此，A错误；
，令，则，则，B正确；
显然，则函数的图象关于点不对称，C错误；
令，则，同理，
因此，即，
从而，即函数的周期是6，
由，得，则，
显然，
所以，D正确.
故选：BD
11. 已知抛物线的焦点为，过焦点的一条直线交抛物线于两点，满足且直线的斜率存在，过点作该抛物线准线的垂线，垂足为，点在直线左侧的抛物线上，则（）
A. 直线的斜率为
B. 当面积最大时，点的坐标为
C. 点（为坐标原点）共线
D.
【答案】AC
【解析】
【分析】确定焦点，设直线方程联立得到根与系数的关系，根据弦长公式计算，得到A正确，平行相切时面积最大，有两种情况，B错误，计算得到C正确，计算得到D错误，得到答案.
【详解】抛物线的焦点为，
设直线方程为，，，，
，则，，，
，，
对选项A：，直线的斜率为，正确；
对选项B：当直线方程时，
过点的直线与直线平行且与抛物线相切时面积最大，设直线方程为，
，则，，，解得，
此时，同理可得直线方程为时，，错误；
对选项C：，，，
故，故点共线，正确；
对选项D：，
错误；
故选：AC
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的数学著作，其中第十一卷称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．已知圆锥是直角圆锥，底面直径是圆锥侧面上一点，若点到圆锥底面的距离为1，则三棱锥体积的最大值为______.
【答案】##
【解析】
【分析】计算各线段长度，确定到平面的最大距离为，根据计算得到答案.
【详解】如图所示：为等腰直角三角形，，则，，
点到圆锥底面的距离为1，故为对应母线的中点，
到平面的最大距离为，.
故答案为：
13. 设为锐角，若，则的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用二倍角公式及差角的正弦公式计算即得.
【详解】由为锐角，得，又，则，
因此，，
所以
.
故答案为：
14. 若关于x的不等式对任意恒成立，则实数a的最大值是___________.
【答案】
【解析】
【分析】先将转化，再令构造函数，
求导得到单调性，最后参变分离得到a的取值范围即可.
【详解】由可得，，令，，
故在上单增，.令且，，当时，单增，
当或，单减.
又等价于，
当时，恒成立，；
当时，可得，即，；
当时，可得，又时，，.
综上，，故a的最大值是.
故答案为：.
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知函数．
（1）当时，求的图象在点处的切线方程；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）把代入，利用导数几何意义求出切线方程.
（2）求出，由已知分离参数，构造函数并利用导数求出最小值即得.
【小问1详解】
当时，，求导得，
则，而，于是，即，
所以的图象在点处的切线方程是.
【小问2详解】
函数定义域为，求导得，
由，得，令，
求导得，令函数，
显然函数在上单调递增，而，则当时，，，
当时，，，函数在上递减，在上递增，，
因此，解得，
所以实数的取值范围是.
16. 为了全面贯彻落实《未成年人保护法》和《海南省中小学生生命安全教育和防护能力提升工程实施方案》，进一步加强中小学生生命安全宣教，海南省某学校组织了一场安全知识竞赛（总分100分），一共有1000名学生参加，把得分按照，分成5组，绘制了如图所示的频率分布直方图．
（1）求出值并计算这1000名学生的平均得分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）已知得分不低于80分的为“优良”，
①请补充完整下面列联表；
②依据小概率值的独立性检验，能否认为这次安全知识竞赛得分是否“优良”与性别有关？
参考公式：，其中．
参考数据：
【答案】（1）0.020；77
（2）①列联表见解析；②能认为
【解析】
【分析】（1）由频率分布直方图中各矩形面积之和为1，列式计算，即可求得x的值，根据频率分布直方图估计平均数的计算公式，即可求得这1000名学生的平均得分；
（2）①由题意结合表中数据，即可补充完整列联表；②计算出的值，与临界值表比较，根据独立性检验的基本思想，即可得结论.
【小问1详解】
由频率分布直方图可得，
解得；
这1000名学生的平均得分为；
【小问2详解】
①补充完整列联表如下表：
②零假设为：这次安全知识竞赛得分是否“优良”与性别无关，
则，
依据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为这次安全知识竞赛得分是否“优良”与性别有关.
17. 如图1，在梯形中，，过分别作梯形的高，交于点，沿所在直线将梯形折叠，使得点与点重合，记为点，如图2，M是中点，是中点.
（1）证明：直线平面；
（2）是线段上异于端点的一点，从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，求平面与平面的夹角的余弦值.
条件①：；
条件②：四棱锥的体积为；
条件③：点到平面的距离为；
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1）证明见解析
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）取的中点为，连接，，证明四边形为平行四边形，得到，得到证明；
（2）建立空间直角坐标系，确定各点坐标，得到，分别选择①②③得到，计算两个平面的法向量，根据向量的夹角公式计算得到答案.
【小问1详解】
如图所示：取的中点为，连接，，
则，且，，，
故且，故四边形为平行四边形，，
平面，平面，故直线平面.
【小问2详解】
四边形为正方形，，，故，
，又，，平面，
故平面，
以为轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，，，
设，，，
若选择①：，
则，，
，
设平面的法向量为，则，
取得到；
设平面的法向量为，
则，取得到；
平面与平面的夹角的余弦值为；
若选择②：设，，，
，故，，，以下同①；
若选项③：设，，，
点到平面的距离为，，以下同①；
18. 已知椭圆与双曲线有公共焦点，且椭圆的离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）是椭圆的右焦点，过点作两条斜率存在且不为0的直线、，两直线斜率的乘积为，直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于两点，求当四边形的面积取得最小值时，直线的解析式．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）确定焦点，结合离心率解得答案.
（2）设直线方程，联立得到根与系数的关系，计算，同理可得，计算，换元利用函数的性质计算最值即可.
【小问1详解】
双曲线有公共焦点的焦点为和，
故，且，解得，，
故椭圆方程为.
【小问2详解】
，设直线方程为，，，
则，，故，
，
同理可得：，
两直线垂直，
故，
设，，故，
当时，面积最大为，此时，
故直线方程为或.
【点睛】关键点点睛：本题考查了椭圆的解析式，面积问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用设而不求的思想，根据韦达定理得到根与系数的关系，可以简化运算，是解题的关键.
19. 由个数排列成行列的数表称为行列的矩阵，简称矩阵，也称为阶方阵，记作：其中表示矩阵中第行第列的数．已知三个阶方阵分别为，，其中分别表示中第行第列的数．若，则称是生成的线性矩阵．
（1）已知，若是生成的线性矩阵，且，求；
（2）已知，矩阵，矩阵是生成的线性矩阵，且．
（i）求；
（ii）已知数列满足，数列满足，数列的前项和记为，是否存在正整数，使成立？若存在，求出所有的正整数对；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）（i），；（ii）存在，，
【解析】
【分析】（1）根据得到，计算，，得到答案.
（2）根据得到，计算，，确定，利用错位相减法得到，变换得到，根据数列的单调性计算最值得到答案.
【小问1详解】
，则，即，
解得，
则，，，
，
故.
【小问2详解】
（i），，
故，，
.
（ii），
，
，
故，
故，
，即，取验证不成立，
整理得到，，
当时，，不成立；当时，；当时，；
现说明当时不成立：
设，，，则，，
故单调递增，，
设，，，，，
故单调递减，，，，，
故时，不成立，
综上所述：使成立的所有的正整数对为，.
【点睛】关键点点睛：本题考查了新定义问题，数列求和，数列的单调性问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中将定义中的新知识转化为已有的知识点是考查的重点，这类思想是考查的重点，需要熟练掌握.
性别
安全知识竞赛得分
合计
非“优良”
“优良”
男
500
女
280
合计
0.1
0.05
0.01
0.005
2.706
3.841
6.635
7.879
性别
安全知识竞赛得分
合计
非“优良”
“优良”
男
320
180
500
女
280
220
500
合计
600
600
1000