2025届吉林省延边朝鲜族自治州一模数学试题

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这是一份2025届吉林省延边朝鲜族自治州一模数学试题，共5页。试卷主要包含了未知，单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、未知
1．若“”的充分不必要条件是“”，则实数的取值范围是（）
A．B．C．D．
2．在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则的复数所对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
二、单选题
3．在中，，为中点，，则（）
A．B．C．D．
三、未知
4．已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
5．已知，则（）
A．B．C．D．
6．在直三棱柱中，，，且，则该三棱柱的外接球的体积为（）
A．B．C．D．
7．编号为，，，，的5种蔬菜种在如图所示的五块实验田里，每块只能种一种蔬菜，要求品种不能种在1，2试验田里，品种必须与品种在相邻的两块田里，则不同的种植方法种数为（）
A．24B．30C．36D．54
四、单选题
8．如图是函数的大致图象，则不等式的解集为（）
A．B．C．D．
五、未知
9．下列命题中正确的是（）
A．样本甲中有件样品，其方差为，样本乙中有件样品，其方差为，则由甲，乙组成的总体样本的方差为
B．已知随机变量，则
C．数据，，，，，，的第80百分位数是8
D．已知随机变量，则
六、多选题
10．设是上的奇函数，且对都有，当时，，则下列说法正确的是（）
A．的最大值是1，最小值是0B．当时，
C．点是函数的对称中心D．在区间上是增函数
七、未知
11．过点的直线交抛物线于，两点，线段的中点为，抛物线的焦点为，下列说法正确的是（）
A．以为直径的圆过坐标原点B．若，则
C．若直线的斜率存在，则斜率为D．
12．已知，分别是椭圆的左、右焦点，是上一点，若的周长为10，则的离心率为 .
13．在中，角，，的对边分别为，，，且的周长为，则角为 .
八、填空题
14．若函数的图象上存在关于原点对称的点，则实数的取值范围是 .
九、未知
15．已知数列的首项，且满足.
(1)求，；
(2)证明：数列为等比数列；
(3)求数列的通项公式.
十、解答题
16．如图，在四棱柱中，底面是矩形，，，，.

(1)证明：平面平面；
(2)若三棱锥的体积为，求二面角的正弦值.
十一、未知
17．某生物研究小组准备探究某地区棉花长绒分布规律，据统计该地区棉花有，个品种，且这两个品种的种植数量大致相等，记种棉花和种棉花的绒长（单位：）分别为随机变量，，其中服从正态分布，服从正态分布.
(1)从该地区的棉花中随机采摘一朵，求这朵棉花的绒长在区间的概率；
(2)记该地区棉花的绒长为随机变量，若用正态分布来近似描述的分布，请你根据（1）中的结果，求参数和的值（精确到0.1）；
(3)在（2）的条件下，从该地区的棉花中随机采摘3朵，记这3朵棉花中绒长在区间的个数为，求的分布列及数学期望（分布列写出计算表达式即可）.参考数据：若，则，，.
十二、解答题
18．已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率.
(1)求双曲线C的方程；
(2)记双曲线C的右顶点为，过点作直线，与C的左支分别交于两点，且，为垂足.
（i）证明：直线恒过定点，并求出点坐标；
（ii）判断是否存在定点，使得为定值，若存在说明理由并求出点坐标.
19．已知函数.
(1)当时，求的极值；
(2)若，求的值；
(3)求证：.