安徽省六校教育研究会2025届高三下学期2月素质检测考试数学试题

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一、未知
1．已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知单位圆上有两点，，，设向量，，若，则实数的值为（ ）
A．B．C．1D．2
4．现有6名同学到3家不同的养老院参加“关爱孤寡老人”爱心志愿活动，若每家养老院安排2名同学，且每名同学只前往一家养老院，则共有安排方法（ ）
A．30种B．60种C．90种D．120种
5．若，则的值为（ ）
A．1B．C．D．
6．已知一件艺术品由外层一个大正四面体，内层一个小正方体构成，外层正四面体的棱长为2，在该大正四面体内放置一个棱长为的小正方体，并且小正方体在大正四面体内可以任意转动，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知椭圆：（）的上顶点为，左、右焦点分别为，，连接并延长交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知可导函数的定义域为，且有，设是的导函数，若为偶函数，则（ ）
A．2025B．2026C．4050D．4052
9．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数在区间上单调递增
C．函数的图象的一条对称轴方程为
D．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
10．对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，则称函数为“比翼函数”.则下列说法正确的是（ ）
A．函数是“比翼函数”
B．若函数在上为“比翼函数”，则
C．若函数在上为“比翼函数”，当，，则，
D．若函数在上为“比翼函数”，其函数值恒大于0，且在上是单调递减函数，记，若，则
11．我国知名品牌小米公司的Lg具备“超椭圆”数学之美，设计师的灵感来源于数学中的曲线：（，为常数，且）.则下列有关曲线的说法中正确的是（ ）
A．对任意的且，曲线总关于轴和轴对称
B．当，时，曲线上的点到原点的距离最小值为2
C．当，时，曲线与坐标轴的交点个数为5个
D．当，时，曲线上的点到原点的距离最小值为
12．已知各项为正数的数列是等比数列，且其前项和为.若，，则 .
13．设函数（），若在上的最大值恒大于4，则实数的取值范围为 .
14．在中，，（），若当面积取最大值时，，则 .
15．已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围.
16．如图所示，半圆柱的轴截面为平面，是圆柱底面的直径，为底面圆心，为一条母线，点在棱上，且，，且.
(1)当时，求证：；
(2)当时，求平面与平面夹角的余弦值.
17．投掷一枚均匀的骰子，每次掷得的点数为1或2时得1分，掷得的点数为3，4，5，6时得2分；独立地重复掷一枚骰子若干次，将每次得分相加的结果作为最终得分.
(1)设投掷2次骰子，最终得分为，求随机变量的分布列与期望；
(2)设最终得分为的概率为，证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式.
（提示：请结合数列的递推关系求解）
18．已知双曲线：（，）的右顶点，斜率为1的直线交于、两点，且中点.
(1)求双曲线的方程；
(2)证明：为直角三角形；
(3)经过点且斜率不为零的直线与双曲线的两支分别交于点，.若点是点关于轴的对称点，试问，不论直线的斜率如何变化，直线是否过定点?若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，说明理由.
19．设各项互不相同的正整数数列，，…，满足：对任意的，都有.
(1)若（）为递减的正整数数列，求的最小值；
(2)对于给定的，设是正整数数列，，…，的最大项；
（ⅰ）求证：和总有一个成立；
（ⅱ）当为奇数时，求证：正整数数列，，…，的最大项的最小值为.