云南省西双版纳傣族自治州第一中学等四校2024-2025学年高二上学期期末诊断测试数学试卷（原卷版+解析版）

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（考试时间120分钟，满分150分）
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的考号､姓名､考场､座位号､班级在答题卡⊥填写清楚.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效.
一､单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据交集的含义即可得到答案.
【详解】根据交集的含义得.
故选：C.
2. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据倾斜角的概念即可得到答案.
【详解】直线的倾斜角为.
故选：B.
3. 已知等差数列中，，则等于（ ）
A. 56B. 53C. 55D. 54
【答案】D
【解析】
【分析】利用计算公差，根据等差数列的求和公式即可得到结果.
【详解】由得，故，
则.
故选：D.
4. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量垂直的坐标表示求出，再利用充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】由，，得，解得或，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
5. 某校期中考试后，为分析100名高三学生的数学学习情况，整理他们的数学成绩得到如图所示的频率分布直方图．则下列结论错误的是（ ）
A. 估计数学成绩的众数为75B.
C. 估计数学成绩的75百分位数约为85D. 估计成绩在80分及以上的学生的平均分为87.50
【答案】B
【解析】
【分析】根据众数的概念可得选项A正确；利用长方形面积之和为1可得选项B错误；根据百分位数的概念可得选项C正确；根据加权平均数的计算方法可得选项D正确.
【详解】估计数学成绩的众数为（分），A选项正确.
根据题意可得，∴， B选项错误.
∵前四组的频率依次为0.1，0.15，0.35，0.3，
∴估计数学成绩的75百分位数约为（分），C选项正确.
∵成绩在80分及以上的学生的两组的频率之比为，
∴估计成绩在80分及以上的学生的平均分为，D选项正确．
故选：B．
6. 已知正项等差数列的首项为2，若成等比数列，则（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】设等差数列公差为，由成等比数列求出可得答案.
【详解】设等差数列的公差为，
若成等比数列，则，
即，解得，
因为正项等差数列，则，则，
当时，，舍去；
当时，，
所以.
故选：A.
7. 若函数，则下列结论正确的是（ ）
A. ，函数是奇函数
B. ，函数是偶函数
C. ，函数在上是增函数
D. ，函数在上是减函数
【答案】D
【解析】
【分析】利用排除法，分，，分析判断即可.
【详解】对于函数，
当时，，此时，是奇函数，且函数在上是减函数；
当时，函数，且，所以为非奇非偶函数，故排除A，B．
当，在上，，函数为减函数，故排除C，
故选：D.
8. 设为双曲线的左右焦点，为坐标原点，为的一条渐近线上一点，且，若，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由向量等式可得，由焦点到渐近距离，结合离心率的意义求得答案.
【详解】设双曲线半焦距为c，由对称性不妨取渐近线为，
由，得，
则，即，，，
由，得，所以的离心率为.
故选：B
二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 已知复数，以下说法正确是（ ）
A. 的实部是5
B.
C.
D. 在复平面内对应的点在第一象限
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据给定条件，求出复数的实部、模、共轭复数及复平面内对应点依次判断ABCD.
【详解】对于A，复数的实部是5，A正确；
对于B，，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，在复平面内对应的点在第四象限，D错误.
故选：ABC
10. 下面命题中是假命题的有（ ）
A. 中，若，则
B. 若，则是第一象限角或第二象限角
C. 若一个扇形所在圆的半径为3，其圆心角为2弧度，则扇形的周长为12
D. 函数的最小值为4
【答案】BD
【解析】
【分析】A选项，由正弦定理和大边对大角得；BD选项，举出反例；C选项，利用弧长公式求出扇形的弧长，进而得到周长.
【详解】A选项，由正弦定理得，
因为，所以，由大边对大角得，A为真命题；
B选项，若，则不是第一象限角，也不是第二象限角，B为假命题；
C选项，若一个扇形所在圆的半径为3，其圆心角为2弧度，则扇形的弧长为，
故扇形的周长为，C为真命题；
D选项，当时，，D为假命题.
故选：BD
11. 如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是（ ）
A. 三棱锥的体积为定值
B. 异面直线AP与所成角的取值范围是
C. 平面ADP与平面ABCD所成夹角的余弦值取值范围是
D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，利用线面平行的判定定理，得出平面，再根据三棱锥的体积的计算方法，即可进行判断；对于B，利用异面直线所成角的计算方法，即可进行判断；对于CD，通过建立空间直角坐标系，利用坐标法求出平面与平面所成角的余弦值和直线与平面所成角的正弦值，然后借助二次函数，即可进行判断.
【详解】对于A，，平面，平面，
所以平面，因为点在线段上运动，
点到平面的距离为定值，又的面积为定值，
故三棱锥的体积为定值，故A正确；
对于B，因为，所以异面直线与所成的角即为与所成的角，
当点位于点时，与所成的角为，
当点位于的中点时，因为平面，，
所以，此时，与所成的角为，
所以异面直线与所成角取值范围是，故B正确；
对于C，以为原点，为轴，为轴，为轴，
建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，，，
则，，设平面的法向量，
设平面的法向量，
，
则，即，
令，则，则得，
面与平面所成夹角为，
所以，
因为，，所以，，
所以平面与平面所成夹角的余弦值取值范围是，故C错误；
对于D，则，，，，，，
设平面的法向量，则，即，
令，则，得，
所以直线与平面所成角的正弦值为：
，
当时，直线与平面所成角的正弦值取得最大值，
最大值为，故D正确.
故选：ACD.
三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 在等差数列中，，，则其公差______.
【答案】2
【解析】
【分析】依题意列出等式，即可求解公差.
【详解】由，得，故，
所以.
故答案为：2
13. 若点，，则以为直径的圆C的方程是________________．
【答案】
【解析】
【分析】由两点间距离公式求得半径为，再由中点坐标公式求出圆心坐标，即可得出圆的方程.
【详解】易知，所以圆C的半径为，
圆心为的中点，坐标为；
因此圆C的方程为.
故答案为：
14. 已知抛物线的焦点为，为圆上的动点，点，则__________；若为上的动点，则的最小值为__________.
【答案】 ①. ##0.5 ②. 5
【解析】
【分析】根据题意可得圆的方程为，结合两点间距离公式运算求解即可得；由结合几何性质可得，再结合抛物线的定义分析求解.
【详解】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为，
设，圆，即为，
则；
因为，则，
当且仅当三点共线时，等号成立，
设点到准线的距离为，
则，当且仅当为坐标原点时，等号成立，
综上所述：，
当且仅当为坐标原点，为时，等号成立，
所以的最小值为5.
故答案为：；5.
四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
15. 已知函数
（1）求的最小正周期；
（2）求的单调递增区间；
（3）三角形的内角的对边分别为，若，求的面积.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据最小正周期公式即可得到答案；
（2）根据正弦函数的性质求其单调增区间；
（3）由题设有，结合三角形内角的性质得，再由正弦定理求得，应用和角正弦公式求得，最后应用三角形面积公式求三角形ABC的面积．
【小问1详解】
的最小正周期.
【小问2详解】
令，，
解得，
的单调递增区间为.
【小问3详解】
由，
又，则，故，解得，
由正弦定理，即得，又，则，
则，则.
故.
16. 已知数列的首项．
（1）若为等差数列，公差，证明数列为等比数列；
（2）若为等比数列，公比，证明数列为等差数列．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用等差数列的通项公式，结合等比数列的定义进行证明即可；
（2）利用等比数列的通项公式，结合等差数列的定义进行证明即可
【小问1详解】
由，，得的通项公式为．
设，则．
又，
所以，是以27为首项，9为公比的等比数列；
【小问2详解】
由，，得．
两边取以3为底的对数，得．
所以．
又，
所以，是首项为1，公差为的等差数列．
17. 椭圆的左右焦点分别为，，焦距为，为原点.椭圆上任意一点到，距离之和为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的斜率为2的直线交椭圆于､两点，求的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意和椭圆的定义可知a，c，再根据，即可求出b，由此即可求出椭圆的方程；
（2）求出直线的方程，将其与椭圆方程联立，根据弦长公式求出的长度，再根据点到直线的距离公式求出点O到直线AB的距离，再根据面积公式即可求出结果.
【小问1详解】
由题意可得，，∴，，，
所以椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
直线l的方程为，
代入椭圆方程得，设，，
则，，，
∴，
又∵点O到直线AB距离，
∴，
即△OAB的面积为.
18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点．
（1）求证：面；
（2）求平面与平面的夹角的大小；
（3）求点到平面的距离．
【答案】（1）证明见解析；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量坐标，再利用空间位置关系的向量证明推理即得.
（2）求得平面和平面的法向量坐标，再利用面面角的向量求法求解.
（3）先根据相似三角形的边长成比例确定F的位置，再求得平面的法向量坐标，再利用点到平面的距离公式求解即可.
【小问1详解】
在四棱锥中，底面，底面，
则，由底面是正方形，得，
以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
因为，则，
，设平面的法向量为，
则，令，得，则，
而平面，所以平面.
【小问2详解】
由（1）知，，且，
设平面的法向量为，
则，取，得，
，而，则，
即，则的一个法向量为，
因此，
而，则，
所以平面与平面的夹角为.
【小问3详解】
因为底面，底面,
所以
底面是正方形，所以,
,平面,
所以平面,平面,
所以，所以在为直角三角形，
又由题知，所以在也为直角三角形，
故与相似，
则，
,，
而，所以，
所以是线段PB中靠近点P的三等分点，
由第（1）小问可知，，，，
因为是线段PB中靠近点P的三等分点，所以点，
设平面的一个法向量为，
而，，
则有，令，则，，，
，，
设B点到平面的距离为，
则；
故B点到平面的距离为.
19. 古希腊时期与欧几里得、阿基米德齐名的著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点、动点满足，记动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）过的直线与曲线交于P，Q两点，若为线段NQ的中点，求直线的方程；
（3）过点作曲线的两条切线，切点分别为M，N，线段MN长度的最小值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据列方程，整理即可得到曲线的方程；
（2）根据在曲线上得到，，根据为线段的中点得到，然后解方程得到点，最后求直线方程即可；
（3）根据的坐标得到点在直线上运动，然后利用等面积的思路得到当长度最小时，线段的长度最小，最后根据几何知识求最小值即可.
【小问1详解】
设，则，
整理得，即，
所以曲线的方程为.
【小问2详解】
设，，则①，②，
因为为线段的中点，所以，即，
将代入②中得③，
联立①③得，则，
所以，
直线的方程为.
【小问3详解】
由题意得点在直线上运动，
设曲线的圆心为，则，
由题意得，，
则，
所以当长度最小时，线段的长度最小，
当垂直直线时，长度最小，
则，
所以.
【点睛】关键点睛：（3）的解题关键在于通过等面积的方法将求的最小值转化为求的最小值，然后根据垂线段最短求最值即可.