2025东莞高一上学期1月期末考试数学含解析

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题目要求的.
1. 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用诱导公式即可求解.
详解】
故选：
2. 设集合 ， ，满足 ，则实数 a 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】利用集合包含关系得不等关系，从而求解．
【解答】 ， ， ，
由题意如图：
，解得 a
故选：C．
3. 已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 单调递增且是偶函数 B. 单调递增且是奇函数
C. 单调递减且是偶函数 D. 单调递减且是奇函数
【答案】B
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【解析】
【分析】根据奇函数定义结合指数运算判断奇偶性，应用指数函数及复合函数的单调性判断单调性即可判
断.
【详解】由 ，其定义域为 R，关于原点对称，
，所以 是奇函数.
又 ，
因为指数函数 在 R 上单调递增，且 ，那么 在 R 上单调递增，且 ，
所以 在 R 上单调递减，则 在 R 上单调递增，
那么 在 R 上单调递增.
故 单调递增且是奇函数.
故选：
4. 设 a， ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 既不充分也不必要条件 B. 充要条件
C. 必要不充分条件 D. 充分不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】求出 的等价条件为 ，再根据推出关系，结合充分条件与必要条件的定义判断
即可.
【详解】 ，
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是 的充分不必要条件，
故选：D.
5. 如图，单位圆 O 内接一个圆心角为 的扇形 ，则扇形 的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据 ，结合单位圆的半径为 1，求得 ，由三角形 为等边三
角形可得扇形的半径，利用扇形的面积公式可得答案.
【详解】由单位圆 O 内接一个圆心角为 的扇形 ，
则 ，故 ，
又 ，所以三角形 为等边三角形，
故
由扇形的面积公式可得：
故选：A.
【点睛】
6. 已知函数 ，若方程 有三个不同的实数解，则 k的取值范围为（
）
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A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查函数的零点与方程根的关系 ,把方程看作两个函数： 和 ，在同一个坐标系
中画出图象分析即可．
【详解】根据题意，画出函数 和 的图象如下图：
当 时， ， ， ，
由图象可知当 时，方程有三个解．
故选：C
7. 为了得到函数 的图象，只需要把函数 上所有的点（ ）
A. 向右平移 个单位，横坐标变为原来的 倍
B. 向左平移 个单位，横坐标变为原来的 2 倍
C. 横坐标变为原来的 倍，向左平移 个单位
D. 横坐标变为原来的 2 倍，向左平移 个单位
【答案】A
【解析】
【分析】由 ，依据函数 的图象平移伸缩变换的规则逐一判定即
可.
【详解】 ，向右平移 个单位， ，横坐标变为原来的 倍，
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可得
故选：A
8. 设函数 在 上的零点为 ， ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用二倍角的余弦公式化简函数解析式，令 ，可得 或 分别求出方
程在 上的解即可得答案.
【详解】由 ，
令 ，即 ，
则 或
当 时， ，
对于 ， ， 在 上，
时， 时，
时， 时，
时， 时，
时，
对于 ， ， 在 上，
时， ， 舍去
时， ， 时， ，
时， ， 舍去
所以这些零点之和为：
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故选：
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选
对的得 6 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9. 已知 ， ，则下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】对 A，根据 判断；对 B，根据 判断；对 C，根据 ，
，结合换底公式判断即可；对 D，根据对数的运算判断即可.
【详解】对于 A，由 ，故 A 正确；
对于 B， ，故 B 正确；
对于 C，由指对互换可知，因为 ， ，那么 ， ，
由换底公式可得： ，故 C 正确；
对于 D，因为 ， ，所以 ，故 D 错误.
故选：ABC
10. 若 a， ，且 ，则下列说法中正确的是（ ）
A. 的最大值为 6 B. 的最小值为 6
C. ab 的最大值为 9 D. ab 的最小值为 9
【答案】BD
【解析】
【分析】正数 a，b 满足 ，可得 ，解出即可得出 ab 的最小值，正
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数 a，b 满足 ，可得 ，解出即可得出 的最小值.
【详解】 正数 a，b 满足 ，
，即 ，
解得 ，即 ab ，当且仅当 时取等号，
，即 ab 的最小值为 9，
正数 a，b 满足 ，
，即 ，
解得 ，当且仅当 时取等号，
，即 的最小值为
故选：BD.
11. 我们知道：函数 的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是 为奇函
数，类比以上结论也可得到函数 的图象关于直线 成轴对称图形的充要条件.已知函数 的
定义域为 R，其图象关于直线 成轴对称图形，且 为奇函数，当 时，
，则下列说法中正确的是（ ）
A. 的图象关于点 成中心对称图形
B. 为偶函数
C. 的最小正周期为 12
D. 当 时，
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性结合函数的对称性新定义得出函数的对称中心，对称轴及周期判断 A，B，C，
再根据函数周期性得出函数解析式判断 D.
【详解】对于 A，由 为奇函数，所以 关于 中心对称，
又函数 关于直线 对称，
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所以不能得到函数 关于 中心对称，故 A 错误;
对于 B，类比题目所给条件，函数 关于直线 对称，
那么 关于 对称，
由偶函数的定义可知 为偶函数，故 B 正确;
对于 C，由 关于 中心对称，所以 ，即 ，
又函数 关于直线 对称，则 ，即 ，
所以 ，故 ，
所以 ，
则 的最小正周期为 12，故 C 正确;
对于 D，当 时， ，
所以 ，
由 C 选项所得结论： ，
所以 ，故 D 正确.
故选：
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 命题 ： ， 的否定是____________.
【答案】 ，
【解析】
【分析】根据全称命题否定即可求解.
【详解】由题意得命题 ： ， 的否定是： ， .
故答案为： ， .
13. 已知 ，则 __________.
【答案】 ##
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【解析】
【分析】根据两角和与差的三角函数公式及同角基本关系式化简即可求解结论．
【详解】
故答案 ：
14. 设 ，用 表示不超过 x 最大整数，称 为取整函数.例如： ， ，
已知函数 ，则 __________ 的值域为__________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】将 代入函数解析式，利用取整函数的定义即可求解函数值；根据三角函数的有界性分类讨
论，利用取整函数的定义分别求出函数值即可求出函数的值域.
【详解】因为 ，
所以 ；
， 或 ， 时， ；
， 或 ， 时， ；
， 时，
， 或 ， 时， ，
， 时， ，
所以 的值域为
故答案为： ，
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
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15. 已知集合 ，集合
（1）在下面的直角坐标系中画出函数 的图象，求
（2）若全集 ， ，求集合
【答案】（1）答案见解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）描点可画得 的图象，再根据指数函数的值域与对数函数的定义域求解 即可；
（2）由（1）可得 ，再假设 ，推出矛盾可得 ，进而同理可得
【小问 1 详解】
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集合 ，
集合 或 .
所以 ，
所以 .
【小问 2 详解】
由（1）可得
因为 ，所以 2，3，6， 且 2，3，6，
再由 ，
假设 ，则由 可得 ，
故 ，显然矛盾，所以
同理 ， ，
所以
16. 已知函数 ，
（1）求 ，
（2）求 的值;
（3）已知实数 a 满足 ，求 的值.
【答案】（1） ，
（2）1 （3）
【解析】
【分析】（1）根据指数对数转换计算求解即可；
（2）根据指数的运算法则代入计算即可求解；
（3）根据指数的运算法则代入计算即可求解.
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【小问 1 详解】
由题意得
由题意得
【小问 2 详解】
由题意得
小问 3 详解】
由题意得 ，
方法一 由 ，得 ，
所以
方法二 由 ，得 ，
因为 ，
所以 ，
所以
方法三 由 ，得 ，
所以 ，
因为 ，
所以
17. 用水清洗一件衣服上的污渍，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用 1 个单位量的水可洗掉衣
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服上污渍的 ，用水越多洗掉的污渍也越多，但总有污渍残留在衣服上.设用 x 单位量的水清洗一次以后，
衣服上残留的污渍与本次清洗前残留的污渍之比为函数
（1）求 的解析式，写出 应该满足的条件或具有的性质 至少写 2 条，不需要证明
（2）现有 单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成 2 份后清洗两次.哪种方案清洗后衣服
上残留的污渍比较少?请说明理由.
【答案】（1） ，答案见解析.
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）将点 代入确定解析式，再得其性质；
（2）利用作差法比较大小.
【小问 1 详解】
因为
所以 ，即
函数 的定义域为 ，值域为 ，在区间 内单调递减.
【小问 2 详解】
，
，
，
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①当 时， ，此时清洗一次或两次残留 污渍一样，
②当 时， ，此时清洗一次残留的污渍更少，
③当 时， ，此时清洗两次残留的污清更少，
综上， 时，清洗一次残留的污渍更少;
时，清洗一次或两次残留的一样;
时，清洗两次残留的污渍量更少.
18. 已知
（1）若 ， ，且 ，求
（2）若 在 上单调，且在 上恰有 3 个最值点，求 的取值范围.
【答案】（1） ；
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用二倍角的余弦公式化简函数解析式，由 求出 ，再根据平方关系可求
的值；
（ 2） 根 据 在 上 单 调 求 得 ， 由 可 得 当 ，
，再利用 可求 的取值范围
【小问 1 详解】
由题意可得：
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当 时， ， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ；
【小问 2 详解】
当 ， ，
因为 在 上单调，所以 ，所以 ，
当 ， ， 在 上恰有 3 个最值点，
即 在 恰有 3 个最值点，分别是 ， ， ，
所以 ，解得 ，因为 ，所以
19. 对于任意两正数 u， ，记区间 上曲线 下的曲边梯形 由直线 ， ， 和
曲线 所围成的封闭图形 面积为 ，并约定 和 ，已知
（1）求 ， ，
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（2）对正数 k 和任意两个正数 u，v，猜想 与 的大小关系，并证明;
（3）（i）试应用曲边梯形的面积说明：对任意正数 x，恒有
（ii）若 ，试说明：当 时， .
【答案】（1） ， ，
（2） ，证明见解析
（3）（i）答案见解析；（ii）答案见解析
【解析】
【分析】（1）（2）由新定义可直接计算判断；
（3）（i）设 ， 由 小于高为 底为 1 的长方形面积、 大于高为 ，
底为 1 的长方形面积，可得答案；（ii）利用（i）可得答案.
【小问 1 详解】
由题意得 ，
，
；
【小问 2 详解】
对正数 k 和任意两个正数 u，v， ，
由题知 ，
，
故 ；
【小问 3 详解】
（i）设 ，由题意得 ，
由 小于高为 ，底为 1 的长方形面积，得 ，
由 大于高为 ，底为 1 的长方形面积，得 ，
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所以对任意正数 x，恒有
（ii）由（i）得
，
显然，当 时， ，所以 .
【点睛】关键点点睛：第三额解题关键点是利用阴影部分的面积与相应梯形矩形的面积大小，可推出不等
式.
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