新高考数学一轮复习考点题型归纳讲练第34讲 空间直线、平面的垂直（精讲）（2份，原卷版+解析版）

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一、知识点梳理
一、直线与平面垂直的定义
如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂直．
二、判定定理
三、性质定理
四、平面与平面垂直
如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直．（如图所示，若，且，则）
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
五、判定定理
六、性质定理
【常用结论】
1.证明线线垂直的方法
①等腰三角形底边上的中线是高；
②勾股定理逆定理；
③菱形对角线互相垂直；
④直径所对的圆周角是直角；
⑤向量的数量积为零；
⑥线面垂直的性质；
⑦平行线垂直直线的传递性（）．
2.证明线面垂直的方法
①线面垂直的定义；
②线面垂直的判定（）；
③面面垂直的性质（）；
平行线垂直平面的传递性（）；
⑤面面垂直的性质（）．
3.证明面面垂直的方法
①面面垂直的定义；
②面面垂直的判定定理（）．
二、题型分类精讲
题型一 垂直性质的简单判定
策略方法
此类问题可以转化为一个正方体的棱、面等，进而进行排除．
【典例1】（单选题）若l为一条直线，为三个互不重合的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．B．若
C．D．若
【题型训练】
一、单选题
1．若、是两个不重合的平面，
①若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则；
②设、相交于直线，若内有一条直线垂直于，则；
③若外一条直线与内的一条直线平行，则；
以上说法中成立的有（ ）个．
A．0B．1C．2D．3
2．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，有以下四个命题：
①若∥，，则∥， ②若，，则，
③若，，则∥， ④若，，，则
其中正确的命题是（ ）
A．②③B．②④C．①③D．①②
3．已知，，是3条不同的直线，，，是3个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，则
D．若，，则
4．设，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，有下列命题中，真命题为（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，则
5．设，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，有下列命题中，真命题为（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
6．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
7．下列命题中，不正确的是（ ）
A．夹在两个平行平面间的平行线段相等
B．三个两两垂直的平面的交线也两两垂直
C．若直线平面，，则过点且平行于直线的直线有无数条，且一定在内
D．已知m，n为异面直线，平面，平面，若直线满足，，，，则与相交，且交线平行于
8．已知，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，，，则下列命题错误的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
二、多选题
9．已知，为不同的直线，，为不同的平面，则下列说法错误的是（ ）
A．若，，，则B．若，，，则
C．若，，，则D．若，，，则
10．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
11．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列命题，其中正确的命题为（ ）
A．若，，则B．若，，，则
C．若，，则D．若，，则
12．已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，下列命题不正确的是（ ）
A．若，，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
三、填空题
13．给出下列四个命题：
①若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直；
②若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与平面垂直；
③若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，则这条直线垂直于两底边所在的直线；
④若直线垂直于梯形的两底边所在的直线，则这条直线垂直于两腰所在的直线．
其中正确的命题共有 个．
14．已知是两个不同的平面，是平面及之外的两条不同的直线，给出下列四个论断：
①；②；③；④.
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题： .（用序号表示）
题型二 线面垂直的判定
策略方法 判定线面垂直的四种方法
【典例1】如图，在正方体中，E，F分别是棱，的中点，求证：平面EAB．
【题型训练】
一、解答题
1．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE. 证明：BD⊥平面PAC
2．如图，在四棱锥中，底面ABCD是梯形，，且，，.
(1)若F为PA的中点，求证平面PCD
(2)求证平面PCD.
3．如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，为的中点．
(1)求证：平面；
(2)若点是棱的中点，求证：平面．
4．如图,在四棱锥中,底面ABCD为正方形,底面ABCD,,E为线段PB的中点,F为线段BC的中点．
(1)证明:平面PBC;
(2)求点P到平面AEF的距离．
5．如图，在四棱锥中，，，，，，平面平面.证明：平面
6．如图，在底面是矩形的四棱锥中，底面，，分别是，的中点.
(1)若，求四棱锥的体积；
(2)求证：平面.
7．如图，PA是圆柱的母线，AB是底面圆的直径，C是底面圆周上异于A．B的一点，且．
(1)求证：平面PAC
(2)若M是PC的中点，求三棱锥的体积．
8．已知的斜边为AB，过点A作PA⊥平面ABC，AM⊥PB于M，AN⊥PC于N.求证：
(1)BC⊥平面PAC；
(2)PB⊥平面AMN.
9．如图，在三棱柱中，平面ABC，D，E分别为AC，的中点，，．
(1)求证：平面；
(2)求点D到平面ABE的距离．
10．如图四棱锥中，四边形为等腰梯形，，平面平面，，，，．
(1)证明：平面；
(2)若在线段上，且，求三棱锥的体积．
11．如图所示,在长方体中,AB=2,BC=2,,M为棱上一点．
(1)若,求异面直线和所成角的正切值;
(2)若,求证BM⊥平面．
12．如图，在三棱锥中，分别为的中点，，且，．求证：平面．
13．如图，在四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，，∠BAD=60°，平面平面ABCD，，，E为上的一点．
(1)求证：平面；
(2)若平面BDE，求三棱锥的体积．
14．如图，在直三棱柱中，，，，为棱的中点.
(1)求证：平面；
(2)若，求三棱锥的体积.
15．如图，在三棱锥中，侧面底面，且的面积为6．

(1)求三棱锥的体积；
(2)若，且为锐角，求证：平面．
16．如图1，在五边形中，四边形为正方形，，，如图2，将沿折起，使得至处，且.

(1)证明：平面；
(2)若四棱锥的体积为4，求的长.
17．如图，在四棱锥，底面为梯形，且，，等边三角形所在的平面垂直于底面，.求证：平面；
18．如图，四棱锥中，平面平面，为的中点，为的中点，且，，．证明：平面
19．如图所示的长方体中，底面是边长为2的正方形，O为与的交点，，M是线段的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面.
20．在图1中，为等腰直角三角形，，，为等边三角形，为AC边的中点，E在BC边上，且，沿AC将进行折叠，使点D运动到点F的位置，如图2，连接FO，FB，FE，OE，使得.

(1)证明：平面ABC；
(2)求点到平面的距离.
题型三 线线垂直的判定
策略方法
【典例1】如图，四棱锥的底面是矩形，平面，E，F分别的中点，且．
(1)求证：平面；
(2)求证：．
【题型训练】
一、解答题
1．如图，在四棱锥中，是边长为4的等边三角形，平面平面，，，，.

(1)证明；；
(2)求三棱锥的体积.
2．如图，四棱锥中，四边形ABCD为梯形，，，，，，M，N分别是PD，PB的中点．

(1)求证：直线平面；
(2)求证：．
3．如图，矩形所在的平面与平面垂直，且.已知.

(1)求证：；
(2)求四棱锥的表面积.
4．如图，已知三棱柱中，，，，是的中点，是线段上一点.

(1)求证：；
(2)设是棱上的动点（不包括边界），当的面积最小时，求棱锥的体积.
5．如图，在三棱柱中，中，，在平面上的射影为的中点．

(1)证明：．
(2)求多面体的体积．
6．如图所示，在直四棱柱中，，，且是的中点.

(1)证明：；
(2)若，求四棱柱的体积.
7．在三棱台中，，分别是，的中点，，平面，且，．

(1)求证：；
(2)求三棱锥的体积．
8．如图，在梯形中，，，，为边上的点，，，将沿直线翻折到的位置，且，连接．

(1)证明：；
(2)求点到平面的距离．
9．如图，在多面体中，四边形是边长为的菱形，，平面，平面，．

(1)证明：；
(2)若三棱锥的体积为，求实数的值．
10．在直三棱柱中，侧面为正方形，，，分别为和的中点，.
(1)证明：；
(2)求到平面的距离.
题型四 面面垂直的判定
策略方法 证明面面垂直的两种方法
【典例1】如图，已知平面，为矩形，分别为的中点.
(1)证明：；
(2)若，求证：平面平面.
【题型训练】
一、解答题
1．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，．

(1)证明：平面平面；
(2)求及三棱锥的体积．
2．如图，在底面为矩形的四棱锥中，底面ABCD．
(1)证明：平面平面PCD．
(2)若，，E在棱AD上，且，求四棱锥的体积．
3．如图,在四棱锥P－ABCD中,四边形ABCD是菱形,PA=PC,E为PB的中点．求证:
(1)平面AEC;
(2)平面AEC⊥平面PBD．
4．如图，在四棱锥中，四边形为正方形，点在平面内的射影为A，且，为中点.
(1)证明：平面
(2)证明：平面平面.
5．如图，已知四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD⊥CD，，CD=2AB．
(1)求证：平面PAB⊥平面PAD；
(2)在侧棱PC上是否存在点M，使得平面PAD，若存在，确定点M位置；若不存在，说明理由．
6．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，E为PB的中点．
(1)求证：EO平面PDC；
(2)求证：平面PAC⊥平面PBD．
7．如图，在四棱锥中，，平面平面ABCD，E，F分别为棱PD，AD的中点，．
(1)求证：平面平面PAD；
(2)若，求几何体PABCEF的体积．
8．如图，在中，，，D是线段AC上靠近点A的三等分点，现将沿直线BD折成，且使得平面平面CBD.
(1)证明：平面平面PCB；
(2)求点B到平面PCD的距离.
9．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，为的中点，为线段上的点，且．
（1）求证：平面平面；
（2）求点到平面的距离．
10．在四棱锥Q-ABCD中，底面ABCD是正方形，若，，．
(1)证明：平面⊥平面；
(2)求四棱锥的体积与表面积．
11．《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一个类似隧道形状的几何体.如图，在羡除中，底面是边长为2的正方形，.
(1)证明：平面平面.
(2)求四棱锥的体积.
12．在四棱锥中，，，，，为等边三角形，．
(1)证明：平面平面PBC；
(2)求点C到平面PAB的距离．
13．如图，在四棱锥中，底面四边形为矩形，平面平面，，，，点为的中点.

(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的余弦值.
14．多面体ABCDEF如图所示，正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直，，，．
(1)求证：平面平面DEF；
(2)求该多面体的体积．
①垂直性质的简单判定
②线面垂直的判定
③线线垂直的判定
④面面垂直的判定
文字语言
图形语言
符号语言
判断定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
面⊥面⇒线⊥面
两个平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
_
_
a
平行与垂直的关系
一条直线与两平行平面中的一个平面垂直，则该直线与另一个平面也垂直
_
平行与垂直的关系
两平行直线中有一条与平面垂直，则另一条直线与该平面也垂直

_
b
_
a
文字语言
图形语言
符号语言
性质定理
垂直于同一平面的两条直线平行

_
b
_
a
文字语言
图形语言
符号语言
垂直与平行的关系
垂直于同一直线的两个平面平行
_
线垂直于面的性质
如果一条直线垂直于一个平面，则该直线与平面内所有直线都垂直
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
_
文字语言
图形语言
符号语言
性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
_
_
a