重庆市拔尖强基联盟2024-2025学年高三下学期2月联考数学试题（Word版附解析）

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一、单项选择题: 本大题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中， 只有 一项是符合题目要求的.
1. 若集合，，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 在复平面内，复数对应的点位于 （ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
4. 函数的图象如图所示，其中 ，， 为了得到的图象，可以将的图象 （ ）
A. 向右平移个单位长度B. 向右平移个单位长度
C 向左平移个单位长度D. 向左平移个单位长度
5. 如图，四边形 中， ，将三角形 沿着对角线 翻折，使得点 至点 ，形成三棱锥 ，已知三棱锥 四个顶点都在球 的球面上，则球 的表面积为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知角的终边经过点，，且，则（ ）
A. B. C. D.
7. 数列 对任意有成立，若，则等于（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
8. 已知奇函数的定义域为，对任意均有，且当时，. 将的图象向左平移个单位，在该过程中，的图象恰好经过点共次，则的取值集合是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题: 本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分. 在每小题给出的选项中， 有多项符合 题目要求. 全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分.
9. 一个袋子中有 10 个除颜色外完全相同小球， 其中有 4 个黄球， 6 个白球， 分别采用有放回和不放回的方式，从袋子中随机摸出 2 个球作为样本，用 表示样本中黄球的个数，下列说法正确的有（ ）
A. 如果采用有放回地摸球，则两次都摸到黄球的概率是
B. 如果采用不放回地摸球，第一次摸到黄球的条件下，则第二次也摸到黄球的概率为
C. 如果采用不放回地摸球，则第二次摸到黄球的概率为
D. 无论是采用有放回摸球还是不放回摸球， 的均值都是一样的
10. 函数 ，则下列说法正确的是 （ ）
A. 当 时， 的极小值为
B. 为奇函数
C. 当 时， 一定有三个零点
D. 若直线 与 有三个交点 ，则
11. 已知为坐标原点，是抛物线的焦点， 是抛物线上的点，直线的斜率为1且满足 ，则（ ）
A. B. 若 ，则
C. D.
三、填空题: 本题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分.
12. 数列的前项和，则数列的通项公式是_____.
13. 函数在处切线的方向向量与向量共线，则 _____.
14. 为激励高三学子的学习热情， 数学老师开发了一款小游戏程序， 同学们表现优秀时可参与一次. 游戏规则如下:
第一步， 在图①所示的棋盘内， 学生点击摇奖， 程序会随机放上 7 枚黑棋;
第二步， 学生自行选择空格放上 2 枚白棋;
最终， 每当有 4 枚棋子在同一行、列或对角线上时， 称为连成一条线. 若未连成线， 则获安慰奖；连成一、二、三条线，分别获三、二、一等奖，图②就是一种获一等奖的情况. 现在小明和小红都可参与一次游戏. 小明点击摇奖后， 出现了图③的情况， 若他随机地放上白棋，则他获二等奖的概率是_____；已知小红放上白棋时总能保证奖励最大化，则在“点击摇奖后，7 枚黑棋中恰有 4 枚在第一列” 的条件下，她获一等奖的概率是_____.
四、解答题: 本题共 5 小题， 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 锐角中，角，，所对应的边分别为 ，，，，.
（1）若，求;
（2）求的取值范围.
16. 已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且过点.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）设过点直线与双曲线交于两点，是否存在直线使得 (为原点)，若存在，求直线的方程，若不存在，请说明理由.
17. 如图，长方体 中， ，点 分别在 上， . 过 的平面 截该长方体，所得的截面为正方形，平面 与棱 的交点分别为 .
（1）求三棱锥 的体积；
（2）点 为 与 的交点，求二面角 的余弦值.
18. 已知,.
（1）当 时，求的单调区间;
（2）若当时，不等式恒成立，求的取值范围.
19. 一种特殊的单细胞生物在一个生命周期后有的概率分裂为两个新细胞，的概率分裂为一个新细胞，随后自身消亡. 新细胞按相同的方式分裂，并且每个细胞的分裂情况相互独立， 如此繁衍下去. 某实验人员开始观察一个该种单细胞生物经过个生命周期的分裂情况，将第个生命周期后的活细胞总数记为随机变量.
（1）若，
（i）求随机变量的分布列和期望;
（ii）求事件 “” 的概率;
（2）已知在的条件下，的期望称为条件期望，其定义为，试求条件期望和的期望.